专题06 计数原理与概率统计（陕西专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 计数原理 题型03 随机事件的概率 题型04 古典概型 题型05 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·陕西西安·一模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 2．（2025·陕西西安·一模）某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（   ） A．1000名学生成绩的平均数是77 B．成绩不低于80分的学生所占比例为40% C．用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D．这1000名学生成绩的第50百分位数是80 3．（2025·陕西·一模）采用随机抽样抽到一个容量为100 的样本，由样本数据得到如下的频数分布表： 分组 频数 10 15 x 25 20 10 若用每组的中点值来代表该组数据，则估计总体的平均数为（   ） A．42 B．44 C．46 D．48 4．（2025·陕西咸阳·一模）某地气象局测得该地连续10天的最高气温分别为36，37，35，37，39，a，37，37，38，38（单位：），若该组数据的平均数与众数相等，则 ． 5．（2025·陕西渭南·一模）为了解某类植物生长年之后的高度．随机抽取了株此类植物．测得它们生长年之后的高度（单位：）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长年之后高度低于的有株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（   ） A． B．此次检测植物生长高度在之间的有株 C．估计该类植物生长年后．高度的众数为 D．估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为 6．（2025·陕西·一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分. 等级 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100-86 85-71 70-56 55-41 40-30 赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩. 某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（    ） A．85 B．88 C．91 D．95 ( 题型02 )计数原理 7．（2025·陕西西安·一模）近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有 种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递 种不同的信息. 8．（2025·陕西·一模）A，B，C三人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随机选一个景点，则三人选择的景点互不相同的概率为 ． 9．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 ( 题型0 3 )随机事件的概率 10．（2025·陕西咸阳·一模）小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响． (1)若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率； (2)若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望． 11．（2025·陕西·一模）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； (3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． ( 题型0 4 )古典概型 12．（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. (1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； (2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； (3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 13．（2025·陕西·一模）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . ( 题型0 5 )随机变量及其分布列 14．（2025·陕西·一模）在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 15．（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： (2)已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 计数原理 题型03 随机事件的概率 题型04 古典概型 题型05 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·陕西西安·一模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平均数的求法计算即可； （2）根据80％分位数的求法计算即可； （3）根据原则以及正态分布的对称性计算. 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 2．（2025·陕西西安·一模）某校组织1000名学生参加“新中国成立75周年”知识竞赛，经统计这1000名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，根据图中数据，下列结论正确的是（   ） A．1000名学生成绩的平均数是77 B．成绩不低于80分的学生所占比例为40% C．用分层抽样从该校学生中抽取容量为100的样本，则应在内抽取30人 D．