专题03 三角函数与解三角形（云南专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的图象与性质 题型03 三角恒等变换 题型04 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·云南昭通·一模）已知，则 ． 【答案】 【分析】先由已知等式得到，再由同角的三角函数关系和平方关系化简即可； 【详解】则， 故答案为：. 2．（2025·云南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2025·云南·一模）已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先求出，从而求出，再根据利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】解：因为，所以，因为为钝角， 所以，则， 所以. 故选：B 4．（2025·云南·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得的值，可得的值． 【详解】∵，且， ∴，则， 化简可得， ∴， 则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题． ( 题型02 )三角函数的图象与性质 5．（2025·云南·一模）在中，角的对边分别为且，若，则的周长的最大值为（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到周长为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由且，可得， 又由，即， 所以的周长为， 当时，即时，周长取得最大值，最大值为. 故选：C. 6．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 【答案】ACD 【分析】先由图象结合五点法确定函数解析式，再由周期公式可得A正确；由解析可得B错误；由正弦函数的对称中心可得C正确；由正弦函数的单调性可得D正确； 【详解】由题意得，由图象可得， 又，所以，由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：的对称中心的横坐标为，则对称中心为，令则C正确； D：当时，，所以最小值为，故D正确. 故选：ACD. 7．（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C．若的长度为，则点的轨迹长度为 D．设，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据向量投影的概念判断A；利用两点间距离结合倍角公式判断B；结合向量的运算，确定P点轨迹，可判断C；利用三角恒等变换结合三角函数性质可判断D. 【详解】由题意知， 则在上的投影向量为，故A正确； 因为，，所以 ，故B正确； 当的长度为时，，所以， 点轨迹是以为圆心，为半径的圆，长度为，故C错误； 由于，则， 则 ， 其最大值为，当时取等号，故D正确， 故选：ABD. 8．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数性质对选项中的函数周期、单调性逐一判断可得结论. 【详解】对于A，易知的最小正周期为，但在区间上单调递减，即A错误； 对于B，易知的最小正周期为，所以B错误； 对于C，的最小正周期为，且在区间上单调递增，即C正确； 对于D，显然的最小正周期为，即D错误. 故选：C 9．（2025·云南曲靖·一模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数解析式，结合正弦函数的性质，逐项判断作答. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，，，由的单调性可知，在上单调递增，故B正确； 对于C，将代入解析式得， 所以不是的对称轴，故C错误； 对于D，当时，，所以的图象关于对称，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（   ） A．图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在单调递减 D．图象恒在轴的上方 【答案】ABD 【分析】根据偶函数的定义判断A，计算即可判断B，利用特殊值判断C，根据正弦函数的性质及诱导公式判断D. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以为偶函数，则图象关于轴对称，故A正确； 因为， 所以是的一个周期，故B正确； 因为， ， 又，所以，所以且在定义域上连续， 所以在不可能单调递减，故C错误； 因为， 当时，且， 又因为， 所以，即， 由在上单调递增，所以， 所以； 当时，且， 又因为， 所以，即， 由在上单调递增，所以， 所以； 综上可得：对，恒成立，即图象恒在轴的上方，故D正确. 故选：ABD 11．（2025·云南·一模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最小正周期，且在区间上为减函数，适合；最小正周期为，不适合；最小正周期为，在区间上不单调，不适合；最小正周期为，在区间上为增函数，不适合. 故选A 12．（2025·云南·一模）已知函数  则的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三角函数的性质分别求值域，从而可得结果. 【详解】由函数， 可得， 当时，. 当时，， 故可求得其值域为， 故选:D. ( 题型0 3 )三角恒等变换 13．（2025·云南·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的三角正弦公式化简，再通过弦化切得的值； （2）由（1）及可得，再根据同角三角函数关系得，，进而求得，由正弦定理及得到，再由三角形的面积公式即可得到答案. 【详解】（1）因为，由正弦定理，得， 因为， 所以. 则 即， 所以， 即. （2）因为，，得 又，所以，. . 因为，由正弦定理，可得. 所以的面积. 14．（2025·云南·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 【答案】(1) (2)14. 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解. （2）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，，， 则，而，， 解得，则，所以. （2）由正弦定理得，不妨设，则， 由余弦定理得，解得， 由，得，解得， 所以，即的周长为14. 15．（2025·云南曲靖·一模）已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】（1）由二倍角和辅助角公式求得，再结合正、余弦定理即可求解； （2）根据图像变换确定，求出，然后得到，进而利用三角函数的性质可求解. 【详解】（1）． ，． 又，故， ，故． ，由正弦定理得． 又，由余弦定理得． ，． （2）由题意可知，． 且，． ． 为锐角三角形，, ， ，即的取值范围是． 16．（2025·云南昆明·一模）已知内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）利用正弦定理边化角，及二倍角公式化简求解； （2）由得，结合余弦定理求得，得解. 【详解】（1）由正弦定理及二倍角公式得， 因为，所以，，故， 所以. （2）由，得，则， 由余弦定理得， 所以，故， 所以周长为. 17．（2025·云南·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得，进一步结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】由题意，即， 即，所以. 故选：B. 18．（2025·云南·一模）已知，，且，，则 . 【答案】 【解析】先利用平方关系求出，，再根据利用两角差的余弦公式将展开计算，根据余弦值及角的范围可得角的大小. 【详解】∵， ∴，， 又，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 【点睛】本题考查两角差的余弦公式的应用，其中是关键，属于基础题. ( 题型0 4 )解三角形 19．