专题05 平面解析几何（甘肃专用）-【好题汇编】2025年高考数学一模试题分类汇编

专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·甘肃·一模）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 2．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． ( 题型02 )圆与方程 3．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 4．（2025·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． ( 题 型 0 3 )椭圆 5．（2025·甘肃兰州·一模）已知椭圆的上顶点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切． 6．（2025·甘肃白银·一模）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃·一模）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 8．（2025·甘肃·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. ( 题型0 4 )双曲线 9．（2025·甘肃·一模）已知双曲线方程为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率是 C．双曲线的虚轴长是8 D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足． (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值． 12．（2025·甘肃·一模）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 13．（2025·甘肃·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 ( 题型0 5 )直线与圆锥曲线的位置关系 14．（2025·甘肃白银·一模）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2025·甘肃·一模）设为坐标原点，点，、为椭圆上的两个动点，. (1)证明：向量是直线的一个法向量； (2)若线段与椭圆交于点，求面积的最大值. 16．（2025·甘肃·一模）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·甘肃·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（    ） A． B．线段的中点和线段的中点的连线与轴平行 C．以点为顶点的四边形可能为等腰梯形 D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·甘肃·一模）已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内含 D．内切 【答案】C 【分析】首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 2．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线． (1)定义：若对于曲线上任意一点沿向量平移得到点仍在曲线上，其中T与是不同时为0的常数，则称曲线沿向量的方向上有周期性．判断是否存在向量使曲线S具有周期性，若存在请写出一个符合要求的向量，若不存在，请说明理由： (2)证明：曲线S是中心对称图形； (3)当时，曲线S为一条封闭的曲线，四条直线，，，，围成矩形ABCD，其中为锐角，，证明：曲线S在矩形ABCD的内部或边上，且过矩形对角线交点的直线平分曲线S围成的面积． 【答案】(1)存在；，（m，，且m，n不同时为0） (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用正余弦函数的周期性计算可得结论； （2）利用，计算可得当在曲线S上时，必有在曲线S上，可得结论； （3）先用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上，由第（2）问可知，点是曲线S的中心，可证明点M也是矩形ABCD的中心，进而可得结论. 【详解】（1）因为， 所以当在曲线S上时，（m，，且m，n不同时为0）必在曲线S上，故存在向量使曲线S具有周期性， 向量，（m，，且m，n不同时为0），（m，n取一个符合要求的值即可）． （2）因为，， 所以当时， 故当在曲线S上时，必有在曲线S上， 而P与关于点对称，所以曲线S是中心对称图形，对称中心为，（m，n取一个符合要求的值也可）； （3）先证明曲线S上的点在直线的上方或直线上， 设是曲线S上任意一点，即证． 由可得， 令，则，原命题即证． 用反证法证明，假设，则， 由可得， 由于时原式不成立，故，则， 若，则，所以， 又， 故，得，矛盾． 故，即，又，因此， 从而，可得，因此， 所以，这与已知矛盾，故假设不成立， 由第（2）问可知，点是曲线S的中心，过M垂直于的直线为， 由，得，将其分别代入曲线S的方程两边， 左边，右边， 故点既在曲线S上又在直线上，从而曲线S上的点在直线的上方或直线上． 由于点到直线的距离， 到直线的距离，故， 到直线的距离， 到直线的距离，故， 所以点M也是矩形ABCD的中心，根据中心对称性可知曲线S上的点在直线的下方或直线上，同理可证，曲线S上的点也在直线之间，或直线上，因此，曲线S在矩形ABCD的内部或边上，又由于矩形ABCD和曲线S的对称中心重合，因此过矩形ABCD对角线交点的直线必平分曲线S围成的面积． 【点睛】关键点点睛：第三问，关键在于，利用反证法证明曲线S上的点在直线的上方或直线上与利用点到直线的距离公式证明点M也是矩形ABCD的中心,进而依据中心对称图形的性质得到结论. ( 题型02 )圆与方程 3．（2025·甘肃兰州·一模）已知曲线，则以下说法正确的是（    ） A．点在曲线内部 B．曲线关于原点对称 C．曲线与坐标轴围成的面积为 D．曲线的周长是 【答案】BC 【分析】选项A，结合图象，当时，或，可判断；选项B，将换成，将换成，方程不变，可得；选项C，结合方程的对称性，在第一象限时，图象为圆的一部分，根据圆的方程可得其在第一象限与坐标轴围成的面积，进而可得；选项D，同C结合方程的对称性，求在第一象限部分的长度即得. 【详解】 选项A：当时，得，即， 因，故，故或， 因，故点在曲线外部，故A错误； 选项B：将换成，将换成，方程不变， 故曲线关于原点对称，故B正确； 选项C：将将换成，方程不变，故曲线关于轴对称， 设曲线在第一象限与坐标轴围成的面积为， 则曲线与坐标轴围成的面积为， 当时，方程，即， 其圆心坐标为，半径为，如图， 当时，得或，故弦长， 由，故， 则，故，故C正确； 选项D：由题意可知曲线的周长为，故D错误， 故选：BC 4．