专题02 函数与导数（云南专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·云南·一模）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 2．（2025·云南·一模）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·一模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. (1)当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. (2)若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. (3)若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 7．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 8．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．， D． 9．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 10．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 11．（2025·云南昆明·一模）已知函数，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设△面积为，若恒成立，则的最小值为 ． 12．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 13．（2025·云南·一模）已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为 . 14．（2025·云南·一模）设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（    ） A．若函数具有性质，则也具有性质 B．若具有性质，则 C．若具有性质，且，则 D．若函数（，）具有性质，则的取值范围是 15．（2025·云南·一模）函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·云南·一模）定义在R上的函数满足，若且，则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 ( 题型02 )指对幂函数 17．（2025·云南·一模）已知函数为偶函数，，其中.若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 18．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）． 19．（2025·云南·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·云南昆明·一模）已知函数则 . 21．（2025·云南昆明·一模）已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 22．（2025·云南·一模）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时． 23．（2025·云南·一模）若函数的定义域分别为，且，则（   ） A．0 B． C． D．1 ( 题 型 0 3 )函数的应用 24．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，且，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·云南·一模）对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 26．（2025·云南·一模）设函数满足，且当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 27．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·云南·一模）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 29．（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 30．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 31．（2025·云南·一模）已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（    ） A．是偶函数 B．图象关于点对称 C．在上是减函数 D．在上的值域为 32．（2025·云南·一模）已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 33．（2025·云南·一模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论： ①在区间上有且仅有3个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ ( 题型0 4 )导数的几何意义 34．（2025·云南·一模）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围． 35．（2025·云南昆明·一模）已知函数. (1)若在点处的切线与曲线相切，求； (2)若是的两个极值点，设，，直线的斜率为，证明：. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 36．（2025·云南·一模）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 37．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值. 38．（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 39．（2025·云南·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 40．（2025·云南·一模）若函数在上单调，为实数，则（    ） A． B． C． D． 41．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）在处取得极值，则（    ） A． B．是的极大值点 C． D．的最大值为2 42．（2025·云南曲靖·一模）当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息论之父香农（C．E.Shannon）在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算“信息熵”的数学表达式，从而解决了对信息的量化度量问题．设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的“信息熵”为． (1)当时，求的值； (2)当时，若，探究与是正相关还是负相关，说明理由； (3)若，，，求此时的． 43．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 44．（2025·云南昭通·一模）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 45．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·云南·一模）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 【答案】AC 【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故B错， 对于C，因为，所以，所以，为常数， 因为，所以，所以， 取，可得.