第十章 静电场中的能量（复习讲义）物理人教版2019必修第三册

第一章 运动的描述（复习讲义） 1．一种研究方法：微元法，微元法是物理学常用的一种研究方法； 2．六个基本概念：电势能、电势、静电力做功、电势差、电容是贯穿整个高中的电学基础知识，是高中物理必考知识点； 3．三个常考角度：（1）电势能和电势；（2）静电力做功；（3）电势差和电场强度的关系；（4）带电粒子在电场中的运动。 知识点 重点归纳 常见易错点 静电力做功 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 （1）静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似。 （2）静电力做功的特点不受物理条件限制不管静电力是否变化，是否是勾强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功的特点均不变。 电势能 1、电势能：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 （1）电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 （2）零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 （1）电势能EP是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能。 （2）电势能是相对的，其大小与选定的参考位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考位置，也就是零势能位置。 （3）电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考位置的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考位置的电势能。 电势能大小的四种判断方法 (1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 (2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 (3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断。 (4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 电势差 1、电势差定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 静电力做功与电势差的关系 静电力做功与电势差的关系：WAB=qUAB或UAB＝。 （1）关系的推导过程：WAB=EPA-EPB=qφA-qφB=q（φA-φB）-qUAB：，所以有WAB=qUAB或UAB＝，即电场中A、B两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷电荷量q的比值。 （2）物理意义：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 （1）静电力做功由电荷量及两点间电势差决定，与路径无关。 （2）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 （3）在系统中只有静电力做功的情况下，电势能和动能之间互相转化，总量保持不变。 （4）在系统中只有重力和静电力做功，没有其他力做功的情况下，电势能和机械能之间互相转化，总量保持不变。 匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、 匀强电场中电势差与电场强度的关系关系式：UAB＝Ed或E＝，公式只适用于匀强电场。 2、公式的意义：在匀强电场中，电场强度等于两点电势差与两点沿电场方向距离的比值；另一表述电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 (1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 (2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 (3)物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。 3、UAB＝Ed的两个推论 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 4、在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析：如图所示，若ab＝bc，由于电场线密处场强较大，即ab段的平均场强小于bc段的平均场强，故可以判断Uab<Ubc。 计算电场强度应注意的问题 （1）在选取公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。 （2）应用公式U=Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿电场强度方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿电场强度方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿电场强度方向上的距离。 电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 电容器的充电过程图示和放电过程图示分别如下图所示： 电容器的带电荷量通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 电容器是存储电荷的器件，由两导体极板间隔电介质组成。充电时极板积电，放电时电荷释放，过程伴能量转化。 电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 （1）电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 （2）电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 2、击穿电压和额定电压 （1）击穿电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度， 超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏。这个极限电压叫作击穿电压。 （2）额定电压：是指电容器长时间正常工作时的最佳电压，电容器外壳上标的是工作电压，或称额定电压，这个数值比击穿电压低。 电容是反映了电容器储存电荷能力的物理量，其数值由电容器的构造决定，而与电容器带不带电或带多少电无关。就像水容器一样，它的容量大小与水的深度无关。 平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 （1）平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 （2）平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 2、平行板电容器动态的分析思路 3、电容的决定式：C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比；电容大小的决定因素为介电常数，正对面积，两板间的距离。 在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板带电量保持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两极板正对面积变化时。 带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 带电粒子在电场中的偏转 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场为匀强电场且其它力恒力，则带电粒子做匀变速直线运动。 2．用动力学观点分析 在匀强电场中，a＝，E＝，v2－v＝2ad。 3．用功能观点分析 动能定理qU＝mv2－mv 4．带电粒子在电场中的加速 (1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv。 (2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv。 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如图所示。 2．处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．基本关系式：运动时间t＝， 加速度a＝＝＝， 偏转量y＝at2＝， 偏转角θ的正切值tan θ＝＝＝。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··()2 tan θ＝ 得y＝，tan θ＝ 可见y和tan θ与粒子的q、m无关。 (2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子匀速位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 题型一 静电力做功 【例1】如图所示，两对等量异种点电荷固定在圆周的六等分点上。三点分别为所在半径的中点，为圆心。则（    ） A．