（2025·甘肃张掖·一模）已知圆，半径为3的圆与圆外切，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再设点应用圆外切得出化简得出轨迹方程. 【详解】圆的标准方程为，所以圆的圆心为，半径． 因为圆与圆外切，且半径为3，所以点与点的距离． 设，则，化简得， 故选:C. ( 题 型 0 3 )椭圆 5．（2025·甘肃兰州·一模）已知椭圆的上顶点为，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆的焦点在x轴上，过点A的直线与椭圆E交于点B，并与圆相切，已知点，直线QB与椭圆E交于点C，证明：AC与相切． 【答案】(1)焦点在y轴上时：；焦点在x轴上时： (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率与顶点坐标，再结合关系即可求得； （2）设直线的方程为，联立方程，即可求出点B的坐标， 表示出直线BQ的方程与椭圆联立求出C点坐标，写出AC的方程，利用点到线的距离即可求得结果. 【详解】（1）设椭圆焦距为， 若焦点在x轴，由题干知：长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． 若焦点在y轴，由题干知长轴长为，短轴长为， 由离心率为得， 由题可知，解得， 所以椭圆的方程为． （2） 若焦点在x轴，椭圆的方程为，证明如下： 若直线AB斜率不存在，则AC重合，显然不满足题意； 若直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 由得，，可得， 由于直线BQ的斜率为， 由得，， 即，可得， 所以直线AC的斜率， 由于直线与圆P相切，所以， 直线，圆心到直线的距离 所以直线AC与圆P相切． 6．（2025·甘肃白银·一模）椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定即可求解. 【详解】由椭圆， 可得：， 所以离心率为. 故选：C 7．（2025·甘肃·一模）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 8．（2025·甘肃·一模）如图，已知椭圆的短轴长为，焦点与双曲线的焦点重合.点，斜率为的直线与椭圆交于两点.    (1)求常数的取值范围，并求椭圆的方程. (2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答) 极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述的.对于椭圆，极点（不是原点）对应的极线为，且若极点在轴上，则过点作椭圆的割线交于点，则对于上任意一点，均有（当斜率均存在时）.已知点是直线上的一点，且点的横坐标为2.连接交轴于点.连接分别交椭圆于两点. ①设直线、分别交轴于点、点，证明：点为、的中点； ②证明直线：恒过定点，并求出定点的坐标. 【答案】(1)， (2)①证明过程见解析②证明过程见解析，定点坐标为 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上面，列出不等式组即可得的范围，由的关系以及短轴长列出方程组即可得，由此即可得椭圆方程. （2）为了说明结论的验证性，首先证明一下题述引理（用解析几何方法），即联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理以及斜率公式证明即可，从而对于①由结论法说明Q是和的交点，且，结合由此即可进一步得证；对于②由结论法可表示出的方程，由此整理即可得解. 【详解】（1）由题意焦点在轴上，所以，解得，即的范围为， 且，解得， 所以椭圆方程为. （2）我们首先给出题目给出的引理的证明： 设，则Q在P的极线上， 现在如果经过P的直线交椭圆于： 那么，代入椭圆就得到， 所以 ， 由韦达定理有， 此时要证明的是：， 也就是， 也就是， 也就是，     也就是， 也就是，     也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 这显然成立，所以结论得证. 接下来我们回到原题，    ①首先由于Q在P的极线上，故由引理有，， 而， 所以，这表明Q是和的交点， 又由于，故， 设，而，，， 所以，也就是E是的中点； ②设，那么，所以， 这表明的方程是，即， 所以恒过点. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是用解析几何证明题述引理的正确性，由此即可利用结论法进一步求解. ( 题型0 4 )双曲线 9．（2025·甘肃·一模）已知双曲线方程为，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率是 C．双曲线的虚轴长是8 D．双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为6 【答案】CD 【分析】先根据题意求出a、b、c，然后对A、B、C、D一一验证： 【详解】因为双曲线，得：， 对于A：双曲线的渐近线方程为，故A错误； 对于B：离心率为，故B错误； 对于C：双曲线的虚轴长是，故C正确； 对于D：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为，故D正确. 故选：CD 10．（2025·甘肃兰州·一模）已知双曲线C的焦点为，过点的直线与双曲线C交于A，B两点．若，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由过点的直线与双曲线C交于一支或两支分类讨论，结合双曲线定义即可求解； 【详解】设双曲线的方程为，因为双曲线C的焦点为，所以． （1）当过点的直线与双曲线C右支交于A，B两点如图所示． 由，设， 则，由双曲线的定义知 ，所以， 在中，， 在中，， 即，解得， 所以双曲线C的方程为，双曲线的渐近线方程为：． （2）当过点的直线与双曲线C两支交于A，B两点如图所示． 由，得 与双曲线定义不符，故此种情况不成立． 综合（1）（2）两种情况：双曲线的渐近线方程为， 故选：A． 11．