专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量（云南专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 不等式 题型03 复数 题型04 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·云南·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·一模）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．3 C． D． 4．（2025·云南·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·云南曲靖·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南昭通·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·一模）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2025·云南·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·云南·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·云南·一模）集合，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )不等式 13．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·云南·一模）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ． 15．（2025·云南·一模）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． ( 题 型 0 3 )复数 16．（2025·云南·一模）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 17．（2025·云南·一模）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 18．（2025·云南·一模）复数，则等于（ ） A． B． C． D． 19．（2025·云南·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·云南·一模）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 21．（2025·云南·一模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 22．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 23．（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 24．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 25．（2025·云南昆明·一模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（2025·云南·一模）设复数满足为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·云南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 28．（2025·云南·一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )平面向量 29．（2025·云南昆明·一模）已知，，若，方向相反，则 . 30．（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 31．（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 32．（2025·云南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 33．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 34．（2025·云南·一模）已知单位向量，，满足，则 . 35．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 36．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 37．（2025·云南昆明·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 38．（2025·云南·一模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 39．（2025·云南·一模）已知非零向量，夹角为，则的最小值为 . 40．（2025·云南·一模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．1 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 不等式 题型03 复数 题型04 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·云南·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以，所以或， 又，所以. 故选：C 2．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B 3．（2025·云南·一模）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，根据集合交集运算的结果可求得的取值范围，由此可得答案. 【详解】由得，，故， ∵，， ∴，即实数的值可以为. 故选：A. 4．（2025·云南·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值不等式解出集合，再由交集的运算可得. 【详解】由， 所以. 故选：C 5．（2025·云南昆明·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式和一元二次不等式的解法，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，即，解得或，所以， 所以， 故选：D. 6．（2025·云南曲靖·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：B. 7．（2025·云南·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式、分式不等式求解得到，再由交集、补集运算即可求解； 【详解】解：，， 或， 故选：A 8．（2025·云南昭通·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】 所以. 故选：B. 9．（2025·云南·一模）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 10．（2025·云南·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 11．（2025·云南·一模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交并运算法则进行分析即可. 【详解】根据题意，集合中的元素为的倍数，集合中的元素为3的倍数， 故中的元素为6的倍数，即， 故正确，错误； 设, 则对于，若，则； 若，则； 若，则； 对于，若，则； 若，则； 故或或或，, 故错误； 故选： 12．（2025·云南·一模）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. ( 题型02 )不等式 13．（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质比较,根据基本不等式比较. 【详解】因为，所以， 所以，即，即， 又因为， 所以，即， 综上，， 故选:A. 14．（2025·云南·一模）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ． 【答案】10 【分析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列，进而可得年平均费用为：，然后由基本不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数． 【详解】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列， 故第年的维护费为：，， 总的维护费为：， 故年平均费用为：，即，（为正整数）； 由基本不等式得:（万元） 当且仅当，即时取到等号，即该企业10年后需要更新设备． 故答案为：10． 【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 15．（2025·云南·一模）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和，求出的值,判断选项. 