专题05 平面解析几何（陕西专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·陕西西安·一模）已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（   ） A． B．直线FN的方程为 C． D．△PFN的面积为 【答案】BCD 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，圆的圆心及半径，再结合抛物线的定义逐项判断即可. 【详解】抛物线的焦点，准线，圆的圆心，半径， 连接，由切圆于，得， 对于A，，则，A错误； 对于B，由选项A知，，直线的斜率为1，方程为，B正确； 对于C，设，由，解得，，C正确； 对于D，的面积，D正确. 故选：BCD 2．（2025·陕西·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】由两直线平行可求得，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果. 【详解】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为： 3．（2025·陕西渭南·一模）若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设动点的坐标为，由题意求出动点的轨迹方程，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设动点的坐标为， 由题意：，即， 代入点的坐标，可得， 两边取平方并整理得：， 即动点C的轨迹为圆心为，半径为的圆， 因到直线的距离为， 故点到直线的最小距离为， 故选：D. ( 题型02 )圆与方程 4．（2025·陕西·一模）已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． 【答案】A 【分析】由已知得圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可求得答案. 【详解】解：的圆心，半径， 因为直线与相交于两点，且为等边三角形，则圆心到直线的距离为， 即，整理得，解得或， 故选：A. ( 题 型 0 3 )椭圆 5．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，列方程组，求出的值，即得椭圆方程； （2）设，直线方程为并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长，利用两点之间距离公式化简 ，将韦达定理代入计算即得证. 【详解】（1）由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 （2）设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 6．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据极线及焦点坐标分别列式即可求解即得椭圆方程； （2）讨论直线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用判别式为0，解得方程的一个根，得到切点坐标和切线的斜率，进而得到切线方程，最后得出直线方程结合极线定义证明即可； （3）利用代数法证明点在椭圆C外，则点和直线MN是椭圆C的一对极点和极线.根据题意中的概念求出点对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点，最后利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用点差法结合韦达定理计算求参解题. 7．（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程联立椭圆方程，写出韦达定理，根据题目中的等式，可得齐次方程，可得答案. 【详解】设，，则l的方程为， 由，得， 设，，则，①． 因为，所以②． 由①②可得，再结合，，得，解得． 故选：B. 8．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量可得，代入运算求解即可. 【详解】因为， 则， 即，可得， 所以C的离心率. 故选：A. 9．（2025·陕西渭南·一模）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】BCD 【分析】利用曲线的对称性可判断A选项；将直线方程与椭圆方程联立，结合弦长公式可判断B选项；求出椭圆的对称轴方程，将对称轴方程与椭圆方程联立，求出、的值，可判断C选项；利用椭圆的离心率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆上任取一点，则， 则点关于轴的对称点为，因为不恒成立， 故椭圆不关于轴对称，A错； 对于B选项，设直线交椭圆于点、， 联立得，解得，， 因此，直线被椭圆截得弦长为，B对； 对于C选项，在椭圆上任取一点，则， 点关于直线的对称点， 因为，即椭圆关于直线对称， 同理可知，椭圆关于直线对称， 联立可得或， 所以直线截椭圆所得弦长为， 联立解得或， 所以，直线截椭圆所得弦长为， 因为，所以， 所以椭圆的长轴长为，C对； 对于D选项，由C选项可知，，， 所以，椭圆的离心率为，D对. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出椭圆的对称轴，将直线方程与椭圆方程联立，即可求出、、的值，进而求解. 10．（2025·陕西·一模）已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆短轴长和离心率，结合，求得的值，由此求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得，由此求得三角形的面积的表达式，利用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线的斜率，进而求得直线的方程. 