专题02 函数与导数（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·甘肃·一模）若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（    ） A．若，则为减函数 B．若，则为增函数 C．若，则为增函数 D．若，则为减函数 【答案】AD 【分析】将四个选项中的函数代入 中化简，得出关于的函数，判断其单调性即可. 【详解】对于函数， 由于为正常数，所以为上的减函数，故A正确： 对于函数， 由于为正常数，所以为常函数，故B错误； 对于函数， ， 由于为正常数，所以为减函数，故C错误； 对于函数， ， 令，则，当时，为增函数， 由于为正常数，所以， 即，所以为减函数，故D正确. 故选：AD. 2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 3．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用排除法，结合奇偶性，单调性逐个判断即可. 【详解】，排除A. 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D. 在上单调递减，排除C. 的图象符合题中图象，B正确. 故选：B ( 题型02 )指对幂函数 4．（2025·甘肃·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求解时的解，比较解与的大小，代入计算可判断与0的关系. 【详解】解：，解得， 令，解得：， 令，解得：， 令，则， 因为，所以，，则有， 即恒成立，所以在上单调递增， 则有， 所以， ， 所以. 故选：D 5．（2025·甘肃·一模）若，给出下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，所以 ， 故对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，由于，，即：，故B 选项错误； 对于C选项，由于，故，所以，所以，故C选项正确； 对于D选项，由于，所以，所以，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】本题考查不等式的性质比较大小，解题的关键在于利用作差法比较大小和结合函数的单调性比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. ( 题 型 0 3 )函数的应用 6．（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（    ） A．函数在区间内有唯一的零点 B．时， C．时， D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N， 【答案】AD 【分析】利用不等式性质以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】由于， 当时，，则， 当时，， 故当时，，则， 故必有，使，因此A正确，B错误． 对于任意正数， 当时，， 取，当时，对于任意大于1的正实数N， 因此D正确，而当时，故C错误． 故选：AD. 7．（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析表中数据根据单调性和过点即可判断出最符合实际的函数模型． 【详解】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过. 函数和图象不过，不符合条件，故BC错误； 函数单调递增，故A错误； D选项：满足上述条件，故D正确. 故选：D. ( 题型0 4 )导数的几何意义 8．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点，利用在切点处的斜率等于0即可求得结果. 【详解】设切点坐标为，函数，所以， 因为切线与x轴平行，所以，解得，，故切点坐标为 故选：B 9．（2024·甘肃张掖·一模）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)2； (2)2. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出值. （2）由（1）的结论，求出函数在上的单调区间，进而求出最大值. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 由函数的图象在点处的切线斜率为， 得， 所以. （2）由（1）得， 由，得或， 当或时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 函数在区间上的最大值为2. ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 10．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用导数与函数单调性间的关系，直接求出在上单调性，即可求解. 【详解】因为， 又，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，所以在上的最小值为. 故答案为：. 11．（2025·甘肃·一模）函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 【答案】ABD 【分析】对A：检验，即可判断；对B：利用导数分析其单调性，进而求得其值域即可；对C：检验的结果是否为零，即可判断；对D：令，直接求解即可. 【详解】对A：，故为的周期， 显然，没有比更小的正周期，故的最小正周期为，故A正确； 对B：考虑到的最小正周期为，故只需考虑在的值域； ，，故 即； 因为，故， 则当时，，即，此时，单调递减； 当时，，即，此时，单调递增； 又，， ，故的值域为，故B正确； 对C：， ， 则，即， 则不是的对称轴，故C错误； 对D：令，即，，即， 则，或，解得，或，， 又，，故的零点为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题综合考察研究三角函数周期、零点、对称性以及值域的研究方法，其中，周期的定义，以及对称性的判断，都在考察学生基本功，同时利用导数研究函数值域，也是本题的难点，属综合中档题. 12．（2025·甘肃·一模）函数，且. (1)时，判断的单调性； (2)若，判断与的大小，且，并说明理由； (3)证明：对于任意的，有. 【答案】(1)答案见解析 (2)，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分类讨论根据导函数正负得出函数单调性； （2）应用已知（1）的结论结合三角函数的值域计算判断即可； （3）应用已知（1）的结论结合三角函数的值域及不等式的性质计算证明即可； 【详解】（1）由于 当时，时， 故当时，函数在为减函数，在为增函数， 同理，当时，函数在为增函数，在为减函数： （2）由（1）可知，当时，，故， 令，由于，则， 可得，所以， 当且仅当时“”成立. （3）由（1）可知，当时，. 又当时，， 故时，，即， 令，可得， 令，可得， 两式相加可得，即， 所以 ，当且仅当时“”成立. 由可得， 令，可得， 两边同乘，整理得， 用替换可得， 同理可得， 两式相加可得 ， 故， 所以 ，当且仅当时“”成立. 所以 当且仅当时“”成立. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对（1）的结论的应用结合三角函数及不等式性质计算即可； 13．（2025·甘肃白银·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是的一个极小值点 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件可知的图象关于直线对称，构造函数并求导得出函数单调性可得B错误，再由对称性计算可得C正确，利用单调性可判断不等式正确. 【详解】由，得，所以的图象关于直线对称，A正确. 当时，令，则. 因为，所以. 由，得，所以， 即，则. 令，得或（舍去， 当时，，单调递减， 当时，单调递增，B错误. 因为的图象关于直线对称，所以的一个极小值点为，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据已知条件构造函数并求导得出函数单调性，再利用极值点定义可判断得出结论. 