专题06 计数原理与概率统计（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 独立性检验 题型03 计数原理 题型04 随机事件的概率 题型05 古典概型 题型06 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·甘肃·一模）高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（    ） A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8 【答案】C 【分析】利用分层抽样的均值公式计算. 【详解】，故估计本次比赛高一年级的总体均分为分. 故选：C. 2．（2025·甘肃兰州·一模）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（    ） A．估计这次考试全班成绩的平均分为84 B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C．样本的分位数是87 D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 【答案】ABD 【分析】利用平均数的定义计算可判断A；求得任取2人的方法数，取得2人的成绩均大于平均分的方法数，利用古典概型概率公式可求得对概率判断B；利用百分位数的定义计算判断C；由平均成绩不变，利用方差的定义可判断D. 【详解】对于A，样本的平均分为， 所以估计这次考试全班成绩的平均分为84，故A正确； 对于B，从样本中任取两人的成绩有种不同的取法， 从成绩大于平均的3名同学中任取2人有种不同的取法， 所以从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是，故B正确； 对于C，因为，所以样本的分位数是第6个数据，故C错误； 对于D，当该样本中加入84形成新样本时，新数据平均数不变， 由方差公式可知新样本方差小于原样本方差，故D正确. 故选：ABD. 3．（2025·甘肃张掖·一模）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图. 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的有（   ） A．该地家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例估计为 B．估计该地农户家庭年收入的分位数为9万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图求出各组频率即可判断AD，确定分位数判断B，利用频率分布直方图的平均数运算法则求解判断C. 【详解】对于A，由频率分布直方图知，家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例约为 ，A正确； 对于B，由频率分布直方图知， 家庭年收入不超过8.5万元的农户约占， 家庭年收入不超过9.5万元的农户约占， 因此分位数为9，B正确； 对于C，由频率分布直方图知，该地农户家庭年收入的平均值约为 （万元） （万元），C错误； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户约占， D正确. 故选：ABD. 4．（2025·甘肃·一模）已知样本数据的平均数为，则数据（    ） A．与原数据的极差相同 B．与原数据的众数相同 C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同 【答案】AD 【分析】利用数据的极差、众数、方差、平均数的定义和公式求解. 【详解】不妨设，则， 对A，样本数据的极差为， 数据的极差也为，A正确； 对B，如数据1,1,2，2,4的众数为1和2，平均数为2， 数据1,1,2，2,4，2的众数为2，B错误； 对C，原数据的方差为， 新数据的方差为， 所以新数据与原数据方差不同，C错误； 对D，原数据的平均数为， 新数据的平均数为 ，D正确； 故选:AD. ( 题型02 )独立性检验 5．（2025·甘肃·一模）为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.    (1)依据频率分布直方图，完成以下列联表： 成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计 每天整理错题 未每天整理错题 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关. 附 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)有关 【分析】（1）根据数表分析计算即可完善列联表； （2）利用卡方计算公式，及独立性检验思想分析即可； 【详解】（1）根据频率分布直方图，可得 成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计 每天整理错题 14 6 20 未每天整理错题 5 15 20 合计 19 21 40 （2）假设：数学成绩不低于总体均分与每天整理数学错题无关. 计算可得 根据小概率值的独立性检验，可推断不成立， 即认为数学成绩不低于总体均分与每天整理错题有关. 6．（2025·甘肃·一模）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 (1)判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； (2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)没有 (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算卡方后与3.841比较大小即可得； （2）借分层抽样的性质可得5人中成绩优秀的人数，再得出的可能取值后计算相应的概率即可得其分布列，即可得其期望. 【详解】（1）， 没有的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； （2），，人中2人成绩优秀，3人成绩不优秀， 的取值可能为、、， ，，， 分布列为： 0 1 2 ． 7．（2025·甘肃·一模）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，． (1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，，不相互独立 (2) 【分析】（1）利用条件概率公式以及全概率公式计算即可； （2）作出新的列联表，然后求出新的值，列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知， ， 又因为，所以， 所以， 又， 所以， 所以A与B不为独立事件； （2）假设原列联表为 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 根据原数据有 若将样本容量调整为原来的倍， 则新的列联表为： 兴趣高 兴趣不高 总计 主动预习 不太主动预习 总计 则 ，解得， 又，所以的最小值为. ( 题 型 0 3 )计数原理 8．