专题05 平面解析几何（云南专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 曲线与方程 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·云南·一模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定直线所过的定点，再根据圆的性质，分析出当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短，最后根据勾股定理求出弦长的最小值. 【详解】将直线方程进行变形： 因为，所以可联立方程组， 解得..所以直线恒过定点. 已知圆：，则圆心，半径. 可得圆心与定点的距离为： . 因为，所以点在圆内部. 当圆心与定点的连线垂直于直线时，弦长最短. 此时弦长的一半、圆心与定点的距离以及圆的半径构成直角三角形，其中圆的半径为斜边. 根据勾股定理，弦长的一半为. 所以弦长的最小值为. 直线被圆截得的弦长的最小值为. 故选：A. 2．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果. 【详解】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为： 3．（2025·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】先求出直线过的定点，再利用到圆心的距离小于半径确定有两个交点. 【详解】整理为， 则，解得，则直线恒过定点， 而，定点在圆内，则直线与圆必有2个交点， 故选：C. 4．（2025·云南·一模）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 5．（2025·云南·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】设圆的一个内接正八边形为，圆心为，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系，写出的坐标，从而可求的直线方程，根据平行关系即可求解. 【详解】由图可知： , 所以直线的方程分别为， ，. 整理为一般式即，，，，前三个分别对应题中的A，B，D选项，而正八边形中，AB与EF，BC与FG，CD与GH，DE与AH所在直线分别平行，由第四个式子可知，正八边形各边所在直线不可能为选项C. 故选:ABD. ( 题型02 )圆与方程 6．（2025·云南昆明·一模）已知点，，若直线过且平分的面积，则被外接圆截得的弦长为 . 【答案】/ 【分析】先求出的外接圆方程，再确定直线的方程，最后根据圆的弦长公式求出弦长. 【详解】设外接圆的方程为， 把，，三点分别代入方程可得： 把代入得：，即. 把代入得：，即，解得. 把代入得：，将代入， 可得，解得. 所以外接圆的方程为，配方可得， 其圆心坐标为，半径. 因为直线过且平分的面积，所以直线必过线段的中点. ，，则中点坐标为. 已知直线过和， 可得直线的方程为，即. 圆心到直线：的距离. 所以弦长为. 故答案为： 7．（2025·云南·一模）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. ( 题 型 0 3 )椭圆 8．（2025·云南·一模）已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. (1)求C的方程； (2)作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意，C经过点，再结合椭圆几何性质求解； （2）（ⅰ）先求出切线l：，联立方程组，得，设，则点P到l的距离，求出的最大值得解； （ⅱ）切线l：，带入中有，由题意只需证明，即证：，令，利用导数证明不等式成立. 【详解】（1）由题意，C经过点，则，又，， 可得，， 所以； （2）（ⅰ）由求导得，当时，切线l：，联立消去y， 得，则有或，所以， 设，则点P到l的距离， 因为，令，则， 从而， 令，得，故，. 所以面积的最大值为，当且仅当，即，时取最大. （ⅱ）切线l：即， 带入中有， 由题意只需证明，即， 即证：，令，， ， 令，， ，所以在上单调递减，因为， 所以当时，，，当时，，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证. 9．（2025·云南·一模）定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为相似椭圆.已知椭圆，为相似椭圆，且，则（    ） A． B．两椭圆的长轴长之比为 C．两椭圆的短轴长之比为 D．两椭圆的焦距之比为 【答案】ABD 【分析】根据题意求出与，与的关系，在逐一判断即可. 【详解】由题意可得，即， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B，两椭圆的长轴长之比为，故B正确； 对于C，两椭圆的短轴长之比为，故C错误； 对于D，两椭圆的焦距之比为，故D正确. 故选：ABD. 10．（2025·云南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】设P记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断A；应用圆的弦长几何法求解判断B；分情况讨论，找出使为等腰三角形的所有点可判断C；设点的坐标再结合斜率公式计算求解得出坐标判断 D. 【详解】对于A，，设点P,记 则 因为 , 所以 解得 , 所以 的面积为 ，故A正确； 对于B，若，则， 所以，所以直线为，所以， 又因为，圆心到直线距离， 所以直线被圆截得的弦长为，故B正确； 对于C，由椭圆的性质可知，即. 