所以， 由，得， 所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且周期为， 又，即， 所以函数也是以周期得周期函数，故C正确； 对于D，因为，， 所以，即， 所以，则， 所以， ，无法确定该值，故D错误. 故选：AC. 2．（2025·云南·一模）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对A：，化简即可判断；对B：，化简即可判断；对C：，结合对数函数性质化简即可判断；对D：即可判断. 【详解】对于A： 对，，恒成立. 左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确. 对B：对，，恒成立. 化简得显然不恒成立，故B不正确； 对于C，对，，恒成立 由在上单调递增，故， 化简可得，显然对恒成立，故C正确； 对D：， ，即，故D错误. 故选：AC. 3．（2025·云南·一模）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“类周期函数”定义，判断四个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以为 “类周期函数”，故A正确； 对于B，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故B错误； 对于C，因为，当且时， ， 所以为 “类周期函数”，故C正确； 对于D，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故D错误； 故选：AC. 4．（2025·云南·一模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数求解单调性即可得解. 【详解】设，则， 当时，，故在单调递减， 因此，故， 故选：B. 5．（2025·云南·一模）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相切时，即可根据图象求解. 【详解】当时，对任意的恒成立， 令所以，令，则, 故当时，直线与相切，此时对任意的恒成立， 结合图象以及是偶函数，可知的图象往右平移即可满足对任意的恒成立，所以， 故选：C 6．（2025·云南·一模）定义：若函数对于定义域内的任意，都有，则称函数为 “下凸函数”；反之，若，则称函数为 “上凸函数”.已知函数（）. (1)当，，时，判断函数是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由. (2)若函数是 “下凸函数”，求的取值范围. (3)若函数在区间上是 “下凸函数”， 在区间上不单调，且在区间上的最大值为，最小值为，求证：. 【答案】(1)函数是 “下凸函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先分别计算，再比较大小，根据定义即得结果；（2）根据定义恒成立，计算化简即得的取值范围；（3）先化简再根据对称轴与定义区间位置关系证明不等式. 【详解】（1）当，，时，. 设，为定义域内任意两个不相等的实数， 则 因为，所以 因此，即函数是 “下凸函数”. （2）因为函数是 “下凸函数”， 所以对于任意，有 即 展开化简得 因为，所以恒成立，从而. 即的取值范围为 （3）因为函数在区间上是 “下凸函数”，所以由 （2） 知， 因为对称轴为，在上不单调， 所以，因此，. ①若， 则 即， 所以. ②若， 则 即， 所以. 综上，. 7．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可知为偶函数，再结合对勾函数性质以及基本不等式可求出函数单调性，利用偶函数对称性画出函数图象，采用数形结合求得的取值范围可求得结果. 【详解】根据函数解析式可知函数的定义域为， 且满足，故得为偶函数， 当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增， 且在时，取得最小值：； 由对称性可得，又； 再由偶函数性质可知其图象如下图所示： 因函数的图象与有两个交点，由图象可知或； 因此的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：在求解函数图象交点个数问题时，经常利用函数解析式求出函数奇偶性，再由基本不等式以及对勾函数性质画出函数图象，利用数形结合即可求解. 8．（2025·云南昆明·一模）悬链线是一根目睹均匀的绳子或铁链两端固定在水平杆上，受重力的作用自然下垂后形成的曲线，建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，其中，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．， D． 【答案】ACD 【分析】对A，根据偶函数的定义判断；对B，通过导数可判断；对C，由基本不等式判断；对D，直接计算可判断. 【详解】对A，由题知定义域为， 所以，是偶函数，故选项A正确. 对B，函数的导数， 所以当时，当时， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. 又，所以函数在单调递增， 由复合函数的单调性，可知 在上单调递减，故选项B错误. 对C，由基本不等式可知，当且仅当时取等号，故选项C正确. 对D，， ， 则，故选项D正确. 故选：ACD. 9．（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先作出的图象，即可求出在的取值范围，依题意可得，结合图象可得的解集，即可得解. 【详解】因为，则定义域为， 所以的图象是取与图象位于下方的部分， 作出的图象如下所示（实线部分）： 当时，显然在上单调递减，且； 因为，使得关于的不等式成立， 所以，令，解得， 结合图象可得的解集为或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是画出的图象，结合图象得到的解集. 10．（2025·云南昭通·一模）函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）（注） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：在上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心. 11．（2025·云南昆明·一模）已知函数，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设△面积为，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先根据已知条件求出，进而得到，再求出，根据的范围得出的范围，最后根据恒成立求出的最小值. 【详解】由函数，设，，. 对求导得，所以在点处切线. 对求导得，所以在点处切线. 因为切线垂直，则，所以. 此时，因为，即，所以，，于是.   由，因为，，则， 解得. 因为， 又，根据基本不等式，所以. 由恒成立，则.则的最小值为1. 故答案为：1. 12．（2025·云南昆明·一模）已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据推导出，即可得到，解得即可. 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 13．（2025·云南·一模）已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】采用分离常数法先化简，然后利用基本不等式结合函数单调性求解出在上的值域，再将问题转化为最值之间的关系，由此求解出的取值范围. 