（2025·甘肃·一模）从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】A 【分析】从9个数字中选择3个不同的数，只需选出，无需排序. 【详解】从9个数字中选择3个不同的数，无需再排序，故. 故选：A. 9．（2025·甘肃张掖·一模）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 【答案】5 【分析】间接法：利用分类加法原理求出“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面的情形，利用组合知识求解平均分两组的情形，作差即可求解； 直接法：由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组，利用分类加法原理和组合数求解即可. 【详解】方法一（间接法）：事件“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的反面是“标号为4的小球是所在组标号最大的”“标号为3的小球是所在组标号最小的”至少一个成立. 当标号分别为3和4的小球不在同一组时，有124，356一种分法， 且“标号为4的小球是所在组标号最大的”和“标号为3的小球是所在组标号最小的”同时成立. 当标号分别为3和4的小球在同一组时， 若“标号为4的小球是所在组标号最大的”成立，则有134，256和234，156两种分法； 若“标号为3的小球是所在组标号最小的”成立，则有126，345和125，346两种分法． 综上，不符合题意的分法有5种. 将6个小球平均分成两组，有种分法，所以符合题意的分法有种． 方法二（直接法）：当标号分别为3和4的小球在同一组时， 不论和它们在一组的小球的标号是1，2，5，6中的哪一个， “标号为4的小球不是所在组标号最大的”和“标号为3的小球不是所在组标号最小的”不能同时成立， 所以标号分别为3和4的小球不在同一组. 由题意可得，标号为1，2的小球中至少有1个与标号为3的小球一组， 标号为5，6的小球中至少有1个与标号为4的小球一组． 故符合题意的分组方式有种． 故答案为：5 【点睛】 方法点睛：对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题；组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理． 10．（2025·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . 【答案】 6 5880 【分析】通过新定义，结合组合数即可求解. 【详解】如图，将这7个点均用线段两两相连，有条线段，每个点的度数均为6. 若将这7个点用17条线段两两相连，则需要在21条线段的基础上删除4条线段.因为这7个点的度数均大于2，则与每个点连接的线段最多删掉3条， 所以不同的图形的数量为. 故答案为：6；5880. 11．（2025·甘肃·一模）被10除的余数为 . 【答案】1 【分析】先由题得再结合二项式定理展开，根据其展开式结构特征即可求解. 【详解】由题 ， 因为可以被10整除， 所以被10除的余数为1. 故答案为：1. 12．（2025·甘肃·一模）将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．28 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【分析】先将五个小球分为，，或，，三组，再分配到三个盒子中. 【详解】第一种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种； 第二种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种. 不同的放法数为18. 故选：. ( 题型0 4 )随机事件的概率 13．（2025·甘肃兰州·一模）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两步探讨，结合古典概率列式计算得解. 【详解】先求m小于100的概率，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步： （1）取百位的概率为； （2）取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而a的十位大于b的十位与 a的十位小于b的十位的概率相等，此步符合要求的概率为， 所以m小于100的概率为.故m大于100的概率是 故选：D ( 题型0 5 )古典概型 14．（2025·甘肃兰州·一模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 【答案】(1) (2)60套 【分析】（1）用字母表示出事情，根据事情的关系以及条件概率的公式，可得答案； （2）由互斥事件的概率加法公式以及条件概率，求得获奖概率，利用二项分布的均值公式，可得答案. 【详解】（1）设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡， （j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖， 则，， 所以. （2）设事件D表示获奖，则， 且，为互斥事件， ， 由（1），， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数， 若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30， 又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，， 所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． ( 题型0 6 )随机变量及其分布列 15．（2025·甘肃·一模）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 【答案】(1) (2)652 【分析】（1）根据方差和求出，，然后代入公式可得； （2）由求出，然后根据特殊区间求出，然后可得. 【详解】（1）因为， 所以， 又，所以， 所以. （2）因为，， 所以，解得，即， 因为，所以， 所以数学成绩服从正态分布， 因为 ， 所以该校高三学生数学成绩位于区间大约有人. 16．