【详解】由，则， 再由，则. 故选：C. ( 题 型 0 3 )复数 16．（2025·云南·一模）复数，其中为虚数单位，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用复数的运算求得，进而由对数运算可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 17．（2025·云南·一模）设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】C 【分析】根据复数是纯虚数实部为0，虚部不为0，即可求得的值. 【详解】复数是纯虚数， 则，解得. 故选：C. 18．（2025·云南·一模）复数，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先应用复数的除法及乘法运算化简，再计算模长即可. 【详解】复数， 则. 故选：A. 19．（2025·云南·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】， 则. 故选：B. 20．（2025·云南·一模）已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D. 【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确； 已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以，；解得：，所以，，故B正确； 由得方程，又知道一个根是， 所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：ABC． 21．（2025·云南·一模）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】B 【分析】先求出，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以的虚部为1. 故选：B 22．（2025·云南昆明·一模）在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意找到复数在复平面内对应的点，最后由两点间的距离公式即可求解. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 23．（2025·云南曲靖·一模）已知复数和，满足，则（   ） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】根据复数的模长平方关系计算求和即可. 【详解】因为复数和，满足， 则， 所以，所以. 故选：C. 24．（2025·云南昭通·一模）已知复数，则（    ） A． B．2 C．10 D． 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 25．（2025·云南昆明·一模）复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先要将复数化简为的形式，其中为实部，为虚部.根据复数的运算法则进行化简，然后根据实部和虚部的正负确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】化简复数， 对于复数，实部，虚部. 因为实部，虚部，所以复数在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 26．（2025·云南·一模）设复数满足为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设复数的代数形式，根据复数的除法运算化简复数，根据纯虚数的概念以及复数的模长公式可求出结果. 【详解】设， 则 ， 依题意得，即， 则. 故选：A 27．（2025·云南·一模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出，再求出复数即可； 【详解】解：由题意得. 所以 故选：B 28．（2025·云南·一模）若复数（为虚数单位）是纯虚数，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过复数是纯虚数得到，得到，化简得到答案. 【详解】复数（为虚数单位）是纯虚数 故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于基础题型. ( 题型0 4 )平面向量 29．（2025·云南昆明·一模）已知，，若，方向相反，则 . 【答案】 【分析】根据共线向量的坐标表示及题意即可求解. 【详解】依题意，解得或， 当时，，此时，满是题意; 当时，，比时，不满足题意， 故答案为：． 30．（2025·云南·一模）已知是单位向量，且.若平面向量满足，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的坐标，由此可得模长. 【详解】由题意得，，设， ∵，∴，故. 如图，以为原点，以方向为轴正方向建立平面直角坐标系，使的起点与重合，终点在第二象限，则， 设，则，故， ∴，故. 故选：C. 31．（2025·云南·一模）在平面直角坐标系中，设点，若点满足（），其中为定点，则称点是点关于点的 “相关点”． (1)已知，，当时，求点关于点的 “相关点”的坐标． (2)已知点，，若点是点关于点的 “相关点”，且，求的值． (3)已知圆：，点，点是圆上的动点，点是点关于点的 “相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过向量运算求出点的坐标； （2）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （3）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【详解】（1）已知，，，，，则，所以点坐标为 （2）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以，，，则，两边平方得，，，解得 （3）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以，即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 当时，，即，即，恒成立，所以. 当时，，即，解得或，结合，所以. 综上，不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 当时，可得，解得. 当时， 可得，即，无解. 因为不等式的解集为，不等式的解集为，所以原不等式的解集为. 32．（2025·云南·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当三点共线时取得最小值. 【详解】如图所示： 由题意得. 设， 则. 作点关于直线的对称点，连接. 由题可知， 则， 在中，由余弦定理可得； 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将表达式中的进行转化，记，再结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得结论. 33．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式求解即可. 【详解】由题意，在上的投影向量为. 故选：A 34．（2025·云南·一模）已知单位向量，，满足，则 . 【答案】 【分析】由题意作图，根据平面向量线性运算的几何意义，结合数量积的定义式，可得答案. 【详解】由题意，作等腰，且，记的中点为，连接，如下图： 设，， 由图可知， 由为单位向量，则， 在等腰中，易知， 在中，，则，即， 所以. 故答案为：. 35．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标. 【详解】根据向量模的计算公式，若，则. 已知，则； ，则. 可得. 所以. 则. 则. 根据半角公式，； . 因为，设. ； . 所以. 故选：B. 36．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案. 【详解】因为向量，是单位向量，所以 由则， 所以， 故选：B. 37．（2025·云南昆明·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：D 38．（2025·云南·一模）已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，可得，结合数量积的运算律可得的关系，再根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为向量在向量上的投影向量是， 所以， 即，所以， 又因为， 所以与的夹角是. 故选：A. 39．（2025·云南·一模）已知非零向量，夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算，结合二次函数求最值得解. 【详解】因为非零向量与的夹角为，所以， ， 令，， 则，当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 40．（2025·云南·一模）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的坐标表示即可求解． 【详解】由，则，得. 故选：B． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$