若是以为顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个； 若是以为顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个； 同理，若是以为顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个； 故使得为等腰三角形的点共6个，故C错误； 对于D：设，，因为， 所以，所以点的横坐标为，D选项正确. 故选：ABD. 11．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 【答案】ABD 【分析】设，根据题意列出方程即可判断A；根据椭圆得范围结合两点间得距离公式即可判断B；分直线斜率是否存在两种情况讨论，设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再利用弦长公式求出的表达式即可判断C；易得为椭圆的上，下焦点，再根据椭圆的定义即可判断D. 【详解】对于A：设， 则，整理得， 所以的轨迹方程为（），故A正确； 对于B： ， 故， 故当时，，故B正确； 对于C：当直线的斜率不存在时，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 所以 ， 当且仅当取等号， 综上所述，的最小值为3，故C错误； 对于D：在中，，则， 故为正三角形，则垂直平分，则， 由题意为椭圆的上，下焦点， 则的周长为 ，故D正确. 故选：ABD. 12．（2025·云南·一模）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 13．（2025·云南·一模）已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设可得，再由三角形的面积公式将化简为①，再由可得，代入①可得，化简即可求出椭圆的离心率. 【详解】设，故， 则，，所以， ①， 令中，所以，解得 故，即， 所以， 所以代入①可得：， 所以， 则， 即， 即， 即，即， 即，故，解得：. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于由三角形的面积公式将化简为，再由勾股定理求出，代入化简即可. 14．（2025·云南·一模）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【答案】D 【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力. 15．（2025·云南·一模）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，且与抛物线的交点所在的直线经过. (1)求椭圆的方程； (2)分别过作平行直线，若直线与交于两点，与抛物线无公共点，直线与交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦距可得，故椭圆与抛物线交点坐标为，利用椭圆的定义求得，利用解得，由此求得椭圆的方程； （2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，利用判别式小于零求得的取值范围.联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线距离公式求得两条直线的距离，代入面积公式，化简后结合对勾函数性质求得取值范围. 【详解】（1）由题意得：，解得：，则，， 与图象均关于轴对称，两曲线交点所在直线为， 两曲线一个交点为， 由椭圆定义知：，解得：， ，椭圆的方程为：. （2） 由题意知：直线斜率不为，则可设， 由得：， 与无公共点，，解得：； 由得：， 设，，则，， ； ，与之间的距离即为点到的距离，则， 由椭圆对称性可知：四边形为平行四边形， ， ，，； 由对勾函数性质知：，， 即四边形的面积的取值范围为. 【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的四边形面积取值范围问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用距离公式、弦长公式，结合韦达定理表示出所求四边形的面积； ④将所求四边形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出取值范围. ( 题型0 4 )双曲线 16．（2025·云南昆明·一模）已知双曲线的焦距为，是的一条渐近线. (1)求的方程； (2)直线与交于A，B两点，为坐标原点，动点满足，求点的轨迹方程； (3)若曲线与交于，两点（，两点位于轴右侧），记直线的斜率为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（或） (3) 【分析】（1）由题意得，，结合即可求解双曲线的方程； （2）设点，，.联立直线与双曲线方程化简可得，由可解得的取值范围.再根据韦达定理及向量加法的坐标表示即可求得点的轨迹方程； （3）将曲线方程与双曲线方程联立消元整理可得，令且，则根据可将问题转化 在不单调，即在有解.令，，可进一步转化为在有解.由此可知，且存在唯一使得，即，进而可知函数的单调性与最小值，对进行分类讨论，当最小值时求出两根的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题，可知，解得， 所以的方程为：. （2）设点，，. 联立可得， 则，解得或. 由韦达定理可知：，. 