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做正功 B．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做正功 C．两点处的电场强度相同 D．线段上存在电场强度为零的点 【变式1-1】在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功分别为W1、W2、W3。则（　　） A．W1＞W2＞W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1＝W2＝W3 D．W1＝W2＞W3 【变式1-2】如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成角，一电荷量为的正电荷从a移到b电场力做功为。求： （1）匀强电场的场强E。 （2）电荷从b移到c，电场力做功。 题型二 电势能 【例2】如图所示是高压电场干燥中药技术基本原理图，在大导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电；水分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去，在鼓风机的作用下飞离电场区域从而加速干燥。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹。下列说法正确的是(　 ) A．A处的电场强度大于D处 B．B处的电势高于C处 C．水分子做匀变速运动 D．水分子由A运动到C的过程中电势能减少 【变式2-1】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知(　　) A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小 B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大 C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大 D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小 【变式2-2】(多选)如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4个顶点上．L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点．则(　　) A．L和N两点处的电场方向相互垂直 B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 题型三 电势 【例3】（多选）真空中有一静电场，其在x轴正半轴的电势（或电场强度）随x变化的关系如图所示，则根据图像可知（　　） A．若纵坐标表示电势，则x1处电场强度大于x2处电场强度 B．若纵坐标表示电势，则沿x轴从x1到x2电势先降低后升高 C．若纵坐标表示电场强度，则沿x轴从x1到x2场强先变小后增大 D．若纵坐标表示电场强度，则沿x轴从x1到x2电势逐渐降低 【变式3-1】如图所示，在等边三角形三个顶点A、B、C处，固定电荷量分别为＋q、＋q、－q的三个点电荷，过点C作AB边的垂线，垂足为O，过点A作BC边的垂线，垂足为P，两垂线交于M点．取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　) A．将一个正电荷从O点移到M点电势能变大 B．O点电势低于P点电势 C．M点电势低于P点电势 D．P点电场强度大小大于O点电场强度大小 【变式3-2】(多选)等量同种带正电的点电荷的连线和其中垂线如图所示。一个带负电的试探电荷，先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则(　　) A．试探电荷所受电场力的方向一直不变 B．试探电荷所受电场力的大小一直增大 C．试探电荷的电势能一直减少 D．a、b、c三点的电势关系为：φa<φb<φc 题型四 电势差 【例4】两个等量同种电荷固定于光滑水平板面上,其连线中垂线上有A、B、C三点(在该板面上),如图1所示,一个电荷量为2 C、质量为1 kg的小物块从C点由静止释放,运动的v-t图像如图2所示,其中B点为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是(　　)。 A.B点为中垂线上电场强度最大的点,电场强度E=1 V/m B.由C点到A点的过程中,物块的电势能先减小后增大 C.由C点到A点,电势逐渐升高 D.A、B两点间的电势差UAB=5 V 【变式4-1】（多选）如图，在等边三角形abc的中心O处有一带正电的点电荷，d为ac边的中点，则在该点电荷产生的电场中（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．a、c、d三点间的电势差满足Uad=Udc C．电子在a点的电势能等于在b点的电势能 D．电子在a点的电势能大于在d点的电势能 【变式4-2】（多选）如图所示，匀强电场的方向与长方形abcd所在的平面平行，。电子从a点运动到b点的过程中电场力做的功为4.5eV；电子从a点运动到d点的过程中克服电场力做的功为4.5eV。以a点的电势为电势零点，下列说法正确的是（    ） A．b点的电势为4.5V B．c点的电势为 C．该匀强电场的方向由b点指向d点 D．该匀强电场的方向由b点垂直指向直线ac 题型五 等势面 【例5】在做静电实验时，出现了如图所示的情景，相距较近的两个带电金属导体M、N，其中导体N内部存在空腔，空间的电场线分布如图，取无穷远处电势为零，不计空气对电场分布的影响。则其对称轴OMN上电势的变化规律可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为Epa和Epb，电荷所受电场力大小分别为Fa和Fb，则(　　) 图1 A．Epa>Epb，Fa>Fb B．Epa>Epb，Fa<Fb C．Epa<Epb，Fa>Fb D．Epa<Epb，Fa<Fb 【变式5-2】如图所示，一个点电荷形成的电场中有a、b两点。一个电荷量q =+4.0×10-8C的试探电荷在b点所受静电力Fb = 8.0×10-4N。 现将该试探电荷从a点移到b点，静电力做功W = 1.6×10-6J。求： （1）b点电场强度的大小Eb； （2）a、b两点间的电势差Uab； （3）画出过a点的等势线。 题型六 匀强电场中电势差与电场强度的关系 【例6】(多选)匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角θ＝120°，半径R＝1 m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知φA＝9 V，φB＝0，φO＝3 V，以下说法正确的是(　 ) A．φD＝6 V B．φF＝3 V C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3 V/m 【变式6-1】（多选）如图所示，xOy平面内有一半径为R=5cm的圆，圆心位于O点，A、B、C为圆与坐标轴的三个交点，匀强电场平行于xOy平面，取O点的电势为零。在xOy平面内，若将一电子从A点移动到B点，克服电场力做的功为8eV；若将一质子从O点移动到C点，电场力做的功为3eV。不计各种粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两点间的电势差为 B．匀强电场的场强大小为E=100V/m C．圆上电势最低值为-5V D．若在O点有个α粒子发射源，能够向平面内的各个方向发射动能均为1eV的α粒子，则α粒子到达圆形边界的最大动能为6eV 【变式6-2】如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是直电场线上以点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　) A．O点电势与Q点电势相等 B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少 C．MO间的电势差等于ON间的电势差 D．在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上 题型七 等差等势面及运动轨迹问题 【例7】（多选）如图所示，在一大小为E的水平匀强电场中，A、B两点的电势分别为φA、 φB，A、B两点的直线距离为l，垂直电场方向的距离为d．一电荷量为q的带正电粒子从A点沿图中虚线移动到B点，电场力做功为W．下列说法正确的是（　　） A．A、B两点电势差为El B．A、B两点电势差为φA﹣φB C．A、B两点电势差为Ed D．A、B两点电势差为 【变式7-1】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 【变式7-2】(多选)如图为两点电荷Q、Q′的电场等势面分布示意图，Q、Q′位于x轴上，相邻等势面的电势差为3 V．若x轴上的M点和N点位于0 V等势面上，P为某等势面上一点，则(　　) A．N点的电场强度大小比M点的大 B．Q为正电荷 C．M点的电场方向沿x轴负方向 D．P点与M点的电势差为12 V 题型八 电容器 【例8】（多选）一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1，电源E给电容器C充电；开关S接2，电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是（　　） A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，上极板带正电荷 B．