14．（2025·甘肃·一模）已知. (1)证明：是奇函数； (2)若，证明在上有一个零点，且. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1） 根据奇函数的定义证明即可； （2）先根据函数是奇函数设，再做差运算得出，最后结合函数单调性证明不等式. 【详解】（1）的定义域为， . 由奇函数的定义知是奇函数. （2）由对称性，不妨取， 则， 而. 下证， 设，，，， 则 （当且仅当，，即时取等号）. 的定义域为， . 由对称性，不妨取，则， 故在上单调递增. 当时，； 当时，. 由零点存在定理知在上有一个零点， 故. 【点睛】方法点睛：先根据函数是奇函数设，再做差运算得出，最后结合函数单调性证明不等式. 15．（2025·甘肃·一模）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 16．（2025·甘肃·一模）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得在上单调递增，则得，从而可得存在极小值点，从而可求解. 【详解】由题意可得在时有最小值，即在上有极小值即可， 因为在上单调递增，所以只需 即解得， 这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是． 故答案为：. 17．（2025·甘肃·一模）已知函数 在时取得极值. (1)求实数； (2)若，求的单调区间和极值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，再检验即可； （2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间与极值. 【详解】（1）因为，所以， 由题意得， 即，解得，经检验符合题意； （2）由（1）得，， 则， 由得或，得， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以的极大值为，极小值为 ( 题型0 6 )导数的综合 18．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式； （2）设，求导，可得的单调性，进而可得结论； （3）由题意需证，由（2）可得，利用放缩法与裂项相消法可证结论. 【详解】（1）设等差数列公差为成等比数列，则， 所以，解得或（舍去），所以； （2）设，当时，单调递减， ，所以，由（1）可知， 则有，所以不等式恒立． （3）因为，所以要证， 只需证：， 根据（2）可知，那么， ， 所以. 19．（2025·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①，②证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）①法一：令，得，将题意转化为的图象有两个交点，令，求出的单调性和值域，即可得出答案；法二：对求导，求出的单调性和值域，使得，即可得出答案. ②将题意转化为证明，设，证得可得，又，即可证明. 【详解】（1）解：由题意得. 因为曲线在处的切线的斜率为3， 所以，得. （2）①法一：解：令，得.令，则. 当时，单调递增； 当时，单调递减.故. 当趋近正无穷时，趋近，又， 所以，即的取值范围为. 法二：由题意得. 若，则单调递减，所以在上不可能有两个零点. 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得. 当趋近时，趋近正无穷；当趋近正无穷时，趋近正无穷；. 故的取值范围为. ②证明：由①可得，则 两式相加得. 由，得. 要证，只需证. 设，则. 当时，单调递减， 当时，单调递增，则，即. 因为，所以，即. 又，所以，所以， 从而得证. 【点睛】关键点睛：利用导数证明不不等式，常用方法有如下几种： 方法一：等价转化是证明不等式成立的常见方法，其中利用函数的对称性定义，构造对称差函数是解决极值点偏移问题的基本处理策略； 方法二：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，构造函数利用函数的单调性证明的不等式即可，例如对数平均不等式的证明； 方法三：利用不等式的性质对原不等式作等价转换后，利用导数证明相关的式子成立，本题欲证的关键在于对不等式作等价转换；因为，转换为：不等式的证明. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数及其性质 题型02 指对幂函数 题型03 函数的应用 题型04 导数的几何意义 题型05 利用导数研究函数的单调性、极值和最值 题型06 导数的综合 ( 题型01 )函数及其性质 1．（2025·甘肃·一模）若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，以下判断正确的是（    ） A．若，则为减函数 B．若，则为增函数 C．若，则为增函数 D．若，则为减函数 2．（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃白银·一模）箕舌线是平面曲线的一种，因其状如舌而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． ( 题型02 )指对幂函数 4．（2025·甘肃·一模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·一模）若，给出下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题 型 0 3 )函数的应用 6．（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（    ） A．函数在区间内有唯一的零点 B．时， C．时， D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N， 7．（2025·甘肃·一模）某班研究性小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为（单位：）的净化装置后污染物的含量如下表： 0 1 2 3 研究小组的同学根据表格数据建立了关于的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )导数的几何意义 8．（2025·甘肃兰州·一模）若函数（e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·甘肃张掖·一模）已知函数的图象在点处的切线斜率为． (1)求实数的值； (2)求在区间上的最大值． ( 题型0 5 )利用导数研究函数的单调性、极值和最值 10．（2025·甘肃兰州·一模）函数在上的最小值为 ． 11．（2025·甘肃·一模）函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．的图象是轴对称图形，其中一条对称轴是 D．的零点是 12．（2025·甘肃·一模）函数，且. (1)时，判断的单调性； (2)若，判断与的大小，且，并说明理由； (3)证明：对于任意的，有. 13．（2025·甘肃白银·一模）已知函数的定义域为，其导函数为，且，当时，，则（   ） A．的图象关于直线对称 B．在上单调递增 C．是的一个极小值点 D． 14．（2025·甘肃·一模）已知. (1)证明：是奇函数； (2)若，证明在上有一个零点，且. 15．（2025·甘肃·一模）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃·一模）已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是 ． 17．（2025·甘肃·一模）已知函数 在时取得极值. (1)求实数； (2)若，求的单调区间和极值. ( 题型0 6 )导数的综合 18．（2025·甘肃兰州·一模）已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：； (3)若数列满足，证明：（e为自然对数的底）． 19．（2025·甘肃白银·一模）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为3，求. (2)已知恰有两个零点. ①求的取值范围； ②证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$