因为，即， 因此点的轨迹方程为（或）. （3）联立可得，即. 设，，不妨设，由题知. 令且， 则，故在不单调. ，则在有解. 令，，则在有解. 由于在单调递减，所以， 故，且存在唯一使得，即. 又当时，，，所以在单调递减； 当时，，，所以在单调递增. 所以在上，， ①当时，则，在单调递增， 则，在上不存在两正根. ②当时，则， ，在单调递增， 由于在单调递减，则 i）当时，则，又当时，， 所以存在，，使得，即，所以； ii）当时，则， ，， 所以存在，，使得，且； 由于，则； ， 所以 ， 可知，所以，则； 综上，当时，在上有两个正实根，，且. 所以； 且时，，所以的取值范围为. 【点睛】本题第（3）问主要考查函数的零点与方程的根之间的关系以及利用导数研究函数单调性与最值等性质，属于压轴题. 解题关键是能根据将曲线与双曲线相交于位于轴右侧的两点，联立方程组消元后转化为方程实根的个数，进一步转化为函数不单调，通过求导降次后进一步转化为方程在有解.通过参变分离可研究函数的单调性与最小值，对进行分类讨论，当最小值时求出两根的取值范围即可求解. 17．（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得  ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长，而. 所以，即  ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故选：C 18．（2025·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据离心率为得到，，利用特殊值的思路，设双曲线的标准方程为，，，然后利用勾股定理列方程解得，最后求的余弦值即可. 【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以. 故选：A. 19．（2025·云南曲靖·一模）若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的几何性质求出得解. 【详解】由题可得，，， 所以双曲线的离心率为. 故选：A. 20．（2025·云南昆明·一模）已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求出点的轨迹方程，求出点的坐标即可得解. 【详解】设，由，得点的轨迹是以为焦点， 实轴长为2的双曲线右支，方程为，当时，， 所以点到坐标原点的距离是. 故选：A 21．（2025·云南·一模）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 22．（2025·云南·一模）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆和双曲线的定义及条件可求，根据双曲线离心率的定义可得结果. 【详解】因为，，依题意，由椭圆及双曲线的定义得： ，， 由， 解得，而，所以双曲线的离心率． 故选：A． 23．（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图，    因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 24．（2025·云南·一模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出及，由三角形面积及三角函数值得到，由双曲线定义得到，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到离心率. 【详解】设切点为，，连接，则，， 过点作⊥轴于点E，则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，又， 所以，方程两边同时除以得， 解得，所以离心率. 故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围). 25．（2025·云南·一模）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解. 【详解】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵， ∴， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 26．（2025·云南·一模）已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用两条渐近线与直线围成正三角形，求出渐近线的倾斜角，然后求解离心率即可． 【详解】解：双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为和， 所以，所以， 所以双曲线的离心率为：. 故答案为：． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线渐近线方程和离心率，是基本知识的考查． ( 题型0 5 )抛物线 27．（2025·云南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用抛物线的定义可证明结论. （2）（i）设.由表示直线的方程，可得，根据求出的值可得结果. （ii）设的中点为，通过计算可说明三点共线，且为线段的中点，转化的面积可得结果. 【详解】（1）由题可知点为的焦点，设为点，抛物线的准线方程为. ∵为上一点，∴由抛物线的定义得等于点到的准线的距离， ∴以为圆心且过点的圆与的准线相切. （2） 设. （i）当时，点关于轴对称，点， 直线关于轴对称，成立. 