充电过程中，流过电阻R的电流由N点流向M点 C．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增大 D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R的电流由N点流向M点 【变式8-1】实验小组利用电压传感器研究电容器充放电现象的电路图，如图甲所示，先将开关S与端点1连接，断开后再与端点2连接，通过电脑拟合出电容器两端的电压u随时间t变化的u-t图线，如图乙所示。已知电源的电动势E=5V，内阻不计，电容器的电容C=4.5μF，下列说法正确的是（　　） A．0~t1时间内，流过R的电流逐渐增大，方向由a到b B．t1~t2时间内，流过R的电流大小保持不变 C．t2~t3时间内，流过R的电流逐渐减小，方向由b到a D．该过程中电容器所带电荷量的最大值为9.0×10-7C 【变式8-2】据报道，我国每年心源性猝死案例高达55万，而心脏骤停最有效的抢救方式是通过AED自动除颤机给予及时治疗．某型号AED模拟治疗仪器的电容器电容是15 μF，充电至9 kV电压，如果电容器在2 ms时间内完成放电，则下列说法正确的是(　　) A．电容器放电过程的平均电流为67.5 A B．电容器的击穿电压为9 kV C．电容器充电后的电荷量为135 C D．电容器充满电的电容是15 μF，当放电完成后，电容为0 题型九 电容 【例9】（多选）某型号心脏除颤器的电容器电容为。某次治疗中电容器充电后电压为4kV，与人体接触后电压迅速减至0，下列说法正确的是（    ） A．电容器放电完成后电容为0 B．电容器放电完成后电容仍为 C．本次治疗中通过人体组织的电荷量为64C D．本次治疗中通过人体组织的电荷量为0.064C 【变式9-1】(多选)如图，某电容器由两水平放置的半圆形金属板组成，板间为真空。两金属板分别与电源两极相连，下极板固定，上极板可以绕过圆心且垂直于半圆面的轴转动。起初两极板边缘对齐，然后上极板转过10°，并使两极板间距减小到原来的一半。假设变化前后均有一电子由静止从上极板运动到下极板。忽略边缘效应，则下列说法正确的是(　 ) A．变化前后电容器电容之比为9∶17 B．变化前后电容器所带电荷量之比为16∶9 C．变化前后电子到达下极板的速度之比为∶1 D．变化前后电子运动到下极板所用时间之比为2∶1 【变式9-2】(多选)如图为手机指纹识别功能的演示，此功能的一个关键元件为指纹传感器．其部分原理为：在一块半导体基板上集成有上万个相同的小极板，极板外表面绝缘．当手指指纹一面与绝缘表面接触时，指纹的凹点与凸点分别与小极板形成一个个正对面积相同的电容器，若每个电容器的电压保持不变，则下列说法正确的是(　　) A．指纹的凹点与小极板距离远，电容大 B．指纹的凸点与小极板距离近，电容大 C．若手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，小极板带电荷量增多 D．若用湿的手指去识别，识别功能不会受影响 题型十 平行板电容器 【例10】如图所示，平行板电容器的金属板A、B水平放置，与直流恒压电源两极相连，电路中接有电流计G，极板B接地，极板间有一带负电的液滴静止在P点，则下列判断错误的是（　　） A．a端是电源的正极 B．将A板向右平移一些，液滴将向下运动 C．将B板向下平移一些，电容器电容减小 D．将A板向下平移过程中，电流计中有从d到c的电流 【变式10-1】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷(上极板带正电)，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一固定在P点的正点电荷，以E表示两板间的电场强度，U表示两板之间的电势差，Ep表示点电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则(　　) A．E不变，Ep不变 B．U不变，E减小 C．θ增大，E不变 D．θ不变，Ep增大 【变式10-2】如图所示，两块水平放置的平行金属板M、N，下极板N接地。现将其与理想二极管串联，与静电计并联，初始电容器所带电量为零。为定值电阻，和为电阻箱，闭合开关S稳定后，一带电油滴恰好静止于两板间的P点，则下列说法正确的是（　　） A．断开开关S，M板稍微上移，静电计指针偏角变小 B．断开开关S，N板稍微下移，带电油滴的电势能增大 C．保持开关S闭合，减小阻值，带电油滴会向上运动 D．保持开关S闭合，增大阻值，平行板电容器的带电荷量减小 题型十一 带电粒子在电场中的加速 【例11】（多选）一质量为的带电液滴以竖直向下的初速度进入某电场中，由于电场力和重力的作用，液滴沿竖直方向下落一段距离后，速度变为0，已知重力加速度为g，在此过程中，以下判断正确的是（　　） A．液滴一定带负电 B．重力对液滴做的功为 C．合外力对液滴做的功为 D．液滴的机械能减少了 【变式11-1】如图甲所示，一带正电的小球用绝缘细线悬挂在竖直向上的、范围足够大的匀强电场中，某时刻剪断细线，小球开始向下运动，通过传感器得到小球的加速度随下行速度变化的图像如图乙所示．已知小球质量为m，重力加速度为g，空气阻力不能忽略．下列说法正确的是(　　) A．小球运动的速度一直增大 B．小球先做匀加速运动后做匀速运动 C．小球刚开始运动时的加速度大小a0＝g D．小球运动过程中受到的空气阻力与速度大小成正比 【变式11-2】（多选）多级加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加，圆筒和交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m，电荷量为e，电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒内部场强处处为零，电子在圆筒内做匀速运动 B．t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来 C．电子离开第8个圆简的速度大小为 D．第n个圆筒的长度正比于n 题型十二 带电粒子在电场中的偏转 【例12】（多选）如图，一个静止的电子（电荷量大小为e，质量为m）经电压为的电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的匀强电场，两极板的长度为l，相距为d，极板间的电压为。电子射出电场时速率为v，电子射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为y。则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求： (1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处； (2)荧光屏上有电子打到的区间有多长。 【变式12-2】如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)电场强度E的大小； (2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。 基础巩固通关测 1．静电场方向平行于x轴，将一电荷量为-q的带电粒子在x=d处由静止释放，粒子只在电场力作用下沿x轴运动，其电势能 Ep随x的变化关系如图所示。若规定x轴正方向为电场强度E、加速度a的正方向，图中的四幅示意图分别表示电势φ随x的分布、场强E随x的分布、粒子的加速度a随x的变化关系和粒子的动能Eₖ随x的变化关系，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（多选）如图所示，电荷量为q的两个正点电荷放置于正方体的顶点A、C，正方体的边长为a，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．顶点B和D的电场强度相等 B．顶点B和D的电势相等 C．顶点B的电场强度大小为 D．顶点 的电场强度大小为 3．1913年，密立根用油滴实验测得了电子电量的精确数值。如图所示，当油滴喷出时，因与喷雾器摩擦而带负电，油滴通过小孔进入平行板电容器AB之间，调节两板间的电压，让油滴缓慢匀速下落，并测定油滴直径等相关物理量，可推算出该油滴的电荷量，不计油滴间相互作用。下列相关说法正确的是(　 ) A．油滴由于失去正电荷而带负电 B．若仅增大AB间电压，油滴将加速下落 C．若仅增大AB间距离，油滴将减速下落 D．若在AB间同时悬停着两颗油滴，则直径大的带电量一定大 4．我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 5．（多选）图中实线为一个正点电荷的电场线，虚线是其等势面，B、C、D是某条电场线上的三点，且BC=CD，A点与C点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．A点与C点的电场强度相同 B．把一个电子从B点移到D点，其电势能增加 C．同一电荷由B点运动到C点静电力做功大于从C点运动到D点静电力做功 D．把一电子在B点静止释放，它会沿电场线向右运动 6．（多选）如图甲所示，、、为匀强电场中相邻的等差等势面，电量为、质量为的带电小球在电场中由点抛出，运动轨迹最高点恰能到达等势面。上升过程中小球的动能和机械能随高度的变化关系如图乙所示，为已知量，重力加速度为，忽略空气阻力，则（    ） A．小球机械能变化的图像为② B．小球一定带负电 C．电场强度的大小为 D．相邻等势面间电势差的大小为 7．如图所示的实验装置可用来探究影响平行板电容器电容的因素，其中电容器左侧极板B和静电计外壳均接地，电容器右侧极板A与静电计金属球相连，使电容器带电后与电源断开，下列操作能使静电计的指针偏角变大的是(　　) A．