这1000名学生成绩的第50百分位数是80 【答案】D 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；计算不低于80分的频率和判断B；利用分层抽样的特点计算判断C；求出第50百分位数判断D. 【详解】对于A，由频率分布直方图，得1000名学生成绩的平均数是 ，A错误； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B错误； 对于C，由分层抽样特点得，则应在内抽取人 ，C错误； 对于D， 1000名学生成绩的第50百分位数即中位数为80，D正确. 故选：D 3．（2025·陕西·一模）采用随机抽样抽到一个容量为100 的样本，由样本数据得到如下的频数分布表： 分组 频数 10 15 x 25 20 10 若用每组的中点值来代表该组数据，则估计总体的平均数为（   ） A．42 B．44 C．46 D．48 【答案】C 【分析】先求出值，再根据均值定义计算． 【详解】由已知得， 估计总体的平均数为． 故选：C． 4．（2025·陕西咸阳·一模）某地气象局测得该地连续10天的最高气温分别为36，37，35，37，39，a，37，37，38，38（单位：），若该组数据的平均数与众数相等，则 ． 【答案】36 【分析】根据题中数据可知众数为37，结合平均数运算求解即可. 【详解】因为37出现4次，其余出现次数不超过3次，可知众数为37， 由题意可得：，解得. 故答案为：36. 5．（2025·陕西渭南·一模）为了解某类植物生长年之后的高度．随机抽取了株此类植物．测得它们生长年之后的高度（单位：）．将收集到的数据整理得到如下频率分布直方图．已知随机抽取的植物生长年之后高度低于的有株．根据此频率分布直方图．以下结论中正确的是（   ） A． B．此次检测植物生长高度在之间的有株 C．估计该类植物生长年后．高度的众数为 D．估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为 【答案】ABD 【分析】先求高度低于的频率，再由频率，频数，样本容量的关系求得n，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于A，植物生长年之后高度低于的频率为， 所以，解得.故A正确； 对于B，此次检测植物生长高度在之间的频率为， 所以此次检测植物生长高度在之间的有株. 故B正确； 对于C， 频率分布直方图中最高的矩形条所在的区间为， 由众数的定义知，估计这组数据的众数为.故C错误； 对于D，由频率分布直方图可得该类植物生长年后．高度不低于的植株的频率为， 高度低于的植株的频率为， 所以估计该类植物生长年后．高度的第百分位数为，故D正确. 故选：ABD 6．（2025·陕西·一模）某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定、、、、共五个等级（见下表）.第二步，将至五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分. 等级 比例 15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间 100-86 85-71 70-56 55-41 40-30 赋分公式：，计算出来的经过四舍五人后即为赋分成绩. 某次考试，化学成绩等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（    ） A．85 B．88 C．91 D．95 【答案】C 【分析】根据赋分公式有，即可求化学赋分分数. 【详解】由题意，该学生的化学赋分分数为，则， 所以分. 故选：C ( 题型02 )计数原理 7．（2025·陕西西安·一模）近年来，西安因为影视剧而变为网红城市，长安十二时辰主题街区成为西安一张靓丽的名片，根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息，望楼传递信息的方式如下：如图所示，信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有 种不同的颜色组合来传递不同的信息.若要求最多出现3个黑色格子，那么一共可以传递 种不同的信息. 【答案】 512 130 【分析】应用乘法原理计算得出；分四类：（1）一个黑色格子也没出现，（2）出现1个黑色格子，（3）出现2个黑色格子，（3）出现3个黑色格子，分别进行求解，然后利用分类加法原理求解即可. 【详解】信号旗的旗面为九宫格，每个小方格可以在白色和黑色之间变换，从而一共可以有种不同颜色组合来传递不同的信息； 若一个黑色格子也没出现，可以传递1种信息； 若出现1个黑色格子，可以传递9种不同信息； 若出现2个黑色格子，可以传递种不同信息； 若出现3个黑色格子，可以传递种不同信息； 所以若最多出现3个黑色格子，可以传递种不同信息. 故答案为：512；130. 8．（2025·陕西·一模）A，B，C三人计划假期去旅游，有甲、乙、丙、丁四个景点供选择，若每人随机选一个景点，则三人选择的景点互不相同的概率为 ． 【答案】/ 【分析】根据分类乘法计数原理以及排列数，利用古典概型的概率计算公式，可得答案. 【详解】三个人任意选择景点，不同的选择方案有种， 若三人选择的景点互不相同，则不同的选择方案有种， 故所求的概率为． 故答案为：. 9．（2025·陕西咸阳·一模）若，则（   ）． A．1 B．5 C．10 D．15 【答案】B 【分析】根据项，分析、、1分别取的次数，再利用组合数求系数. 【详解】由题设，对于项，取0次，取1次，1取4次，故. 故选：B ( 题型0 3 )随机事件的概率 10．（2025·陕西咸阳·一模）小明和小王进行乒乓球比赛，其中小明每局赢的概率为，小王每局赢的概率为，且每局比赛之间互不影响． (1)若采用3局2胜制，求小王最终赢得比赛的概率； (2)若采用5局3胜制，在小明赢得比赛的条件下，求比赛需要的局数的期望． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设，分析出小王最终赢得比赛的可能情况，应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率； （2）由题意有并结合条件概率公式求出对应概率，进而求期望. 【详解】（1）小王最终赢得比赛的情况有：小王连续赢2局，小王前2局赢1局输1局且第3局赢， 所以小王最终赢得比赛的概率. （2）由题意，设小明赢得比赛为事件，比赛i场结束为事件 且，，， 则， 在小明赢得比赛的条件下，设比赛场数为， 则, ， ， 所以. 11．