【详解】（1）由题意得:，解得:， 所以椭圆的方程为: （2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程:，， 联立与椭圆的方程整理得:， ，得， ，， 所以弦长 ， 原点到直线l的距离， 所以， 令，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即，满足条件，解得， 所以直线l的方程为:或 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. ( 题型0 4 )双曲线 11．（2025·陕西西安·一模）双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点.若直线AM与AN的斜率之积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设出双曲线方程及点的坐标，再利用斜率坐标公式及双曲线离心率的意义求解. 【详解】依题意，设双曲线方程为，则， 设点，则，，即， 因此，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：B 12．（2025·陕西咸阳·一模）已知圆，圆．若动圆M与圆外切，与圆内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若P为直线与x轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线l过且与曲线C交于A，B两点，求证： ①； ②直线，，的斜率成等差数列． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）令圆M的半径为，根据已知可得，结合双曲线的定义即可得轨迹方程； （2）①令且，，联立曲线方程，应用韦达定理及斜率的两点式化简，即可证结论； ②应用斜率两点式得，，，结合①中韦达定理化简整理得，即可证结论. 【详解】（1）对于，圆心，半径， 对于，圆心，半径， 显然，即两圆外离，如下图示， 由动圆M与圆外切，与圆内切，令圆M的半径为，则，， 所以，故动圆圆心M的轨迹为. （2）①由题设且， 令，设， 联立，消得， 由，知，又， 所以，， 则，且有， 故 ， 所以，得证. ②由①知，，， 所以 ， 所以，即直线，，的斜率成等差数列． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是将角度相等关系的证明由对称性转化为斜率之和为0的证明；二是利用韦达定理，将斜率表达式中的根关系转化为系数关系再化简证明. 13．（2025·陕西·一模）已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)作C在点P处的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，求； (3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，，…，，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据离心率以及标准方程建立方程组，可得答案； （2）利用导数求得切线方程，由双曲线的标准方程可得渐近线方程，联立求得交点，根据两点距离公式，可得答案； （3）利用列举法观察规律，根据反证法可得“格点”所满足的等式，可得答案. 【详解】（1）由题意得，解得，所以C的方程为． （2）    当时，由得，所以， 所以l的斜率为，l的方程为，即， 由得C的渐近线方程为， 联立与，解得， 所以． （3）在方程中，令，得，令，得，则． 因为， 所以，得是C上的一个格点， ，得是C上的一个格点． 按这种构造方式，由可以得到一系列格点． 下面证明C上的任意一个格点都满足该式： 任取两个由上述方式得到的相邻格点和，假设在点和之间存在另外的格点，即存在，，满足． 因为是C上的格点，所以， 所以， 得， 设，，则． 由点，在C上，可得，，且， 所以，，再由，，，，得，， 故也是C上的格点． 另一方面，因为，，所以， 即，所以． 而，即． 显然，C上不存在格点满足该式，矛盾，假设不成立， 故C上的所有格点都满足． 由，，得． 所以 所以，为定值． 【点睛】关键点点睛：第三问利用列举法求得符合题意的“格点”，猜想“格点”坐标满足的等式，再利用反证法，验证所有“格点”的坐标都满足这一等式，即可表现出“格点”. 14．（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为 (1)求的值： (2)记．证明：数列为等比数列； (3)记的面积为．证明：是定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据点在上，求出双曲线的方程，再由对称性即可求得结果； （2）由和，表示出直线方程，根据，联立方程化简可得，又，即可得，即可得证； （3）由（2）知．又，所以，即得和坐标，然后表示出，化简得证. 【详解】（1）由题知双曲线．点在上， 故，所以双曲线． 又过点斜率为的直线方程为． 由双曲线与直线的对称性可知． 所以．即. （2）因为，所以．因为 所以． 于是．①． 由于， 所以．且． 两式作差可得．② 把①代入②可得．③ 由③-①得． 即 因为．所以 又．所以 故数列是首项为．公比为的等比数列． （3）由（2）知．又，所以． 则． 因为， 且， 所以 ， 即是定值. ( 题型0 5 )抛物线 15．（2025·陕西渭南·一模）已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用给定条件结合抛物线的定义求解即可. 【详解】因为点为抛物线上一点， 所以，解得，且设点到抛物线的焦点的距离为， 由抛物线的定义得，故B正确. 故选：B 16．（2024·陕西西安·一模）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. ( 题型0 6 )直线与圆锥曲线的位置关系 17．