（2025·甘肃·一模）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念，识别期望与方差，利用期望和方差的性质计算，利用正态分布的图象及正态分布的对称性来求解即可． 【详解】由随机变量， 得，，，，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确． 故选：ABD． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 计数原理与概率统计 题型概览 题型01 统计 题型02 独立性检验 题型03 计数原理 题型04 随机事件的概率 题型05 古典概型 题型06 随机变量及其分布列 ( 题型01 )统计 1．（2025·甘肃·一模）高一年级400名学生参加数学基础知识竞赛活动，答题后随机抽取22名男生和18名女生，计算得男生的平均得分为82分，女生的平均得分为80分，则估计本次比赛高一年级的总体均分为（    ） A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.8 2．（2025·甘肃兰州·一模）在某班级的一次测验后，随机抽取7名同学的成缆作为样本，这7名同学的成领分别为78，80，81，84，87，88，90，则（    ） A．估计这次考试全班成绩的平均分为84 B．从样本中任取两人的成绩，均大于平均分的概率是 C．样本的分位数是87 D．当该样本中加入84形成新样本时，新样本方差小于原样本方差 3．（2025·甘肃张掖·一模）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图. 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的有（   ） A．该地家庭年收入低于5.5万元的农户所占比例估计为 B．估计该地农户家庭年收入的分位数为9万元 C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4．（2025·甘肃·一模）已知样本数据的平均数为，则数据（    ） A．与原数据的极差相同 B．与原数据的众数相同 C．与原数据的方差相同 D．与原数据的平均数相同 ( 题型02 )独立性检验 5．（2025·甘肃·一模）为了解高一学生整理数学错题与提高数学成绩的相关性，某小组通过随机抽样，获得了每天整理错题和未每天整理错题的各20名学生3次数学考试成绩的平均分，绘制了如图1，2的频率分布直方图，并且已知高一学生3次数学考试成绩的总体均分为115分.    (1)依据频率分布直方图，完成以下列联表： 成绩不低于总体均分 成绩低于总体均分 合计 每天整理错题 未每天整理错题 合计 (2)依据小概率值的独立性检验，分析数学成绩不低于总体均分是否与每天整理数学错题有关. 附 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 6．（2025·甘肃·一模）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表： 使用智能辅导系统 未使用智能辅导系统 合计 入学测试成绩优秀 20 20 40 入学测试成绩不优秀 40 20 60 合计 60 40 100 (1)判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关； (2)若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 7．（2025·甘肃·一模）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和兴趣一般两类，预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件A：学习兴趣高，事件B：主动预习．据统计显示，，，． (1)计算和的值，并判断A与B是否为独立事件； (2)为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本，利用独立性检验，计算得．为提高检验结论的可靠性，现将样本容量调整为原来的倍，使得能有99.5%的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定的最小值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 题 型 0 3 )计数原理 8．（2025·甘肃·一模）从1-9这9个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是（    ） A．84 B．120 C．504 D．720 9．（2025·甘肃张掖·一模）将分别标有号码的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种. 10．（2025·甘肃白银·一模）在平面图形中，与某点连接的线段的数量，称为该点的度数.在平面内有共7个点（任意三点均不共线），若将这7个点用21条线段两两相连，则的度数为 ；若将这7个点用17条线段两两相连，且这7个点的度数均大于2，则不同的图形的数量为 . 11．（2025·甘肃·一模）被10除的余数为 . 12．（2025·甘肃·一模）将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（    ） A．28 B．24 C．18 D．12 ( 题型0 4 )随机事件的概率 13．（2025·甘肃兰州·一模）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三位数字构成三位数a，后三位数字构成三位数b，记，m大于100的概率是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )古典概型 14．（2025·甘肃兰州·一模）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并额外获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ ( 题型0 6 )随机变量及其分布列 15．（2025·甘肃·一模）某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为，化学成绩的方差为，其中且1分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩，关于的线性回归方程为. (1)求与的样本相关系数； (2)从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间的人数. 附：①回归方程中： ②样本相关系数 ③若，则 ④ 16．（2025·甘肃·一模）已知随机变量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$