减小A板与B板之间的水平距离 B．将橡胶棒插入A板与B板之间 C．A板位置不动，将B板稍微竖直向下平移 D．将A板也接地 8．在“观察电容器的充、放电现象”实验中，电路如图所示： (1)将开关S接通1，电容器的__________（选填“上”或“下”）极板带正电，再将S接通2，通过电流表的电流方向向__________（选填“左”或“右”）。 (2)若电源电动势为10V。实验中所使用的电容器大小为，充满电后电容器正极板所带电荷量为__________C（结果保留两位有效数字）， (3)下列关于电容器充电时，电流i与时间t的关系、所带电荷量q与两极板间的电压U的关系正确的是__________。 A． B． C． D． 9．如图甲所示，真空中相距d＝5 cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)，其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m＝2.0×10－27 kg、电荷量q＝＋1.6×10－19 C的带电粒子从紧邻B板处释放，不计粒子重力。求： (1)在t＝0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小； (2)若A板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t＝0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放，粒子到达A板时速度的大小； (3)A板电势变化频率多大时，在t＝到t＝时间内从紧邻B板处无初速度释放该带电粒子，粒子不能到达A板。 10.某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U1，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： (1)质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； (2)质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (3)平行金属板C、D间的电压大小U2。 能力提升进阶练 1、 单选题 1．（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 2．（2025·北京·高考真题）某小山坡的等高线如图，M表示山顶，是同一等高线上两点，分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则（　　） A．小球沿运动的加速度比沿的大 B．小球分别运动到点时速度大小不同 C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大 D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 4．（2025·山东·高考真题）（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 5．（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 7．（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 8．（2025·福建·高考真题）某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，|CQ|=2|BP|，a粒子入射动能为Ek，则（　　） A．B点的电场强度 B．P点场强大于C点场强 C．b粒子在P点动能小于Q点动能 D．b粒子全程的克服电场力做功小于2eU 二、多选题 9．（2025·江西宜春·二模）（多选）如图，ABC为等腰直角三角形，BC=AC=4cm，一匀强电场与其平面平行。现规定B→C为x轴正方向，且B→C的电势变化如图2所示，C→A为y轴正方向，且由C→A的电势变化如图3所示，下列说法正确的是（　　） A．AC方向电场强度大小为100V/m，方向由A→C B．BC方向电场强度大小为50V/m，方向由C→B C．匀强电场的电场强度大小为 D．匀强电场的电场强度大小为 10.(多选) 如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　) A．C点电势为3 V B．C点电势为0 C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m 11.(多选)如图所示，电容式麦克风的振动膜是利用超薄金属或镀金的塑料薄膜制成的，它与基板构成电容器，并与电阻、电池构成闭合回路．麦克风正常工作时，振动膜随声波左右振动．下列说法正确的是(　　) A．振动膜向右运动时，电容器的板间电场强度不变 B．振动膜向右运动时，a点的电势比b点的电势高 C．振动膜向左运动时，电阻上有从a到b的电流 D．振动膜向左运动时，振动膜所带的电荷量减小 12.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有一个匀强电场，电场强度大小为E、方向与圆所在的面平行。PQ为圆的一条直径，与电场强度方向的夹角θ＝60°。质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点以某一初速度沿垂直于电场强度的方向射入电场，不计粒子重力。 (1)若粒子到达Q点，求粒子在P点的初速度大小v0； (2)若粒子在P点的初速度大小在0～v0之间连续可调，则粒子到达圆弧上哪个点电势能变化最大？求出电势能变化的最大值ΔEp。 13．如图所示，两水平面(虚线)之间区域存在与水平方向成45°斜向右上方的匀强电场，自该区域上方A点将质量均为m、带电荷量分别为q和2q带正电粒子M、N，同时以相反的初速度v0沿水平方向射出。两粒子进入电场时速度方向与上边界均成45°角，并从该区域的下边界离开。已知M在电场中做直线运动，N离开电场时速度方向恰好竖直。(重力加速度大小为g，不计空气阻力和粒子间相互作用)求： (1)A点距电场上边界的高度； (2)该电场强度的大小； (3)M与N两粒子离开电场时位置间的距离。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 运动的描述（复习讲义） 1．一种研究方法：微元法，微元法是物理学常用的一种研究方法； 2．六个基本概念：电势能、电势、静电力做功、电势差、电容是贯穿整个高中的电学基础知识，是高中物理必考知识点； 3．三个常考角度：（1）电势能和电势；（2）静电力做功；（3）电势差和电场强度的关系；（4）带电粒子在电场中的运动。 知识点 重点归纳 常见易错点 静电力做功 1、静电力做功的特点：在匀强电场中移动电荷时，静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。正（负）电荷沿着电场线方向移动时电场力做正（负）功。 （1）静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，但与具体路径无关，这与重力做功特点相似。 （2）静电力做功的特点不受物理条件限制不管静电力是否变化，是否是勾强电场，是直线运动还是曲线运动，静电力做功的特点均不变。 电势能 1、电势能：电荷在电场中具有的能叫做电势能，符号用Ep表示，单位为J。 （1）电势能大小：等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。该物理量为标量，正（负）号表示电势能大（小）于零势能点位置。正（负）电荷在电势高的地方电势能大（小）。 （2）零势能点的选取：通常把离场源电荷无穷远处或者大地表面的电势能规定为零。 2、电势能与电场力做功的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB。电场力做正（负）功，电势能减少（增加）。该公式适用于匀强电场，也适用于非匀强电场；适用于正电荷，也适用于负电荷。 3、对电势能的理解 （1）系统性：电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能。 （2）相对性：电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关，确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置。 （3）标量性：电势能是标量，有正负但没有方向，电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能。 （1）电势能EP是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷在电场中某点的电势能。 （2）电势能是相对的，其大小与选定的参考位置有关。确定电荷的电势能，首先应确定参考位置，也就是零势能位置。 （3）电势能是标量，有正负但没有方向。电势能为正值表示电势能大于参考位置的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考位置的电势能。 电势能大小的四种判断方法 (1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增大。 (2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大。 (3)公式法：由Ep＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行判断。 (4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增大时，电势能减小，反之电势能增大。 电势差 1、电势差定义：电场中两点间电势的之差，叫做电势差，也叫电压。单位为伏特，符号为V。 2、电势差表达式：电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则有和，故。 （1）电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 （2）讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 （3）电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 （4）电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及静电力做的功WAB无关，电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 静电力做功与电势差的关系 静电力做功与电势差的关系：WAB=qUAB或UAB＝。 （1）关系的推导过程：WAB=EPA-EPB=qφA-qφB=q（φA-φB）-qUAB：，所以有WAB=qUAB或UAB＝，即电场中A、B两点间的电势差等于电场力做的功与试探电荷电荷量q的比值。 （2）物理意义：电势差是表征电场能的性质的物理量，在数值上A、B两点间的电势差等于单位正电荷由A点移动到B点时电场力做的功。 （1）静电力做功由电荷量及两点间电势差决定，与路径无关。 （2）公式WAB =qUAB与公式W = qELcosθ具有的优势是不必考虑静电力的大小和电荷的移动路径。特别是当静电力为变力时，静电力做功不能用W = qELcosθ来计算，只能用WAB =qUAB来计算。 （3）在系统中只有静电力做功的情况下，电势能和动能之间互相转化，总量保持不变。 （4）在系统中只有重力和静电力做功，没有其他力做功的情况下，电势能和机械能之间互相转化，总量保持不变。 匀强电场中电势差与电场强度的关系 1、 匀强电场中电势差与电场强度的关系关系式：UAB＝Ed或E＝，公式只适用于匀强电场。 2、公式的意义：在匀强电场中，电场强度等于两点电势差与两点沿电场方向距离的比值；另一表述电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，单位：N/C或V/m。 (1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 (2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 (3)物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢。 3、UAB＝Ed的两个推论 （1）在匀强电场中，沿任意一个方向，电势下降都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等；如果把某两点间的距离平均分为n段，则每段两端点间的电势差等于原电势差的1/n。 （2）在匀强电场中，沿任意方向相互平行且相等的线段两端点的电势差相等。 4、在非匀强电场中，公式E＝可用来定性分析：如图所示，若ab＝bc，由于电场线密处场强较大，即ab段的平均场强小于bc段的平均场强，故可以判断Uab<Ubc。 计算电场强度应注意的问题 （1）在选取公式计算电场强度时，首先要注意公式的适用条件，然后判断题目中物理情境是否满足公式的适用条件。 （2）应用公式U=Ed计算时，首先要明确所研究的电荷所处的电场必须是匀强电场，其次要明确所要研究的两点的距离应当是沿电场强度方向两点间的距离。如果给出电场中两点间的距离不是沿电场强度方向上的距离，则应通过数学知识转化为沿电场强度方向上的距离。 电容器 1、电容器的定义：彼此绝缘而又相距很近的两个导体，就构成一个电容器。在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 2、电容器的构造：两个互相靠近彼此绝缘的导体（空气也是一种电介质）。 3、电容器的作用：存储电荷（存储电能）。 电容器的充电过程图示和放电过程图示分别如下图所示： 电容器的带电荷量通常是指电容器已容纳的电荷的数量，任意一个极板所带电荷量的绝对值。 电容器是存储电荷的器件，由两导体极板间隔电介质组成。充电时极板积电，放电时电荷释放，过程伴能量转化。 电容 1、电容的定义：电容器所带的电荷量Q与电容器两极板间的电势差U的比值，公式为C＝。 （1）电容的物理意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量，数值上等于使电容器两极板间的电势差增加1V所增加的带电量。 （2）电容的单位：国际单位制为法拉，符号为F，1F＝1C/V，1F=106uF=1012pF。 2、击穿电压和额定电压 （1）击穿电压：加在电容器两极板上的电压不能超过某一限度， 超过这个限度，电介质将被击穿，电容器损坏。这个极限电压叫作击穿电压。 （2）额定电压：是指电容器长时间正常工作时的最佳电压，电容器外壳上标的是工作电压，或称额定电压，这个数值比击穿电压低。 电容是反映了电容器储存电荷能力的物理量，其数值由电容器的构造决定，而与电容器带不带电或带多少电无关。就像水容器一样，它的容量大小与水的深度无关。 平行板电容器 1、平行板电容器的定义：在两个相距很近的平行金属板中间夹上一层绝缘物质——电介质就组成一个最简单的电容器，叫作平行板电容器。 （1）平行板电容器的结构：由两个相互平行且彼此绝缘的金属板构成。 （2）平行板电容器的带电特点：两板电荷等量异号，分布在相对两板的内侧，板间电场为匀强电场，场强大小为，场强方向为垂直板面。 2、平行板电容器动态的分析思路 3、电容的决定式：C＝，k为静电力常量，εr是一个常数，与电介质的性质有关，真空时εr＝1，其他电介质时εr＞1。称为电介质的相对介电常数。平行板电容器的电容C跟相对介电常数εr成正比，跟极板正对面积S成正比，跟极板间的距离d成反比；电容大小的决定因素为介电常数，正对面积，两板间的距离。 在电荷量保持不变的情况下，由E＝＝＝知，电场强度与板间距离无关；在两极板带电量保持不变的情况下，可以认为一定量的电荷对应着一定数目的电场线，两极板间距离变化时，场强不变；两极板正对面积变化时。 带电粒子在电场中的加速 1、带电粒子的分类及受力特点 （1）电子、质子、α粒子、离子等粒子，一般都不考虑重力，但不能忽略质量。 （2）质量较大的微粒，如带电小球、带电油滴、带电颗粒等，除有说明或有明确的暗示外，处理问题时一般都不能忽略重力。 （3）受力分析仍按力学中受力分析的方法分析，切勿漏掉静电力。 2、求带电粒子的速度的两种方法 （1）从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v02＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 (2)从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv02，解得v＝ （1）利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式，适用于匀强电场且问题中涉及运动时间等描述运动过程的物理量时适合该思路。 （2）利用静电力做功结合动能定理，当问题只涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或非匀强电场情景时适合该思路。 带电粒子在电场中的偏转 1．做直线运动的条件 (1)粒子所受合外力F合＝0，粒子静止或做匀速直线运动。 (2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动；若电场为匀强电场且其它力恒力，则带电粒子做匀变速直线运动。 2．用动力学观点分析 在匀强电场中，a＝，E＝，v2－v＝2ad。 3．用功能观点分析 动能定理qU＝mv2－mv 4．带电粒子在电场中的加速 (1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv。 (2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv。 带电粒子在匀强电场中的偏转 1．运动情况：带电粒子以初速度v0垂直电场方向进入匀强电场中，则带电粒子在电场中做类平抛运动，如图所示。 2．处理方法：将带电粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识解决有关问题。 3．基本关系式：运动时间t＝， 加速度a＝＝＝， 偏转量y＝at2＝， 偏转角θ的正切值tan θ＝＝＝。 4．两个结论 (1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的。 证明：由qU0＝mv y＝at2＝··()2 tan θ＝ 得y＝，tan θ＝ 可见y和tan θ与粒子的q、m无关。 (2)粒子经电场偏转后射出，合速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子匀速位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为。 5．功能关系 当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv，其中Uy＝y，指初、末位置间的电势差。 题型一 静电力做功 【例1】如图所示，两对等量异种点电荷固定在圆周的六等分点上。三点分别为所在半径的中点，为圆心。