专题02 函数与导数（陕西专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 函数的应用 题型03 导数的计算 题型04 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·陕西·一模）设表示不大于x的最大整数，如，，若正数a满足，则 ． 2．（2025·陕西·一模）已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（   ） A．是T函数 B．若是定义域为的T函数，则 C．若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D．若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知是定义域为R的偶函数，且，则（   ）． A．2025 B．5050 C．6024 D．6075 4．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数．函数均满足，下列说法： ①； ②若数列是公比为4的等比数列．则； ③点是曲线的对称中心： ④． 其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·陕西·一模）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·陕西·一模）若函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递增 C．的极小值点为 D．有两个零点 7．（2025·陕西·一模）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．1 ( 题型02 )函数的应用 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西·一模）记等比数列的公比为q，前n项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， ( 题 型 0 3 )导数的计算 10．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 11．（2025·陕西西安·一模）已知函数，. (1)记的导数为，求的值，其中； (2)若，恒有，求a的取值范围. ( 题型0 4 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 12．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 14．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 函数的应用 题型03 导数的计算 题型04 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·陕西·一模）设表示不大于x的最大整数，如，，若正数a满足，则 ． 【答案】12 【分析】根据的定义进行分析，由此列不等式来求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】因为， 所以该式的前项都为，后项都为， 所以，， 所以且，得， 因为，，所以， 所以，故． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 遇到此类取整函数和式的问题，首先根据和式的结果分析每一项的取值情况，列出关于变量的不等式.然后解不等式得到变量的取值范围，若取值范围涉及到指数形式，通过计算近似值进一步精确范围.最后根据变量的取值范围求出所求式子的值. 2．（2025·陕西·一模）已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（   ） A．是T函数 B．若是定义域为的T函数，则 C．若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数 D．若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】对于A验证即可判断，对于B设，因为是T函数，得单调递增，即即可判断，对于C因为，，，成递增的等差数列，故可设：，，，，，考虑函数，验证是否是“T函数”即可判断，对于D任意选取，构造，由是T函数，得在上单调递增，利用导数研究的单调性即可判断. 【详解】对于A，由题意得，，所以是T函数，故A正确； 对于B，设，则， 因为是T函数，所以在上单调递增， 所以，所以单调递增，所以， 即，所以，故B正确； 对于C，因为，，，成递增的等差数列， 故可设：，，，，， 考虑函数，因为 ， 所以，但，， 所以不是T函数，故C错误； 对于D，因为是T函数，所以在上单调递增，任意选取， 设函数，则， 当时，， 当时，， 所以，即， 当时，因为，所以， 左边是关于x的一次函数，根据直线的性质知， 这里的是任意选取的，所以，，所以在上单调递增，故D正确． 故选：ABD. 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知是定义域为R的偶函数，且，则（   ）． A．2025 B．5050 C．6024 D．6075 【答案】D 【分析】根据题意结合偶函数的定义分析可知的一个周期为4，利用赋值法可得，，进而可得结果. 【详解】因为是定义域为R的偶函数，且， 则，即， 可得，可知的一个周期为4， 对于，令，可得，即， 对于， 分别令，可得， 即， 所以. 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 4．（2025·陕西渭南·一模）已知对于任意非零实数．函数均满足，下列说法： ①； ②若数列是公比为4的等比数列．则； ③点是曲线的对称中心： ④． 其中正确说法的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用给定条件判断①，运用给定条件结合中心对称性的定义判断③，利用给定条件结合等比数列的性质判断②，利用给定条件判断④即可. 【详解】令，得到，解得，故①正确， 令，由得， 由得， 得到， 即，故点是曲线的对称中心，即③正确， 因为，所以， 即，得到， 故，因为数列是公比为4的等比数列， 所以，故， 故，即②正确， 因为，所以， 故，则④正确. 综上，正确说法的个数为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用已知条件推理出，然后再对得到所证明的即可． 5．（2025·陕西·一模）若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数在各自段上单调递减，再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】要使在上是减函数，需满足：， 解得，则的取值范围为. 故选：A. 6．（2025·陕西·一模）若函数，则（    ） A．的图象关于对称 B．在上单调递增 C．的极小值点为 D．有两个零点 【答案】AC 【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A，利用导数说明函数的单调性，即可判断B、C，求出极小值即可判断D. 【详解】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又， 所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确； 又 ， 当时，，即在上单调递减，故B错误； 当时，，即在上单调递增， 根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故C正确； 又， 且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大， 所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点， 故无零点，故D错误． 故选：AC． 7．（2025·陕西·一模）已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．1 【答案】D 【分析】根据题设知关于、对称且，即可求，再由已知有关于、对称，求，即可得解. 【详解】由关于原点对称，则关于轴对称，且， 所以关于对称，关于对称，且， 又，即，则关于对称， 综上，，，则， 所以，而，故， 又，则关于对称，即， 所以，则， 所以. 故选：D ( 题型02 )函数的应用 8．（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【详解】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C 9．（2025·陕西·一模）记等比数列的公比为q，前n项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由，，成等差数列结合题意可判断选项正误； 对于B ，由A分析可得公比，即可判断选项正误； 对于C，由B分析可得，即可判断选项正误； 对于D，由指数函数与一次函数增长速度可判断选项正误. 【详解】对于A，因为，且，，成等差数列，所以，故A正确； 对于B，由，得，解得或，当时，，故B错误； 对于C，若，则，，所以， 所以的前n项和为，故C正确； 对于D，当时，，， 由于呈指数增长，而呈线性增长， 因此当n足够大时，必有，故D正确． 故选：ACD ( 题 型 0 3 )导数的计算 10．（2025·陕西渭南·一模）已知则曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先对原函数求导并结合赋值法求解原函数，再利用导数求出切线方程，求出切线和坐标轴的交点，最后得到三角形面积即可. 【详解】因为，所以， 令，得到， 化简得，解得， 代入回原函数得到， 而，故切点为， 而，， 设曲线在处的切线斜率为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，化简得， 令，得到，所以与轴交点为， 令，得到，所以与轴交点为， 且设三角形面积为，故，故A正确. 故选：A 11．（2025·陕西西安·一模）已知函数，. (1)记的导数为，求的值，其中； (2)若，恒有，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再代入并结合对数运算求值. （2）由（1）求出函数的最小值，再求出最大值，利用恒成立列式求解. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 所以 . （2）由（1）知，，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，函数的图象是开口向下的抛物线， 当时，，由，恒有，得， 因此，解得， 所以a的取值范围是. ( 题型0 4 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 12．（2025·陕西西安·一模）设函数，其中，若有两个零点且取最小整数P时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，令，求出函数，利用导数探讨零点求出的最小整数值，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】令，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，值趋近于正无穷大；当趋近于正无穷大时，值趋近于正无穷大， 由有两个零点，得，即， 函数在上都递增，则函数在上递增， ，因此存在，使得， 则不等式成立时，的最小整数值为3，即， 由，得，， 当且仅当，即时取等号，B正确. 故选：B 【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 13．（2025·陕西·一模）已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故． （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故． （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5． 14．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解. 【详解】因为，可知在内有2个变号零点， 由可得，可知：与在内有2个交点， 又因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且，， 结合图象可得，所以实数a的取值范围为. 故选：B. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$