（2025·陕西·一模）高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． (1)求每个AI芯片智能检测不达标的概率； (2)人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； (3)若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良． 【答案】(1) (2) (3)需要对生产工序进行改良 【分析】（1）先求每个AI芯片智能检测达标的概率，再利用对立事件的概率求解； （2）先求，利用导数判断单调性可求解； （3）利用条件概率求出AI芯片的合格率，与93%比较可得结论. 【详解】（1）记事件A＝“每个AI芯片智能检测不达标”，则   . （2）由题意， ∴ 令，则， 当，，为增函数； 当，，为减函数； 所以在处取到最大值． （3）记事件B＝“人工检测达标”， 则， 又， 所以， 所以需要对生产工序进行改良． ( 题型0 4 )古典概型 12．（2025·陕西西安·一模）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. (1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； (2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； (3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列答案见解析， 【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件乙顾客第二次摸到红球，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球， 所以，. （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知， 记事件乙顾客第二次摸到红球，则， ， 所以，. （3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为， 则的可能取值有、、、、、、， ，， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故. 13．（2025·陕西·一模）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 【答案】. 【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古典概型的概率计算公式得出答案. 【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有种情况. 若选出的2名学生恰有1名女生，有种情况， 若选出的2名学生都是女生，有种情况， 所以所求的概率为. 【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确“排列”“组合”. ( 题型0 5 )随机变量及其分布列 14．（2025·陕西·一模）在一次军事演习中，某炮兵部队有甲、乙、丙三门火炮对敌方目标M进行射击，现设计了以下规则：每次让一门火炮对M射击一次，如果没有击中M就换另一门火炮进行射击，如果击中M或甲、乙、丙都射击过一次就停止射击．已知甲、乙、丙每次射击击中M的概率分别为，，，且每次射击相互独立． (1)若按甲、乙、丙的顺序进行射击，且，，，求M被击中的概率； (2)若安排乙第二个射击，且，要使射击总次数的数学期望较小，应该安排哪一门火炮第一个射击？ 【答案】(1) (2)甲先射击． 【分析】（1）事件A表示“M被击中”，即计算即可； （2）按甲、乙、丙的顺序射击和按丙、乙、甲的顺序射击分别计算射击总次数的数学期望，比较数学期望的大小即可. 【详解】（1）设事件A表示“M被击中”， 则． （2）设射击的总次数为X，则X的所有可能取值为1，2，3． 若按甲、乙、丙的顺序射击， 则，，， 所以． 若按丙、乙、甲的顺序射击， 同理得． 因为 ， 又因为，，所以， 所以要使射击总次数的数学期望较小，应该让甲先射击． 15．（2025·陕西渭南·一模）第十五届全国运动会将于2025年在广东、香港、澳门三地举办．为了普及全运知识．某中学举办了一次全运知识闯关比赛．比赛分为初赛与复赛．初赛胜利后才能进入复赛．初赛规定：三人组队参赛．每次只派一个人．且每人只派一次：如果一个人闯关失败．再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利．无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参加初赛．他们各自闯关成功的概率分别为．假定互不相等．且每人能否闯关成功相互独立． (1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关．．求该小组初赛胜利的概率： (2)已知．现有两种初赛人员派出方案： 方案一：依次派出甲乙丙： 方案二：依次派出丙乙甲 设方案一和方案二派出人员数目分别为随机变量．求．并比较它们的大小； (3)初赛胜利小组的三名成员都可以进入复赛．复赛规定：单人参赛．每个人回答三道题．全部答对获得一等奖：答对两道题获得二等奖：答对一道题获得三等奖：全部答错不获奖．已知某学生进入了复赛．该学生在复赛中前两道题答对的概率均为．第三道题答对的概率为．若该学生获得一等奖的概率为，设该学生获得二等奖的概率为．求的最小值． 【答案】(1) (2)，，． (3)． 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）分别求出甲乙丙和丙乙甲时的所有可能取值和相应概率，再用期望公式求出对应的期望，作差分解因式即可比较出结果； （3）由独立事件的乘法公式结合题意可得，进而可得，再利用导数分析单调性和最值，得到结果即可； 【详解】（1）设事件A表示该小组获胜．则． 所以该小组初赛胜利的概率为． （2）的可能取值为1， 2，3． 则． 此时 的可能取值为1，2，3． 则． 此时． 所以 因为． 所以．所以． （3）由题意可得，． 则． 令． 则．令． 所以当时，，为减函数． 当时．，为增函数． 所以． 所以的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$