则（    ） A．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做正功 B．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做正功 C．两点处的电场强度相同 D．线段上存在电场强度为零的点 答案B 解析 C．根据电场强度的叠加原理及对称性可知，两点处的电场强度大小相等但方向不同，故C错误； A．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做负功，故A错误； B．将一带正电的点电荷从点移到点，电场力做正功，故B正确； D．根据对称性可知，上的场强均垂直向上，不为零，故D错误。 故选B。 【变式1-1】在匀强电场中有A、B两点，将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功分别为W1、W2、W3。则（　　） A．W1＞W2＞W3 B．W1＜W2＜W3 C．W1＝W2＝W3 D．W1＝W2＞W3 答案C 解析 电场力做功与路径无关，只与初末位置有关，则将一电荷量为q的正电荷沿不同的三条路径AB、ACB和ADB到达B点，电场力做功 W1＝W2＝W3 故选C。 【变式1-2】如图所示的匀强电场中，有a、b、c三点，，其中ab沿电场线方向，bc和电场线方向成角，一电荷量为的正电荷从a移到b电场力做功为。求： （1）匀强电场的场强E。 （2）电荷从b移到c，电场力做功。 答案（1）（2） 解析1）由可知 （2）电荷从b移到c电场力做功为 题型二 电势能 【例2】如图所示是高压电场干燥中药技术基本原理图，在大导体板MN上铺一薄层中药材，针状电极O和平板电极MN接高压直流电源，其间产生较强的电场。水分子是极性分子，可以看成棒状带电体，一端带正电，另一端带等量负电；水分子在电场力的作用下会加速从中药材中分离出去，在鼓风机的作用下飞离电场区域从而加速干燥。图中虚线ABCD是某一水分子从A处由静止开始的运动轨迹。下列说法正确的是(　 ) A．A处的电场强度大于D处 B．B处的电势高于C处 C．水分子做匀变速运动 D．水分子由A运动到C的过程中电势能减少 答案D 解析　电场线密的地方电场强度大，A处的电场强度小于D处，A错误；顺着电场线方向电势降低，B处的电势低于C处，B错误；水分子受到的电场力是变力，所以做变加速运动，C错误；水分子两端带等量异种电荷，所以水分子的棒状与电场方向平行，且上端的电场强度大，受到较大的电场力，故水分子受到的合力沿电场线向上，即电场力对水分子做正功，根据功能关系可知电势能减少，D正确。 【变式2-1】如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，由此可知(　　) A．带电粒子在R点时的速度大小大于在Q点时的速度大小 B．带电粒子在P点时的电势能比在Q点时的电势能大 C．带电粒子在R点时的动能与电势能之和比在Q点时的小，比在P点时的大 D．带电粒子在R点时的加速度大小小于在Q点时的加速度大小 答案A 解析　粒子做曲线运动，电场力指向曲线的内侧，所以电场力的方向沿电场线向右，若粒子从P运动到Q，电场力做负功，电势能增大，动能减小，R点速度大于Q点速度，若粒子从Q运动到P，则电场力做正功，电势能减小，动能增大，Q点速度小于R点速度，在P点时的电势能比在Q点时的电势能小，故A正确，B错误；只有电场力做功，电势能和动能之和守恒，动能与电势能之和保持不变，故C错误；由电场线疏密可知R点场强比Q点大，电场力大，加速度大，故D错误。 【变式2-2】(多选)如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4个顶点上．L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点．则(　　) A．L和N两点处的电场方向相互垂直 B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左 C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功 D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零 答案　AB 解析　两个正点电荷在N点产生的电场强度方向由N指向O，N点处于两负点电荷连线的中垂线上，则两负点电荷在N点产生的电场强度方向由N指向O，则N点的合电场强度方向由N指向O，同理可知，两个负点电荷在L处产生的电场强度方向由O指向L，L点处于两正点电荷连线的中垂线上，两正点电荷在L处产生的电场强度方向由O指向L，则L处的合电场强度方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则L和N两点处的电场方向相互垂直，故A正确；正方形底边的一对等量异号点电荷在M点产生的电场强度方向向左，而正方形上方的一对等量异号点电荷在M点产生的电场强度方向向右，由于M点离上方一对等量异号点电荷距离较远，则M点的电场方向向左，故B正确；由题图可知，M和O点位于两等量异号点电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误；由题图结合等量异号点电荷模型可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功不为零，故D错误． 题型三 电势 【例3】（多选）真空中有一静电场，其在x轴正半轴的电势（或电场强度）随x变化的关系如图所示，则根据图像可知（　　） A．若纵坐标表示电势，则x1处电场强度大于x2处电场强度 B．若纵坐标表示电势，则沿x轴从x1到x2电势先降低后升高 C．若纵坐标表示电场强度，则沿x轴从x1到x2场强先变小后增大 D．若纵坐标表示电场强度，则沿x轴从x1到x2电势逐渐降低 答案 AC 解析AB．若纵坐标表示电势，则图像中，曲线上任意一点的切线的斜率表示电场强度，场强为矢量，由题中图像得处斜率绝对值更大，则处电场强度大于处电场强度；电势为标量，则到过程中电势一直降低，故A正确，B错误； CD．若纵坐标表示电场强度，则图像中纵坐标的绝对值表示E的大小，到过程中场强先变小后反向增大，而纵坐标的正负表示E的方向，正的表示E指向方向，沿此方向电势降低，负的则相反，所以则从到的电势先降低后升高。故C正确，D错误。 故选AC。 【变式3-1】如图所示，在等边三角形三个顶点A、B、C处，固定电荷量分别为＋q、＋q、－q的三个点电荷，过点C作AB边的垂线，垂足为O，过点A作BC边的垂线，垂足为P，两垂线交于M点．取无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　) A．将一个正电荷从O点移到M点电势能变大 B．O点电势低于P点电势 C．M点电势低于P点电势 D．P点电场强度大小大于O点电场强度大小 答案　D 解析　OM线上的电场可以看作A与B两等量同种点电荷产生的中垂线上沿OM指向M的电场强度，与C处负点电荷产生的沿OM指向M的电场强度的矢量和，OM线上的电场沿OM指向M，故将一个正电荷从O点移到M点静电力做正功，电势能减小，故A错误；MP线上的电场为B与C两等量异种点电荷的中垂线上的电场，与A处正点电荷产生的电场的矢量和，故MP线上电势从M到P点电势降低，φM>φP，而OM线上的电场沿OM指向M，故从O到M点电势降低，φO>φM，所以φO>φM>φP，故B、C错误；P点电场强度等于B与C两等量异种点电荷在中点的电场强度与A处正点电荷在P点产生的电场强度的矢量和，而 O点电场强度等于C处点电荷在O点产生的电场强度，故P点的电场强度大小一定大于O点的电场强度大小，故D正确． 【变式3-2】(多选)等量同种带正电的点电荷的连线和其中垂线如图所示。一个带负电的试探电荷，先从图中a点沿直线移到b点，再从b点沿直线移到c点，则(　　) A．试探电荷所受电场力的方向一直不变 B．试探电荷所受电场力的大小一直增大 C．试探电荷的电势能一直减少 D．a、b、c三点的电势关系为：φa<φb<φc 答案　CD 解析　根据等量同种正点电荷电场线分布特点，电场强度在a、c点不为零，在b点为零，故电场力大小不可能一直增大，则选项B错误；因直线ab上电场强度方向向左，bc上电场强度方向向下，则负试探电荷受到的电场力方向在直线ab上向右，在直线bc上向上，故选项A错误；负试探电荷从a点移到b点电场力做正功，电势能减少，φa<φb；从b点移到c点电场力仍做正功，电势能减少，φb<φc，故选项C、D正确。 题型四 电势差 【例4】两个等量同种电荷固定于光滑水平板面上,其连线中垂线上有A、B、C三点(在该板面上),如图1所示,一个电荷量为2 C、质量为1 kg的小物块从C点由静止释放,运动的v-t图像如图2所示,其中B点为整条图线的切线斜率最大的位置(图中标出了该切线)。则下列说法正确的是(　　)。 A.B点为中垂线上电场强度最大的点,电场强度E=1 V/m B.由C点到A点的过程中,物块的电势能先减小后增大 C.由C点到A点,电势逐渐升高 D.A、B两点间的电势差UAB=5 V 答案　A 解析　速度—时间图线的斜率表示加速度,B点处为图线切线斜率最大的位置,说明B点电场强度最大,由图像求得加速度a=2 m/s2,由牛顿第二定律有qE=ma,解得E=1 V/m,A项正确;由C到A的过程中,物块的动能一直增大,电场力一直做正功,所以其电势能一直减小,B项错误;从O到C到A的电场线方向由O指向A,所以从C点再到A点电势逐渐降低,C项错误;从B到A过程中,根据动能定理有qUBA=m-m,解得UBA=5 V,则UAB=-5 V,D项错误。 【变式4-1】（多选）如图，在等边三角形abc的中心O处有一带正电的点电荷，d为ac边的中点，则在该点电荷产生的电场中（　　） A．a、b、c三点的电场强度相同 B．