当时，由得，直线的方程为， 将点的坐标代入，可得，则. 联立直线与的方程，可得， ∴. ∵， ∴， 化简可得，则， 由得，，由得， 故的方程为. （ii）设直线， 与的方程联立，可得， 由，得， 由得，，故点. 设的中点为， ∵， ∴，故. ∵，∴三点共线，且为线段的中点， ∴的面积为的面积的， 由为的中点得，的面积为的面积的， ∴的面积为的面积的. ∵， ∴. ∵点到直线的距离， ∴， 当且仅当时等号成立，故的面积的最小值为. 28．（2025·云南·一模）已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. (1)若点到轴的距离等于，求的方程； (2)若点满足，求直线斜率的最大值； (3)若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点，根据抛物线的定义即可求解； （2）设点，由得，即，利用基本不等式即可求解； （3）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由线段的中点在抛物线上及点是椭圆与抛物线的公共点建立关系式，借助均值不等式求解作答. 【详解】（1）设点，则根据题意有， 由抛物线的定义有，所以， 所以的方程为； （2）设点，由题意可得，则有， 由有，点在抛物线上， 所以， 所以， 当且仅当时，即，等号成立， 所以直线斜率的最大值为； （3）当直线的斜率不存在时，此时，点和点重合，不满足题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由， ， 所以，， 所以，又点在抛物线上， 所以， 又因为， 所以， 所以，又点在椭圆上， 所以， 所以， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以，所以的最大值为. 29．（2025·云南·一模）已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求出抛物线方程；（2）表示出点M的坐标，代入抛物线方程后得到关于的等量关系，同理求出关于的等量关系，用韦达定理证明出结论；（3）在第二问的基础上，表达出面积，并求出取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以抛物线的方程为； （2）由知，点M的坐标为 又点M在抛物线上，所以， 结合整理得： 同理，可得 所以､是关于y的方程的两个不相等的根 故； （3）由（2）知､是方程的两个不相等的实根 又，所以 所以，，设AB的中点为Q， 则， 于是 故的面积的取值范围为. 【点睛】抛物线的综合题目，往往会设出抛物线上的点的坐标，利用条件得到方程组，再把两个点的坐标看成一个方程的两个根，利用韦达定理进行求解，这也是与椭圆和双曲线不同的地方. ( 题型0 6 )曲线与方程 30．（2025·云南·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【分析】（1）由双曲线定义即可求解； （2）①由切线方程和导数几何意义依次求出和即可得证； ②求出直线的方程，与曲线联立，利用判别式结合焦半径公式即可求解. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 31．（2025·云南昆明·一模）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则（   ） A．有4条对称轴 B．围成的面积大于 C． D．的面积最大值为4 【答案】ACD 【分析】对A，通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断；对B，由该曲线在以原点为圆心，半径为2的圆内，故面积小于圆的面积判断；对C，设点，求出直线，点的坐标，结合求解；对D，由结合，得解. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 所以曲线有4条对称轴，故A正确； 对于B，，则， 所以曲线包含在圆的内部，因为圆的面积为， 所以曲线的面积小于，故B错误； 对于C，设点，则，且， 所以直线，即， 令，得，即， 令，得，即， 由，可得，， ，故C正确； 对于D，由C可知，，又，则， ，当且仅当点在圆上时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题求曲线的对称轴，关键是通过替换方程中去分析证明. ( 题型0 7 )直线与圆锥曲线的位置关系 32．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】根据抛物线定义，点到焦点的距离分别等于它们到准线的距离， 设，则， 由于为中点，所以， 又因为， 代入得，解得， 故选：. 33．（2025·云南昆明·一模）椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上一点，且为的重心，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，可得，结合有，再由椭圆基本量的关系求参数，进而写出椭圆方程. （2）设直线为，联立椭圆方程应用韦达定理及已知可得，由点在椭圆上求值，由两点距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）设，，则，又，在椭圆上， ∴，两式作差，整理得：， ∴，又， ∴，，故椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 与椭圆联立并整理得：，， ∴，则， 又恰为△的重心，故坐标为，即 因为在椭圆上，即， 故，即，解得， ∴， 而，， 故； ∴. 