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线，直线l经过点且与C交于A，B两点，O为坐标原点，面积的最小值为，则 ． 【答案】2 【分析】令，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式、三角形面积的求法有，结合最小值求参数即可. 【详解】由题设，令，联立抛物线得，显然， 所以，，则， 由到的距离， 所以，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：2 18．（2025·陕西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C． D．直线的斜率为 【答案】ABC 【分析】设直线的方程为，不妨设，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出， ，再由正弦定理得到，得到 ，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出，进而求出，根据 可判断根据可判断根据可判断根据对称性判断． 【详解】解：由题意得，，， 当直线的斜率为时，与抛物线只有个交点，不合要求， 故设直线的方程为，不妨设， 联立，可得，易得， 设，，则，， 则，， 则，， 由正弦定理得，， 因为，， 所以， ， 即． 又由焦半径公式可知， 则，即， 即，解得， 则，，解得，， 故， 当时，同理可得到，故A正确 ． ，故B正确 ，故C正确 当时，，则 ，即 ， 此时 ． 由对称性可得，当时，， 故直线的斜率为，故D错误． 故选：ABC. 【点睛】方法点睛： 在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法； （1）常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合； （2）韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法； （3）抛物线定义结合焦点弦公式. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·陕西西安·一模）已知F是抛物线C：的焦点，l是C的准线，点N是C上一点且位于第一象限，直线FN与圆A：相切于点E，点E在线段FN上，过点N作l的垂线，垂足为P，则以下结论正确的是（   ） A． B．直线FN的方程为 C． D．△PFN的面积为 2．（2025·陕西·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 3．（2025·陕西渭南·一模）若动点到的距离之比为．则点到直线的最小距离为（   ） A． B． C． D． ( 题型02 )圆与方程 4．（2025·陕西·一模）已知直线与相交于两点，且为等边三角形，则实数（    ） A．或2 B．或4 C． D． ( 题 型 0 3 )椭圆 5．（2025·陕西汉中·一模）已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求证为定值. 6．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 7．（2025·陕西·一模）已知椭圆C：的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西咸阳·一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与椭圆C在第二象限交于点M，且，则C的离心率为（   ）． A． B． C． D． 9．（2025·陕西渭南·一模）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 10．（2025·陕西·一模）已知椭圆的离心率为，且短轴长2，O为坐标原点． (1)求椭圆C的方程； (2)设过点的直线l与椭圆C交于M，N两点，当的面积最大时，求直线l的方程． ( 题型0 4 )双曲线 11．（2025·陕西西安·一模）双曲线的左顶点为A，点M，N是双曲线上关于y轴对称的两点.若直线AM与AN的斜率之积为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．3 12．（2025·陕西咸阳·一模）已知圆，圆．若动圆M与圆外切，与圆内切，动圆圆心M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若P为直线与x轴的交点，Q为直线上的另外一点，直线l过且与曲线C交于A，B两点，求证： ①； ②直线，，的斜率成等差数列． 13．（2025·陕西·一模）已知双曲线C：的离心率为，且C经过点． (1)求C的方程； (2)作C在点P处的切线l，设l与C的两条渐近线分别交于点Q，R，求； (3)将横、纵坐标均为正整数的点称为“格点”，记C上的所有格点为，，，…，，证明：为定值． 14．（2025·陕西渭南·一模）已知双曲线．点在上．按如下方式构造点．过点作斜率为的直线与的下支交于点．点关于轴的对称点为．记点的坐标为 (1)求的值： (2)记．证明：数列为等比数列； (3)记的面积为．证明：是定值． ( 题型0 5 )抛物线 15．（2025·陕西渭南·一模）已知点为抛物线上一点．则点到抛物线的焦点的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．（2024·陕西西安·一模）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 ( 题型0 6 )直线与圆锥曲线的位置关系 17．（2025·陕西咸阳·一模）已知抛物线，直线l经过点且与C交于A，B两点，O为坐标原点，面积的最小值为，则 ． 18．（2025·陕西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于，两点，点位于点右方，若，则下列结论一定正确的有（    ） A． B． C． D．直线的斜率为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$