a、c、d三点间的电势差满足Uad=Udc C．电子在a点的电势能等于在b点的电势能 D．电子在a点的电势能大于在d点的电势能 答案CD 解析 A．由点电荷的场强公式 可知，a、b、c点的电场强度大小相等，但方向不同，所以a、b、c点的电场强度不相同，故A错误； B． a、c两点电势相等且小于 d点的电势，所以 Uad＝-Udc 故B错误； C．由于a、b两点的电势相等，所以电子在a点时的电势能等于在b点的电势能，故C正确； D．由于d点离正点电荷更近，所以d点电势比a点电势高，根据负电荷在电势低处电势能大，所以电子在a点时的电势能大于在d点的电势能，故D正确。 故选CD。 【变式4-2】（多选）如图所示，匀强电场的方向与长方形abcd所在的平面平行，。电子从a点运动到b点的过程中电场力做的功为4.5eV；电子从a点运动到d点的过程中克服电场力做的功为4.5eV。以a点的电势为电势零点，下列说法正确的是（    ） A．b点的电势为4.5V B．c点的电势为 C．该匀强电场的方向由b点指向d点 D．该匀强电场的方向由b点垂直指向直线ac 答案AD 解析A．根据题意，结合电场力做功与电势差的关系可得，电子从a点运动到b点的过程中 解得 又 则b点的电势为 故A正确； B．电子从a点运动到d点的过程中 解得 即d点的电势为 匀强电场中，沿着任一方向，相同长度电势的降落是相同的。连接bd两点，可知bd中点的电势为0，结合几何关系，可知a点和c点与bd的中点在一条直线上，即c点的电势为0，故B错误； CD．由B选项分析可知，ac连线为一条等势线。电场线与等势线相互垂直，且指向电势降落的方向。故该匀强电场的方向由b点垂直指向直线ac，故D正确，C错误。 故选AD。 题型五 等势面 【例5】在做静电实验时，出现了如图所示的情景，相距较近的两个带电金属导体M、N，其中导体N内部存在空腔，空间的电场线分布如图，取无穷远处电势为零，不计空气对电场分布的影响。则其对称轴OMN上电势的变化规律可能正确的是（　　） A． B． C． D． 答案 D 解析 取无穷远处电势为零，根据电场线的分布情况可知，正电物体的电势大于零，负电物体的电势小于零，导体内部电势相等。 故选D。 【变式5-1】等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为Epa和Epb，电荷所受电场力大小分别为Fa和Fb，则(　　) 图1 A．Epa>Epb，Fa>Fb B．Epa>Epb，Fa<Fb C．Epa<Epb，Fa>Fb D．Epa<Epb，Fa<Fb 答案　D 解析　电场线的疏密程度表示电场强度的大小，有Ea<Eb，则有Fa＜Fb，匀强电场方向水平向右，正负电荷形成的电场中电场线由正电荷指向负电荷，可知图中的电场线方向为从左指向右，由对称性可知b点电势小于a点电势，Ep＝qφ可知负电荷Epb>Epa，故选项D正确。 【变式5-2】如图所示，一个点电荷形成的电场中有a、b两点。一个电荷量q =+4.0×10-8C的试探电荷在b点所受静电力Fb = 8.0×10-4N。 现将该试探电荷从a点移到b点，静电力做功W = 1.6×10-6J。求： （1）b点电场强度的大小Eb； （2）a、b两点间的电势差Uab； （3）画出过a点的等势线。 答案（1）；（2）；（3）见解析 解析（1）根据电场强度的定义有 （2）根据电势差的定义有 （3）等势线垂直于电场线，画出的等势线如下图所示 题型六 匀强电场中电势差与电场强度的关系 【例6】(多选)匀强电场中有一与电场方向平行的扇形AOB区域，如图所示，圆心角θ＝120°，半径R＝1 m，其中C、D、F将圆弧AB四等分。已知φA＝9 V，φB＝0，φO＝3 V，以下说法正确的是(　 ) A．φD＝6 V B．φF＝3 V C．电场方向沿AO连线方向 D．场强大小为3 V/m 答案 ABC 解析　连接AB、OC、OD、OE，交点分别为I、H、G，△OIG为等边三角形，△OAI、△OBG为等腰三角形，如图所示，由几何关系可得AI＝IG＝GB，即I、G为AB的三等分点，由于匀强电场电势均匀变化，可得φI＝6 V，φG＝3 V，故OF为电势3 V的等势面，由几何关系可得DI连线垂直于OA，与OF平行，为电势6 V的等势面，即φD＝6 V，φF＝3 V，A、B正确；电场方向垂直于等势面指向电势较低一侧，故沿AO连线方向，C正确；场强大小为E＝＝6 V/m，D错误。 【变式6-1】（多选）如图所示，xOy平面内有一半径为R=5cm的圆，圆心位于O点，A、B、C为圆与坐标轴的三个交点，匀强电场平行于xOy平面，取O点的电势为零。在xOy平面内，若将一电子从A点移动到B点，克服电场力做的功为8eV；若将一质子从O点移动到C点，电场力做的功为3eV。不计各种粒子的重力，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两点间的电势差为 B．匀强电场的场强大小为E=100V/m C．圆上电势最低值为-5V D．若在O点有个α粒子发射源，能够向平面内的各个方向发射动能均为1eV的α粒子，则α粒子到达圆形边界的最大动能为6eV 答案 BC 解析A．将一电子从A点移动到B点，克服电场力做的功为8eV，则有 可得A、B两点间的电势差为 故A错误； B．将一质子从O点移动到C点，电场力做的功为3eV，则有 可得 则匀强电场沿轴正方向的分场强大小为 匀强电场沿轴正方向的分场强大小为 则匀强电场的场强大小为 故B正确； C．设匀强电场与轴正方向的夹角为，则有 可得 如图所示 可知图中圆上D点电势最低，根据 由于取O点的电势为零，则圆上电势最低值为 故C正确； D．若在O点有个α粒子发射源，能够向平面内的各个方向发射动能均为1eV的α粒子，则α粒子到达圆形边界D点时，电场力做正功最大，α粒子到达D点的动能最大，根据动能定理可得 可得α粒子到达圆形边界的最大动能为 故D错误。 【变式6-2】如图是匀强电场遇到空腔导体后的部分电场线分布图，M、N、Q是直电场线上以点O为圆心的同一圆周上的三点，OQ连线垂直于MN，以下说法正确的是(　　) A．O点电势与Q点电势相等 B．将一正电荷由M点移到Q点，电荷的电势能减少 C．MO间的电势差等于ON间的电势差 D．在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿与OQ垂直的方向竖直向上 答案　B 解析　过O点和Q点作电场的等势面，如图。由图可知，O、Q两点的电势不相等，故A错误；将一正电荷由M点移到Q点，电场力对电荷做正功，故电荷的电势能减少，故B正确；MO与ON相等，但由于电场不是匀强电场，且MO间的平均电场强度大于ON间的平均电场强度，由U＝Ed可推得，MO间的电势差大于ON间的电势差，故C错误；在Q点放一个正电荷，正电荷所受电场力将沿Q点电场线的切线方向斜向上，故D错误。 题型七 等差等势面及运动轨迹问题 【例7】（多选）如图所示，在一大小为E的水平匀强电场中，A、B两点的电势分别为φA、 φB，A、B两点的直线距离为l，垂直电场方向的距离为d．一电荷量为q的带正电粒子从A点沿图中虚线移动到B点，电场力做功为W．下列说法正确的是（　　） A．A、B两点电势差为El B．A、B两点电势差为φA﹣φB C．A、B两点电势差为Ed D．A、B两点电势差为 答案BD 解析 A.根据匀强电场中电势差和场强的关系，由d为始末位置沿电场线方向的位移可知：A、B两点的电势差为，故AC错误； B.电势差即两点的电势之差，故B正确； D.由电场力做功可得A、B两点电势差为，故D正确． 故选BD。 【变式7-1】（多选）图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2V。一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV。下列说法正确的是（　　） A．平面c上的电势为零 B．该电子可能到达不了平面f C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍 答案AB 解析 A．虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，一电子经过a时的动能为10eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6eV，动能减小了6eV，电势能增加了6eV，因此a、b、c、d、f相邻两个等势面间的电势差为2V，因平面b上的电势为2V，由于电子的电势能增加，等势面电势由a到f是降低的，因此平面c上的电势为零，故A正确； B．由上分析可知，当电子由a向f方向运动，则电子到达平面f的动能为2eV，由于题目中没有说明电子如何运动，因此也可能电子在匀强电场中做抛体运动，则可能不会到达平面f，故B正确； C．在平面b上电势为2V，则电子的电势能为-2eV，动能为8eV，电势能与动能之和为6eV，当电子经过平面d时，动能为4eV，其电势能为2eV，故C错误； D、电子经过平面b时的动能是平面d的动能2倍，电子经过平面b时的速率是经过d时的倍，故D错误。 故选AB。 【变式7-2】(多选)如图为两点电荷Q、Q′的电场等势面分布示意图，Q、Q′位于x轴上，相邻等势面的电势差为3 V．若x轴上的M点和N点位于0 V等势面上，P为某等势面上一点，则(　　) A．N点的电场强度大小比M点的大 B．Q为正电荷 C．M点的电场方向沿x轴负方向 D．P点与M点的电势差为12 V 答案　AD 解析　等差等势面的疏密程度体现电场强度的大小，由题图可知N点的等差等势面比M点更密，则N点的电场强度大小比M点的大，故A正确；沿着电场线电势逐渐降低，由题图可知电场线由N指向Q，则Q为负电荷，故B错误；沿着电场线电势逐渐降低，结合各等势面的电势高低关系可知M点的电场方向沿x轴正方向，故C错误；M点与N点电势均为0 V，P点与N点的等势面有四个间隔，而相邻等势面的电势差为3 V，则P点与M点的电势差为12 V，故D正确． 