34．（2025·云南曲靖·一模）“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线．若半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在半圆上，点在半椭圆上，且，则面积的最大值为30 B．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值是 C．若、是半椭圆上的动点，（异于坐标原点）是线段的中点，则 D．若曲线在点处的切线为，半椭圆的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对A，易得，，从而求解判断；对B，由椭圆定义可得到，由基本不等式可以得到，结合余弦定理即可求出的最小值；对C，设，，，将点的坐标代入椭圆方程，利用点差法求解判断；对D，求出曲线在点处的切线方程，进而求出直线的方程，求出点的坐标，求出. 【详解】对于A，因为点在半圆上，点在半椭圆上，为坐标原点，， 则，，， 当点在长轴的端点时，的面积最大，最大值为30，故A正确； 对于B，因为是半椭圆上上一点，所以， ， 当且仅当时，即点在短轴顶点时等号成立，故B错误； 对于C，设，，，则，， 又，两式相减得， 则，即.故C正确； 对于D，由椭圆在点处的切线方程为， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 则切线的斜率为，点，所以直线的斜率为， 直线的方程为， 联立方程，解得，即， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D解题的关键是求出椭圆在点处的切线方程，进而求出点的坐标. 35．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A．弦的最小值为8 B．弦的中点到准线的距离小于 C．存在弦，使得的中点坐标为 D．当时， 【答案】BD 【分析】对A，举反例当焦点的直线与轴垂直时判断即可；对B，作出图形，由抛物线的性质可得B正确；对C，令，由抛物线焦点弦的性质可得，再结合中点坐标公式可验证C错误；对D，当时，可得，再取特殊值，计算可得D正确. 【详解】由题意知，焦点，准线方程为直线，令． 对于A，当过焦点的直线为时，设为上交点，易得，此时，故A错误； 对于B，设的中点为E，过分别作准线的垂线，垂足分别为，如图，则，而，所以，故B正确． 对于C，由抛物线的性质可知①． 若存在弦，使得中点的坐标为， 则，解得或，都不满足①式，故C错误． 对于D，当时，解得， 由对称性，不妨取，则，所以，故D正确． 故选：BD． 36．（2025·云南曲靖·一模）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线相交于A，两点，且，线段中点的横坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的倾斜角为锐角，为坐标原点，求外接圆的一般方程. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，，由焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求出p得解； （2）由题设设直线的方程为，与抛物线方程联立依次求出和即可求出m，进而求出点A、B，再设外接圆的一般方程列出方程组即可计算求解. 【详解】（1）设，，则，， 抛物线的方程为． （2）由题意可知直线不与轴重合，又， 故可设直线的方程为， 由，得，故． 又，故． 直线的倾斜角为锐角，， 将带入，解得或， 不妨设点A在轴下方，则，， 设外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以外接圆的一般方程为． 37．（2025·云南昭通·一模）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样．双曲线的这一光学性质也被人们广范应用．如图，已知双曲线：，为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线．设第个反射点为（，1，2，3，…）． (1)求直线的斜率； (2)证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； (3)当为奇数时，过点向轴作垂线，垂足为，记与面积的比值为，求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)（为奇数） 【分析】（1）根据题意求出点的坐标，再根据斜率公式即可得解； （2）当为偶数时，取连续3个反射点，，，求出直线的方程，联立方程，利用韦达定理求出，从而可求出，再代入直线的方程，求出，同理求出的坐标，再根据斜率公式化简整理即可得出结论； （3）当为奇数时，点在第二象限，设，则，再结合（2）中的结论化简整理即可得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得或（舍去），则， 已知，则； （2）当为偶数时，取连续3个反射点，，， 则直线的方程为，与双曲线交于点， 联立，消去得， 由韦达定理得，两式相除，得， 可得， 故， 将代入直线的方程，得， 所以双曲线与直线的另一个交点为， 同理，双曲线与直线的另一个交点为， 故， 即， 所以当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； （3）当为奇数时，点在第二象限，设， 则（*）， 由（2）小题的结论知，，即， 所以，， 可得，， 两式相除，得，即. 