【详解】， 令，则， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 因为，所以，则函数在上单调递减，则， 所以当时，，， 因为，都有成立，即恒成立， 所以，解得， 所以，故的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是分离常数法的运用，先将问题变为熟悉的基本不等式求最值或者对勾函数求值域的问题，另一方面是转化法的运用，根据条件将问题转化为恒成立问题，从而通过函数最值关系求解出参数范围. 14．（2025·云南·一模）设是定义域为的可导函数，若存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，则称函数具有性质.则（    ） A．若函数具有性质，则也具有性质 B．若具有性质，则 C．若具有性质，且，则 D．若函数（，）具有性质，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对给定等式两边求导，再利用定义判断A；求出的周期计算判断B；由性质求出数列的通项，再计算前n项和判断C；取说明判断D. 【详解】对于A，函数具有性质，即存在非零常数，使得对任意的实数恒成立， 对两边求导得， 因此存在非零常数，使得对任意的实数恒成立，也具有性质，A正确； 对于B，函数具有性质，则对任意的实数，，即， 于是，即函数的周期是4，因此， 所以，B正确； 对于C，函数具有性质，则，有， 取，则，而当时，， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，C正确； 对于D，函数（，）具有性质，即存在非零常数， 使得对任意的实数恒成立，即，而，因此， 当时，令，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，， 于是当时，的解为，与非零常数矛盾，即， 因此的取值范围不是，D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答. 15．（2025·云南·一模）函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义域排除部分选项，再利用奇偶性判断. 【详解】解：因为函数y=g(x)的图像与y轴没有公共点， 所以函数y=f(x)∙g(x)的图象与y轴没有公共点，排除CD； 由函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像可知： 函数y=f(x)是偶函数，函数y=g(x)是奇函数， 所以函数y=f(x)∙g(x)是奇函数，故排除B, 故选：A 16．（2025·云南·一模）定义在R上的函数满足，若且，则（    ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】B 【分析】根据，得到函数的图象关于直线对称，又，所以在上递增，在上递减，根据，分和 两种情况讨论求解. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又因为， 所以在上递增，在上递减， 当时，， 当时，因为，所以， 所以， 所以， 综上：.     故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的对称性和导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题. ( 题型02 )指对幂函数 17．（2025·云南·一模）已知函数为偶函数，，其中.若函数与的图象有且只有一个公共点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由偶函数的性质即可求出；令，题目等价于在上只有一解，讨论，和三种情况讨论求解. 【详解】∵是偶函数， ∴对任意恒成立， 即恒成立， ∴. ，，， 令，则，由可得， 因而等价于关于的方程（*）在上只有一解， ①当时，解得，不合题意； ②当时，记，其图象的对称轴， ∴函数在上递减而， ∴方程（*）在无解. ③当时，记，其图象的对称轴， 所以，只需，即，此时方程（*）恒成立， ∴此时的范围为， 综上所述，所求的取值范围. 故选：AC 18．（2025·云南·一模）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，若在前消除了的污染物，当污染物减少时，所需时间约为 （精确到，参考数据：，，）． 【答案】33 【分析】由题意列式，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果. 【详解】由题意可知，当时，， 所以当污染物减少时，， 解得. 故答案为：33 19．（2025·云南·一模）已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 20．（2025·云南昆明·一模）已知函数则 . 【答案】 【分析】结合对数的运算性质，根据题中分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 21．（2025·云南昆明·一模）已知函数（），实数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件代入运算可得，求得. 【详解】根据题意，可得，可得， . 故选：B. 22．（2025·云南·一模）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是 小时． 【答案】24 【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间. 【详解】由已知得①，②， 将①代入②得，则． 当时，， 所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时， 故答案为：24 23．（2025·云南·一模）若函数的定义域分别为，且，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分求出集合，再根据交集的定义即可求出，即可得解. 【详解】由题意， 因为， 所以，解得， 所以. 故选：A. ( 题 型 0 3 )函数的应用 24．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，且，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三次函数图象性质以及零点的符号即可判断得出结论. 【详解】由三次函数解析式可知其图象呈现“N”形， 又当时，，所以函数的所有零点均为非正数， 又，且，因此，即函数的所有零点均小于零； 可知，解得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键在于熟练掌握三次函数图象性质，根据零点符号直接限定得出结果. 25．（2025·云南·一模）对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（   ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2025 【答案】A 【分析】先构造函数，利用函数单调性确定方程实数根的范围，进而得到的表达式，最后根据的表达式计算的值. 【详解】设，对其求导可得. 因为，所以，这表明在上单调递增. . 当时，，所以，. 根据零点存在定理，因为在上单调递增且，，所以. 由可得，即. 因为，所以. ，根据等差数列求和公式可得： . 则. 故选：A. 26．（2025·云南·一模）设函数满足，且当时，，若在区间上，有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件得到在上的函数解析式，问题转化为函数的图象与直线有两个交点，画出图象即可得到答案. 【详解】∵时，，∴当时，，， 由得，，故， ∴. 当时，为减函数，且当时，， 作出在上的函数图象，如图所示， 由得，. 