（2025·云南·一模）在中，角所对的边分别为为边的中点，，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理和余弦定理建立等式，求解出边的值； （2）利用角的关系和余弦定理建立方程，联立求解出线段长度，进而求出的三角函数值，最后根据三角形面积公式求出三角形面积。 【详解】（1）由正弦定理，， 由余弦定理，， 所以，即，解得. （2）设， 因为，所以， 解得， 在中，， 联立方程得，解得，， 所以，， . 20．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理求出BC，进而在中求得答案即可. 【详解】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，易知， 于是. 故选：B. 21．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再结合求出，进而可求出，再利用正弦定理求出即可得解. 【详解】（1）由余弦定理得， 则 解得，则， 则； （2），由正弦定理得， 又， 解得， ，∴， 故或，则或， 由正弦定理得： 若，则， 故的周长为； 若，则， 故的周长为， 综上所述，的周长为或. 22．（2025·云南·一模）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，可求，可求的面积. 【详解】因为在中，，又为边上一点，且， 所以， 又， 所以， 所以，解得， 所以. 故选:D. 23．（2025·云南·一模）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可； 对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可； 对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 24．（2025·云南·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 【答案】 【分析】借助余弦定理计算即可得解. 【详解】由余弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 25．（2025·云南·一模）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 . 【答案】/ 【分析】由余弦定理求得，根据正弦定理求出的外接圆半径，结合勾股定理和球的表面积公式计算即可求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 由，得，设的外接圆半径为r， 由正弦定理得，则， 设三棱柱的外接球半径为R，则， 所以球O的表面积. 故答案为： 26．（2025·云南·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求证：成等比数列； (2)若，的面积，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，， 【分析】（1）根据余弦定理得到，化简得到答案. （2）根据面积公式得到，，根据余弦定理得到，解得答案. 【详解】（1），则，整理得到， 故成等比数列. （2），，故， ，，故，，， ，即， ，且，解得，. 27．（2025·云南·一模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】设切点为，，连接，则，， 过点作⊥轴于点E，则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，又， 所以，方程两边同时除以得， 解得，所以离心率. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围). 28．（2025·云南·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的图象与性质 题型03 三角恒等变换 题型04 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·云南昭通·一模）已知，则 ． 2．（2025·云南·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·一模）已知，为钝角，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（2025·云南·一模）若，且，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )三角函数的图象与性质 5．（2025·云南·一模）在中，角的对边分别为且，若，则的周长的最大值为（   ） A． B． C．6 D．8 6．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．的最小正周期为 B． C．是函数的一个对称中心 D．在区间的最小值为 7．（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C．若的长度为，则点的轨迹长度为 D．设，则的最大值为 8．（2025·云南昆明·一模）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·云南曲靖·一模）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（2025·云南昆明·一模）已知函数，则（   ） A．图象关于轴对称 B．是的一个周期 C．在单调递减 D．图象恒在轴的上方 11．（2025·云南·一模）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是 A． B． C． D． 12．（2025·云南·一模）已知函数  则的值域是（ ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )三角恒等变换 13．（2025·云南·一模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，，求的面积. 14．（2025·云南·一模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求； (2)若，点到直线的距离为，求的周长. 15．（2025·云南曲靖·一模）已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 16．（2025·云南昆明·一模）已知内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，，求的周长． 17．（2025·云南·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 18．（2025·云南·一模）已知，，且，，则 . ( 题型0 4 )解三角形 19．（2025·云南·一模）在中，角所对的边分别为为边的中点，，且. (1)求； (2)若，求的面积. 20．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高约为（   ）（单位：米，） A．30.42 B．42.42 C．50.42 D．60.42 21．（2025·云南昭通·一模）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，． (1)若，求的面积； (2)若，求的周长． 22．（2025·云南·一模）在中，内角的对边分别为，为BC边上一点，且，则的面积为（） A． B． C． D． 23．（2025·云南·一模）设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的外接圆的面积是 C．的面积的最大值是 D．的取值范围是 24．（2025·云南·一模）在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若，则角 . 25．（2025·云南·一模）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 ，则此球的表面积等于 . 26．（2025·云南·一模）在中，角所对的边分别为已知． (1)求证：成等比数列； (2)若，的面积，求的值． 27．（2025·云南·一模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（2025·云南·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$