又因为， 故数列是首项为27，公比为81的等比数列， 可得，将此式代入前面（*）， 得， 所以（为奇数）. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 38．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，直线过与交于，两点，为坐标原点，直线交的准线于点． (1)当的倾斜角为时，求； (2)求直线的斜率； (3)若，，，四点共圆，求该圆的半径． 【答案】(1)8 (2)0 (3) 【分析】（1）可利用直线方程与抛物线方程联立，再根据弦长公式计算. （2）需要先求出、两点坐标，通过直线与准线方程求出点坐标，再结合直线与抛物线方程求出点坐标. （3）若，，，四点共圆，根据圆内接四边形的性质求出相关关系，进而求出圆的半径. 【详解】（1）由题意知，抛物线焦点坐标为，直线的方程为， 联立，则，所以，， 所以 . （2）设直线的方程为，，， 联立，，所以，，所以， 直线方程为，所以点的纵坐标为， 所以，直线的斜率为0. （3）由题意知，，，，，不妨设在第一象限， 因为，，，四点共圆，直线平行轴，故可设圆心坐标为，圆半径为， ，即，所以， ， 解得，故，所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 曲线与方程 题型07 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·云南·一模）已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 3．（2025·云南昭通·一模）直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．（2025·云南·一模）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 5．（2025·云南·一模）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )圆与方程 6．（2025·云南昆明·一模）已知点，，若直线过且平分的面积，则被外接圆截得的弦长为 . 7．（2025·云南·一模）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， ( 题 型 0 3 )椭圆 8．（2025·云南·一模）已知椭圆C：的离心率为，C与曲线经过x轴上的同一点. (1)求C的方程； (2)作曲线在处的切线l. （ⅰ）若，l与C相交于A，B两点，P是C上任意一点，求面积的最大值； （ⅱ）当时，证明l与C有两个公共点. 9．（2025·云南·一模）定义“相似椭圆”：若两个椭圆的离心率相等，则称这两个椭圆为相似椭圆.已知椭圆，为相似椭圆，且，则（    ） A． B．两椭圆的长轴长之比为 C．两椭圆的短轴长之比为 D．两椭圆的焦距之比为 10．（2025·云南·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，圆，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的面积为2 B．若，则直线被圆截得的弦长为 C．若为等腰三角形，则满足条件的点有2个 D．若为与轴正半轴的交点，为圆的直径（在第一象限），的中点为，（表示斜率），则点的横坐标为 11．（2025·云南昭通·一模）已知，，，动点满足MA与MB的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．的轨迹方程为（） B．的最大值为3 C．的最小值为 D．过点的直线垂直AC交曲线于，，则的周长为8 12．（2025·云南·一模）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 13．（2025·云南·一模）已知椭圆：，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点F为椭圆C的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF垂直于x轴.过原点О作直线PA的垂线，垂足为M，过原点О作直线PB的垂线，垂足为N，记，分别为，的面积.若，则椭圆的离心率为 . 14．（2025·云南·一模）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 15．（2025·云南·一模）已知椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，且与抛物线的交点所在的直线经过. (1)求椭圆的方程； (2)分别过作平行直线，若直线与交于两点，与抛物线无公共点，直线与交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围. ( 题型0 4 )双曲线 16．（2025·云南昆明·一模）已知双曲线的焦距为，是的一条渐近线. (1)求的方程； (2)直线与交于A，B两点，为坐标原点，动点满足，求点的轨迹方程； (3)若曲线与交于，两点（，两点位于轴右侧），记直线的斜率为，求的取值范围. 17．（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，且，若的周长为20，则的实轴长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 18．（2025·云南昆明·一模）在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（   ） A． B． C． D． 19．