由函数有两个零点可知函数的图象与直线有两个交点， 其中直线斜率为，直线过定点. 当直线过点时，函数的图象与直线有两个交点，此时， 当直线过点时，函数的图象与直线有一个交点，， 结合图象得，当时，函数的图象与直线有两个交点， ∴实数的取值范围是. 故选：B. 27．（2025·云南·一模）已知函数，其导函数的图象关于直线对称，且.若函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，再借助已知代入即可解出，利用导数可求函数单调性，再求出极值，据题意列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，所以， 又， 解得， 所以， 所以， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取到极大值， 当时，取到极小值， 函数有三个零点， 所以，解得. 故选：C 28．（2025·云南·一模）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】画出的图象，依题意直线与的图象至少有2个交点，结合图象即可得解. 【详解】因为，作出的大致图象如图所示， 则至少有2个零点等价于直线与的图象至少有2个交点， 由图可知，即实数的取值范围为. 故答案为： 29．（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，则或， 若，由零点存在性定理； 若，而，则，由零点存在性定理， 综上所述，则C一定正确. 故选：C. 30．（2025·云南曲靖·一模）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（   ） A． B． C． D．2025 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用函数得单调性可得，运算得解. 【详解】由题可得，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，则. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由题得到，构造函数并根据单调性得到. 31．（2025·云南·一模）已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（    ） A．是偶函数 B．图象关于点对称 C．在上是减函数 D．在上的值域为 【答案】BC 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，根据零点个数得到不等式，求出，确定，由平移变换得到，确定A错误；B选项，利用判断，C选项，利用判断；D选项，整体法求解函数的值域. 【详解】A选项，因为， 由于函数在上仅有两个零点， 则，解得，所以， 所以.因为，所以，所以. 将函数的图象沿轴向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 函数的定义域为， 函数为奇函数，A错误； B选项，，所以函数的图象关于点对称，B正确； C选项，当时，，由于在上单调递减， 则函数在上是减函数，C正确； D选项，当时，，则，所以. 所以函数在区间上的值域为，D错误. 故选：BC. 32．（2025·云南·一模）已知函数.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出的图象，由与的图象有两个交点来求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示， ， 即与的图象有两个交点， 由图可知，的取值范围是. 故答案为： 33．（2025·云南·一模）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论： ①在区间上有且仅有3个不同的零点； ②的最小正周期可能是； ③的取值范围是； ④在区间上单调递增． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④. 【详解】由函数， 令，则 函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合， 由，得，则， 即，，故③正确； 对于①，，， 当时，在区间上有且仅有3个不同的零点； 当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误； 对于②，周期，由，则，， 又，所以的最小正周期可能是，故②正确； 对于④，，，又， 又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误． 故正确结论的序号是：②③ 故选：B 【点睛】方法点睛：函数的性质： (1) . (2)周期 (3)由 求对称轴，由求对称中心. (4)由求增区间；由求减区间. ( 题型0 4 )导数的几何意义 34．（2025·云南·一模）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，求出切线斜率，从而求出切线方程即可； （2）问题转化为a≤，令h（x）＝，求出函数的导数判断函数的单调性，求出a的范围即可． 【详解】（1)当时，，则函数在点处的切线的斜率为.又，故函数在点处的切线方程为即. （2）由可得，即. 因为，所以. 令，则. 令则（8分） 因为，所以， 所以在上单调递增，则， 所以， 即实数的取值范围. 【点睛】本题考查了求切线方程的问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题． 35．（2025·云南昆明·一模）已知函数. (1)若在点处的切线与曲线相切，求； (2)若是的两个极值点，设，，直线的斜率为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义求得切线方程，然后联立切线与曲线方程，由代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由极值点的定义代入计算可得，然后表示出直线的方程，将问题转化为，然后构造函数，求导，即可得到结果. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，，所以， 故在点处的切线方程为， 联立，可得， 由，解得. （2）由题意知，，且， 所以，，，所以， 不妨设，则，则直线的斜率， 故要证，即证，即证， 设函数，，则， 所以在单调递增，又，故， 即成立，所以. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 36．（2025·云南·一模）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 37．（2025·云南昆明·一模）已知函数，，其中. (1)求函数的单调区间； (2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值. 【答案】(1)单调递减区间，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由题意可得，由以及即可解出； （2）分别求出两切线方程，根据直线平行的条件得，两边取对数即可求得. 【详解】（1）由已知，，有. 令，解得. 由，可知当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 + 极小值 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，可得曲线在点处的切线斜率为. 由，可得曲线在点处的切线斜率为. 因为这两条切线平行，故有，即. 两边取以为底的对数，得， 所以. 38．（2025·云南·一模）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式求解． 【详解】设，，则. 令得，所以函数在区间单调递减. 因为，所以， 即，所以． 