专题03 三角函数与解三角形（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的图象与性质 题型03 三角恒等变换 题型04 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·甘肃·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以，， 因此， . 故选：C. 2．（2025·甘肃·一模）已知a，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设可得，结合二倍角的正弦及平方关系、商数关系可得， 最后利用两角和的正切可得正确的选项. 【详解】因为，故， 而， 所以， 故选：D. 3．（2025·甘肃·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对两式进行平方，进而可求出的值，根据二倍角公式求出结论. 【详解】解：因为，， 所以平方得，，， 即，， 两式相加可得， 即， 故， . 故选：D. ( 题型02 )三角函数的图象与性质 4．（2025·甘肃兰州·一模）一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由图象可知函数的最值、周期与对称轴，则可得函数解析式，根据正弦函数以及整体思想，可得答案. 【详解】由图可知，最小正周期，则， 由，则函数图象过，即， 解得（），即（），可得， 故，由，则， 解得（）或（）， 可得（）或（）， 当时，，当时，，当时，. 故选：A. 5．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 【答案】(1)存在；，（m，，且m，n不同时为0） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用正余弦函数的周期性计算可得结论； （2）利用，计算可得当在曲线S上时，必有在曲线S上，可得结论； （3）先用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上，由第（2）问可知，点是曲线S的中心，可证明点M也是矩形ABCD的中心，进而可得结论. 【详解】（1）因为， 所以当在曲线S上时，（m，，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性， 向量，（m，，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）． （2）因为，， 所以当时， 故当在曲线S上时，必有在曲线S上， 而P与关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为，（m，n取一个符合要求的值也可）； （3）先证明曲线S上的点在直线的上方或直线上， 设是曲线S上任意一点，即证． 由可得， 令，则，原命题即证． 用反证法证明，假设，则， 由可得， 由于时原式不成立，故，则， 若，则，所以， 又， 故，得，矛盾． 故，即，又，因此， 从而，可得，因此， 所以，这与已知矛盾，故假设不成立， 由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于的直线为， 由，得，将其分别代入曲线S的方程两边， 左边，右边， 故点既在曲线S上又在直线上，从而曲线S上的点在直线的上方或直线上． 由于点到直线的距离， 到直线的距离，故， 到直线的距离， 到直线的距离，故， 所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线的下方或直线上，同理可证，曲线S上的点也在直线之间，或直线上，因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线S的对称中心重合，因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积． 【点睛】关键点点睛：第三问，关键在于，利用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上与利用点到直线的距离公式证明点M也是矩形ABCD的中心,进而依据中心对称图形的性质得到结论. ( 题型0 3 )三角恒等变换 6．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式和二倍角余弦公式求解即可. 【详解】. . 故选：D. 7．（2025·甘肃兰州·一模）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由余弦二倍角公式结合正弦定理得到，再由，得到，即可求解； 【详解】由， 可得：， 即， 即, 即 化简可得：,又, 可得：， 由，可得, 因为， 所以，即， 所以锐角三角形ABC为等边三角形， 所以面积为， 故答案为： 8．（2025·甘肃·一模）在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦定理及三角形面积公式即可求解． 【详解】因为， 所以， 所以， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以为等边三角形， 所以的面积为． 故选：D． ( 题型0 4 )解三角形 9．（2025·甘肃·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的方程，根据为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项，根据三角形面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出点的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】根据题意，设点，则，且， 易知点、，则， 因为，解得，所以，双曲线的方程为， 对于A选项，因为双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 所以，所以，故选项A错误； 对于B选项，因为， 根据双曲线定义可得，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，故选项B正确； 对于C选项，先证明双曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 又因为，整理可得，解得， 可知双曲线与直线有一个交点， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即， 所以，， 所以，点为线段的中点，即，故选项C正确； 对于D选项，， 点到直线的距离为， 因为点为线段的中点， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是结合图形利用几何关系简化运算. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01 同角三角函数的基本关系 题型02 三角函数的图象与性质 题型03 三角恒等变换 题型04 解三角形 ( 题型01 )同角三角函数的基本关系 1．（2025·甘肃·一模）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·一模）已知a，且，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )三角函数的图象与性质 4．（2025·甘肃兰州·一模）一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足，当时，x不可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． ( 题型0 3 )三角恒等变换 6．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃兰州·一模）在锐角三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的面积为 ． 8．（2025·甘肃·一模）在锐角中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )解三角形 9．（2025·甘肃·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$