（2025·云南曲靖·一模）若双曲线的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为（   ） A．2 B． C． D． 20．（2025·云南昆明·一模）已知点，，动点满足，当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·云南·一模）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 22．（2025·云南·一模）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 23．（2025·云南·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·云南·一模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·云南·一模）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·云南·一模）已知双曲线的两条渐近线与直线围成正三角形，则双曲线的离心率为 ． ( 题型0 5 )抛物线 27．（2025·云南·一模）已知抛物线为上一点. (1)证明：以点为圆心且过点的圆与的准线相切. (2)若动直线与相交于两点，点满足（为坐标原点），且直线的斜率之和为. （i）求的方程； （ii）过点作的切线，若，求的面积的最小值. 28．（2025·云南·一模）已知是抛物线与椭圆的一个交点，的焦点为，为坐标原点. (1)若点到轴的距离等于，求的方程； (2)若点满足，求直线斜率的最大值； (3)若存在过点但不过点的直线，与交于另一点，与交于另一点，且为线段的中点，求的最大值. 29．（2025·云南·一模）已知点为抛物线的焦点，设，是抛物线上两个不同的动点，存在动点使得直线PA，PB分别交抛物线的另一点M，N，且，. (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)当点P在曲线上运动时，求面积的取值范围. ( 题型0 6 )曲线与方程 30．（2025·云南·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 31．（2025·云南昆明·一模）“四叶草”形态优美、寓意美好．已知曲线，其形态极像“四叶草”，设为坐标原点，为上异于原点的一点，过点作直线的垂线交坐标轴于，两点，则（   ） A．有4条对称轴 B．围成的面积大于 C． D．的面积最大值为4 ( 题型0 7 )直线与圆锥曲线的位置关系 32．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于A，B两点，点为线段的中点，若点的横坐标为，，则（） A．2 B．3 C．4 D．6 33．（2025·云南昆明·一模）椭圆的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，，设直线的斜率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)若为椭圆上一点，且为的重心，求. 34．（2025·云南曲靖·一模）“脸谱”是中国戏剧中特有的化妆艺术．“脸谱”图形可近似看作如图所示的由半圆和半椭圆组成的曲线．若半圆的方程为，半椭圆的方程为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在半圆上，点在半椭圆上，且，则面积的最大值为30 B．若，，是半椭圆上的一个动点，则的最小值是 C．若、是半椭圆上的动点，（异于坐标原点）是线段的中点，则 D．若曲线在点处的切线为，半椭圆的焦点为，过点作直线的垂线，垂足为，则 35．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线，过焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A．弦的最小值为8 B．弦的中点到准线的距离小于 C．存在弦，使得的中点坐标为 D．当时， 36．（2025·云南曲靖·一模）已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线相交于A，两点，且，线段中点的横坐标为． (1)求抛物线的方程； (2)若直线的倾斜角为锐角，为坐标原点，求外接圆的一般方程. 37．（2025·云南昭通·一模）从双曲线的一个焦点出发的光线，经过双曲线的反射后，反射光线是散开的，反射光线的反向延长线过另一个焦点，他们就好像是从另一个焦点射出的一样．双曲线的这一光学性质也被人们广范应用．如图，已知双曲线：，为坐标原点，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，由其光学性质知，由发出的光线经双曲线上一点反射后，反射光线的反向延长线过点，连接交双曲线于，也是一个反射点，连接交双曲线于，则也是一个反射点，再连接，交双曲线于，则也是一个反射点，……，由各反射点连线得到折线．设第个反射点为（，1，2，3，…）． (1)求直线的斜率； (2)证明：当为偶数时，直线与直线的斜率之积为定值； (3)当为奇数时，过点向轴作垂线，垂足为，记与面积的比值为，求． 38．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线的焦点为，直线过与交于，两点，为坐标原点，直线交的准线于点． (1)当的倾斜角为时，求； (2)求直线的斜率； (3)若，，，四点共圆，求该圆的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$