故选：C 39．（2025·云南·一模）已知函数. (1)求的极值； (2)若当时，，求实数的取值范围； (3)设实数，满足，证明：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，再利用极值的定义，即可求解； （2）构造函数，根据条件得当时，恒成立，对分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出在区间上的最小值，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，在同一直角坐标系中作出，，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】（1）由题可知，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，没有极小值. （2）设，根据题意，当时，恒成立. 又， 若，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意， 若，令，得或. 若，则恒成立，所以在上单调递增， 又当时，，不符合题意， 若，则，当时，，所以在上单调递增， 当时，，不符合题意 ，                                若，则，当时，， 当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在上成立， 要使在上也成立，只需，即，得， 故的取值范围是. （3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，. 又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下， 除了点，的图象都在的图象的下方， 当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，， 直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，         由图可知. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在第（3），根据（1）和（2）中结果，在同一坐标系中作出，的图象，将问题转化用图形直观反映. 40．（2025·云南·一模）若函数在上单调，为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，根据函数单调的性质得出的特点，进而得到与的关系，再通过构造函数，利用导数研究函数单调性来比较与、与的大小关系. 【详解】， 因为在上单调，所以无变号零点，则是方程的解， 故，即，， 令，则，令，解得， 时，，时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，， 所以，即；， 令，在上单调递增，无最值，则大小不确定， 故选：D. 41．（2025·云南昭通·一模）已知函数（，）在处取得极值，则（    ） A． B．是的极大值点 C． D．的最大值为2 【答案】D 【分析】利用极值点时导数为零可得A错误；求导后结合二次函数的对称轴可得B错误；由A结合已知可得C错误；由A结合基本不等式可得D正确； 【详解】A：， 因为函数在处取得极值，所以，即，故A错误； B：的对称轴为，所以是的极小值点，故B错误； C：因为，由可得，所以，故C错误； D：因为（当且仅当，即时，取等号），即，故D正确. 故选：D. 42．（2025·云南曲靖·一模）当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别．信息论之父香农（C．E.Shannon）在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算“信息熵”的数学表达式，从而解决了对信息的量化度量问题．设随机变量的所有可能取值为1，2，…，，且，，定义的“信息熵”为． (1)当时，求的值； (2)当时，若，探究与是正相关还是负相关，说明理由； (3)若，，，求此时的． 【答案】(1)0 (2)负相关，理由见解析 (3) 【分析】（1）直接利用公式求解； （2）先求出，再判断单调性即可求解； （3）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为4的等比数列，故而可求出，再由可得的解析式. 【详解】（1）当时，，． （2）与负相关，理由如下： 当时，，． 令，， 则， 因为，则，所以，即， 函数在上单调递减． 与负相关． （3）由题意知， ． ． ． 令① 则② 由①-②得，， ． ． ． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，特别是第三问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用错位相减法及等比数列前项和公式求化简. 43．（2025·云南曲靖·一模）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率和切点坐标，即得切线方程； （2）函数求导分解因式后，对参数分类讨论导函数的符号即得原函数的单调性； （3）根据（2）的结论，对参数分类，分析函数的单调性，极值以及图象变化趋势，结合特殊值，即可得解. 【详解】（1）当时，， ，． 又，故在处的切线方程为：． （2）． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）当时，在上单调递增，不符合题意，故． 由（2）知，当时，． 有两个零点，． 又，． 令，则， 在上单调递减，且， 当时，，即． 又， 在上有一个零点； ，． 当时，， 在上有一个零点． 综上所述，有两个零点时，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是由（2）得，，构造函数利用导数研究零点. 44．（2025·云南昭通·一模）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若对于任意，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为. (2) 【分析】（1）利用导数分析单调区间即可； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析其单调性，求出最值即可； 【详解】（1）若，则， . 令，可得或；令，可得， 所以单调增区间为和，单调减区间为. （2）因为对于任意，都有成立， 所以对于任意，都有成立， 即对于任意，. 因为，所以对于任意，. 设，其中，则， 因为，所以， 当时，. 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即，故的取值范围为. 45．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)无极大值，极小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求出的解析式和定义域，根据导数求解； （2）求出，分、、、和结合导数即可求解. 【详解】（1）时，，定义域为， ，由得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，无极大值，极小值为； （2）， ①当时，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减； ②当时，，，， ， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ⑤当时，， 时，，，单调递减， 时，，，单调递增. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于对取值范围的正确分类. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$