（2025·甘肃张掖·一模）已知曲线上任意一点满足． (1)化简曲线的方程； (2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点作直线的垂线，交于、两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记点、，分析可知，曲线是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，求出、的值，即可得出曲线的方程； （2）分析可知直线的斜率存在且不为，设、，直线的方程为，可得出直线的方程，由直线与圆相切可得出，将直线的方程与曲线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出原点到直线的距离，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】（1）记点、， 则， 所以，点的轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设双曲线的方程为，则，，可得，， 所以，， 因此，曲线的方程为. （2）由图可知，直线的斜率存在且不为. 设、，直线的方程为，    则直线的方程为，即． 因为直线与圆相切，所以，则． 由消去，化简得． 由题意，且（因为）， ，所以或， 又原点到直线的距离为， 所以． 由或得，设， ， 因为，当且仅当时等号成立， 且，当且仅当时等号成立， 所以当时，． 所以当，即时，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 12．（2025·甘肃·一模）双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据离心率定义直接计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：C 13．（2025·甘肃·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的方程，根据为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项，根据三角形面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出点的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】根据题意，设点，则，且， 易知点、，则， 因为，解得，所以，双曲线的方程为， 对于A选项，因为双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 所以，所以，故选项A错误； 对于B选项，因为， 根据双曲线定义可得，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，故选项B正确； 对于C选项，先证明双曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 又因为，整理可得，解得， 可知双曲线与直线有一个交点， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即， 所以，， 所以，点为线段的中点，即，故选项C正确； 对于D选项，， 点到直线的距离为， 因为点为线段的中点， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是结合图形利用几何关系简化运算. ( 题型0 5 )直线与圆锥曲线的位置关系 14．（2025·甘肃白银·一模）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先运用中位线定理，将转化得到两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到的值. 【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以，所以， 设，， 根据定义可得， 联立，可得，，则， ，解得. 故选：B. 15．（2025·甘肃·一模）设为坐标原点，点，、为椭圆上的两个动点，. (1)证明：向量是直线的一个法向量； (2)若线段与椭圆交于点，求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设、，利用点差法求出直线的斜率，根据直线斜率与直线方向向量的关系可证得结论成立； （2）求出点的坐标，设直线方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出以及点到直线的距离，利用导数可求出面积的最大值. 【详解】（1）由于点在椭圆外，、为椭圆上的两个动点，设、， ， 则，由①②得， 即，由于直线的斜率为， 所以直线的斜率为，故直线的一个方向向量为， 从而为直线的一个法向量. （2）由得，即， 由（1）可知，直线的斜率为，设直线方程为， 若，则直线过原点，则，从而与矛盾，故， 由得， 则，解得或， 由韦达定理可得，， 所以， ， 由于到直线的距离， 所以， 令，则， 令，则， 当时，时；当时，. 所以，函数在、上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，即当时，取到最大值. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 16．（2025·甘肃·一模）已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，直线与轴交于点，，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点参法，设点坐标，再利用得出点坐标，再利用转化思想，将转化为即可. 【详解】可知，设为坐标原点， 则， ，得， 故， 轴，，而， ， 故选：B. 17．（2025·甘肃·一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点且不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，过原点作直线的平行线与抛物线交于另一点，则（    ） A． B．线段的中点和线段的中点的连线与轴平行 C．以点为顶点的四边形可能为等腰梯形 D． 【答案】ABD 【分析】根据抛物线几何性质可判断A；设出直线，的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求出，的中点纵坐标可判断B；利用B中结论，结合等腰梯形性质可判断C；利用韦达定理分别计算即可判断D. 【详解】对A，因为焦点到准线的距离为2，所以，A正确； 对B，由题知，直线的斜率存在且不为0，抛物线交点坐标为， 设直线的方程为，， 则直线的方程为， 联立，得，则， 联立，得，则，或，则， 记线段和线段的中点分别为，则， 所以平行于轴，B正确； 对C，若点为顶点的四边形为等腰梯形，则， 与平行于轴，不垂直于轴矛盾，故C错误； 对D，因为， ， 所以，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：对于C选项关键在于灵活利用B中结论，结合等腰梯形性质分析. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$