专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 不等式 题型03 复数 题型04 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·甘肃·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域化简集合A，再利用交集的定义求解. 【详解】函数中，，则集合，而， 所以. 故选：B 2．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，以及集合的交集与并集的意义可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，当时，成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以，所以是的充分条件，故B错误； 对于C，因为，所以，当时， 成立，但不成立，所以不是的必要条件，故C错误； 对于D，因为，，所以，所以，所以是的充分条件， 由，可得，所以，所以是的必要条件， 所以是的充要条件，故D正确. 故选：D. 3．（2025·甘肃·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出集合，判断的元素是否在集合中，可得. 【详解】因为，又，故， 易验证0，1，2均是的解，所以，所以． 故选：B． 4．（2025·甘肃·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 5．（2025·甘肃·一模）设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合. （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个. 【答案】（1）答案见解析（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义可得答案； （2）利用反证法以及性质的定义推出相互矛盾的结论可得解； （3）通过构造，证明当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出，即可得证. 【详解】（1），；，；，；；，. （2）假设存在和均具有性质，且， 则， 因为与同奇同偶，所以与同奇同偶， 又因为为奇数，为偶数， 这与与同奇同偶矛盾，所以假设不成立. 综上所述：不存在具有性质的和，满足. （3）不妨设与构成一个数表， 交换数表中的两行，可得数表， 调整数表各列的顺序，使第一行变为， 设第二行变为， 令，则具有性质，且， 假设与相同， 则， 不妨设，，则有，故， 因为，所以， 因为，所以，与矛盾. 故对于具有性质的，若具有性质，且，则存在一个具有性质的，使得，且与不同，并且由的构造过程可以知道，当，确定时，唯一确定，由也仅能构造出. 所以满足的有偶数个. 【点睛】关键点点睛：理解性质的定义，通过构造法解题是解题关键. ( 题型02 )不等式 6．（2025·甘肃·一模）已知实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用不等式的性质判断A,B,变形应用基本不等式求和的最小值判断C,D. 【详解】因为，，所以，，的符号不确定， 对A，当时，不成立，故A错误； 对B，由，，得，B正确； 对C，，，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对D，由，得，，故， 当且仅当，即时等号成立，故D错误． 故选：BC． 7．（2025·甘肃·一模）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 8．（2025·甘肃·一模）若，给出下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，所以 ， 故对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，由于，，即：，故B 选项错误； 对于C选项，由于，故，所以，所以，故C选项正确； 对于D选项，由于，所以，所以，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】本题考查不等式的性质比较大小，解题的关键在于利用作差法比较大小和结合函数的单调性比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. ( 题 型 0 3 )复数 9．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限， 则，解得. 故选：C. 10．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由复数的乘法整理其为标准式，再利用模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 11．（2025·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由题意，根据共轭复数的定义和复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以复数对应的点的坐标为，位于复平面的第三象限， 故选：C. 12．（2025·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 【答案】5 【分析】根据复数模长可得，即可根据虚部和实部定义求解. 【详解】由题意得，所以复数的实部与虚部之和为5. 故答案为：5 13．（2025·甘肃·一模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】由，得， 所以，其虚部为． 故选：C． 14．（2025·甘肃·一模）若复数满足，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得. 【详解】设，，则，故有， 即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确， B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误. 故选：A. ( 题型0 4 )平面向量 15．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反向单位向量即为，代入计算即可. 【详解】与反向的单位向量为. 故答案为：A. 16．（2025·甘肃·一模）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由向量的加法和数量积结合图形运算即可； 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 17．（2025·甘肃·一模）已知，，且，则在上的投影向量为 【答案】 【分析】利用向量的坐标运算，结合向量的投影计算即可得出结果. 【详解】设，由可知①， 而， 所以 由可得②， 由①②可得，解得，则， 所以或者， 又，则向量在上的投影向量是. 故答案为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语、不等式、复数、向量 题型概览 题型01 集合的运算 题型02 不等式 题型03 复数 题型04 平面向量 ( 题型01 )集合的运算 1．（2025·甘肃·一模）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃兰州·一模）已知集合，以下判断正确的是（    ） A．是的充分条件 B．是的既不充分也不必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 3．（2025·甘肃·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·一模）设为正整数，若满足：①；②对于，均有；则称具有性质.对于和，定义集合. （1）设，若具有性质，写出一个及相应的； （2）设和具有性质，那么是否可能为，若可能，写出一组和，若不可能，说明理由； （3）设和具有性质，对于给定的，求证：满足的有偶数个. ( 题型02 )不等式 6．（2025·甘肃·一模）已知实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃·一模）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 8．（2025·甘肃·一模）若，给出下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． ( 题 型 0 3 )复数 9．（2025·甘肃·一模）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 10．（2025·甘肃兰州·一模）若复数，则（    ） A．1 B． C．3 D．5 11．（2025·甘肃张掖·一模）已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2025·甘肃白银·一模）复数的实部与虚部之和为 . 13．（2025·甘肃·一模）已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·甘肃·一模）若复数满足，则可以为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )平面向量 15．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃·一模）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 17．（2025·甘肃·一模）已知，，且，则在上的投影向量为 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$