题型八 电容器 【例8】（多选）一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S接1，电源E给电容器C充电；开关S接2，电容器C对电阻R放电。下列说法正确的是（　　） A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，上极板带正电荷 B．充电过程中，流过电阻R的电流由N点流向M点 C．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增大 D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R的电流由N点流向M点 答案AB 解析A．充电过程中，随着电容器带电量的增加，电容器两极板间电势差增加；上极板与电源正极相连，带正电，故A正确； B．根据电路图可知，充电过程中，流过电阻R的电流由N点流向M点，故B正确； C．充电过程中，随着电容器带电量的增加，电容器两极板间电势差增加，充电电流在减小，故C错误； D．根据电路图可知，放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R的电流由M点流向N点，故D错误。 故选AB。 【变式8-1】实验小组利用电压传感器研究电容器充放电现象的电路图，如图甲所示，先将开关S与端点1连接，断开后再与端点2连接，通过电脑拟合出电容器两端的电压u随时间t变化的u-t图线，如图乙所示。已知电源的电动势E=5V，内阻不计，电容器的电容C=4.5μF，下列说法正确的是（　　） A．0~t1时间内，流过R的电流逐渐增大，方向由a到b B．t1~t2时间内，流过R的电流大小保持不变 C．t2~t3时间内，流过R的电流逐渐减小，方向由b到a D．该过程中电容器所带电荷量的最大值为9.0×10-7C 答案 C 解析A．由电路图可知，0~t1时间内，电容器充电，流过R的电流逐渐减小，方向由a到b，故A错误； B．t1~t2时间内，电路断开，回路中没有电流，故B错误； C．t2~t3时间内，电容器放电，电容器充当电源，电容器上极板带正电，则电阻R中的电流逐渐减小，方向从b向a，故C正确； D．根据电容的定义式可得 故D错误。 故选C。 【变式8-2】据报道，我国每年心源性猝死案例高达55万，而心脏骤停最有效的抢救方式是通过AED自动除颤机给予及时治疗．某型号AED模拟治疗仪器的电容器电容是15 μF，充电至9 kV电压，如果电容器在2 ms时间内完成放电，则下列说法正确的是(　　) A．电容器放电过程的平均电流为67.5 A B．电容器的击穿电压为9 kV C．电容器充电后的电荷量为135 C D．电容器充满电的电容是15 μF，当放电完成后，电容为0 答案　A 解析　根据电容的定义式C＝，解得Q＝15×10－6×9×103 C＝0.135 C，故放电过程的平均电流为I＝＝ A＝67.5 A，故A正确，C错误；当电容器的电压达到击穿电压时，电容器将会损坏，所以9 kV电压不是击穿电压，故B错误；电容器的电容与电容器的带电荷量无关，所以当电容器放完电后，其电容保持不变，故D错误． 题型九 电容 【例9】（多选）某型号心脏除颤器的电容器电容为。某次治疗中电容器充电后电压为4kV，与人体接触后电压迅速减至0，下列说法正确的是（    ） A．电容器放电完成后电容为0 B．电容器放电完成后电容仍为 C．本次治疗中通过人体组织的电荷量为64C D．本次治疗中通过人体组织的电荷量为0.064C 答案BD 解析AB．电容器电容与所带电荷量无关，电容器放电完成后电容仍为，故A错误，B正确； CD．本次治疗中通过人体组织的电荷量为 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式9-1】(多选)如图，某电容器由两水平放置的半圆形金属板组成，板间为真空。两金属板分别与电源两极相连，下极板固定，上极板可以绕过圆心且垂直于半圆面的轴转动。起初两极板边缘对齐，然后上极板转过10°，并使两极板间距减小到原来的一半。假设变化前后均有一电子由静止从上极板运动到下极板。忽略边缘效应，则下列说法正确的是(　 ) A．变化前后电容器电容之比为9∶17 B．变化前后电容器所带电荷量之比为16∶9 C．变化前后电子到达下极板的速度之比为∶1 D．变化前后电子运动到下极板所用时间之比为2∶1 答案 AD 解析 　由平行板电容器电容公式C＝可知，变化前后电容器电容之比为＝·＝·＝，电容器两端电压不变，变化前后电容器所带电荷量之比为＝＝，故A正确，B错误；电子由静止从上极板运动到下极板过程，由动能定理有eU＝mv2，解得电子到达下极板的速度v＝ ，电容器两端电压不变，变化前后电子到达下极板的速度之比为1∶1，故C错误；电子由静止从上极板运动到下极板过程，电子的加速度 a＝＝，电子的运动时间t＝ ＝ ＝d ，变化前后电子运动到下极板所用时间之比为＝＝＝，故D正确。 【变式9-2】(多选)如图为手机指纹识别功能的演示，此功能的一个关键元件为指纹传感器．其部分原理为：在一块半导体基板上集成有上万个相同的小极板，极板外表面绝缘．当手指指纹一面与绝缘表面接触时，指纹的凹点与凸点分别与小极板形成一个个正对面积相同的电容器，若每个电容器的电压保持不变，则下列说法正确的是(　　) A．指纹的凹点与小极板距离远，电容大 B．指纹的凸点与小极板距离近，电容大 C．若手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，小极板带电荷量增多 D．若用湿的手指去识别，识别功能不会受影响 答案　BC 解析　根据电容的决定式C＝可知，指纹的凹点与小极板距离远，即d大，则C小；指纹的凸点与小极板距离近，即d小，则C大，故A错误，B正确．若手指挤压绝缘表面，电容器两极间的距离减小，则C增大，由于电容器的电压保持不变，根据Q＝CU可知小极板带电荷量Q增多，故C正确．若用湿的手指去识别，由于自来水是导电的，则使得同一指纹的凹点和凸点与小极板之间的距离将会发生变化，从而改变了电容器的电容，使得识别功能受到影响，故D错误． 题型十 平行板电容器 【例10】如图所示，平行板电容器的金属板A、B水平放置，与直流恒压电源两极相连，电路中接有电流计G，极板B接地，极板间有一带负电的液滴静止在P点，则下列判断错误的是（　　） A．a端是电源的正极 B．将A板向右平移一些，液滴将向下运动 C．将B板向下平移一些，电容器电容减小 D．将A板向下平移过程中，电流计中有从d到c的电流 答案B 解析A．由于带负电的液滴处于静止状态，可知电场力竖直向上，板间场强方向向下，因此A板带正电，a端是电源的正极，故A正确，不符合题意； B．将A板向右平移一些，板间电压不变，根据 可知，板间的电场强度不变，液滴仍保持静止，故B错误，符合题意； C．将B板向下平移一些，两极板间距离变大，根据 可知，电容C减小，故C正确，不符合题意； D．根据 A板向下平移，d减小，C增大，板间电压U不变，则电容器所带电荷量Q增大，电容器充电，电流计中有d到c的电流，故D正确，不符合题意。 故选B。 【变式10-1】如图所示，平行板电容器带有等量异种电荷(上极板带正电)，与静电计相连，静电计金属外壳和电容器下极板都接地，在两极板间有一固定在P点的正点电荷，以E表示两板间的电场强度，U表示两板之间的电势差，Ep表示点电荷在P点的电势能，θ表示静电计指针的偏角。若保持下极板不动，将上极板向下移动一小段距离至图中虚线位置，则(　　) A．E不变，Ep不变 B．U不变，E减小 C．θ增大，E不变 D．θ不变，Ep增大 答案　A 解析　两板间的电场强度E＝＝＝，因此电场强度与板间距无关，即E不变，P点到下极板距离不变，则P点的电势不变，所以点电荷在P点的电势能Ep不变，故A正确，D错误；电容器没有连接电源，故电容器的带电荷量不变，上极板向下移动，板间距减小，根据C＝可知，电容增大，由电容的定义式可得，极板间的电势差减小，故静电计指针偏角θ减小，故B、C错误。 【变式10-2】如图所示，两块水平放置的平行金属板M、N，下极板N接地。现将其与理想二极管串联，与静电计并联，初始电容器所带电量为零。为定值电阻，和为电阻箱，闭合开关S稳定后，一带电油滴恰好静止于两板间的P点，则下列说法正确的是（　　） A．断开开关S，M板稍微上移，静电计指针偏角变小 B．断开开关S，N板稍微下移，带电油滴的电势能增大 C．保持开关S闭合，减小阻值，带电油滴会向上运动 D．保持开关S闭合，增大阻值，平行板电容器的带电荷量减小 答案C 解析 A．断开开关S，电量保持不变，根据电容决定式，可知M板稍微上移，d变大，电容减小；根据电容定义式，可知板间电压U变大，所以静电计指针偏角变大，故A错误； B．根据电容决定式，电容定义式，板间场强，联立可得 断开开关S，电量保持不变，所以板间场强不变；P与下极板间电势差为 可知P与下极板间电势差变大，而N板的电势始终为零，所以P点电势降低，且为负值。由图可知N板为正极板，液滴处于静止状态，根据平衡条件可知液滴带正电；根据 ，可知N板稍微下移，带电油滴的电势能降低，故B错误； C．保持开关S闭合，电容器两板间电压等于电阻R0两端的电压，当减小R1的阻值，R0两端的电压增加，电容器两板间电压升高，根据，可知电容器将会充电，因为二极管单向导电性，电容器的电量可以增加，所以电压升高，板间场强。由此可知板间场强变大，所以液滴向上运动，故C正确； D．保持开关S闭合，电容器两板间电压等于电阻R0两端的电压，当增大R2的阻值，电容器两板间电压与R2的阻值无关，根据，可知平行板电容器的带电荷量保持不变，故D错误。 故选C。 题型十一 带电粒子在电场中的加速 【例11】（多选）一质量为的带电液滴以竖直向下的初速度进入某电场中，由于电场力和重力的作用，液滴沿竖直方向下落一段距离后，速度变为0，已知重力加速度为g，在此过程中，以下判断正确的是（　　） A．液滴一定带负电 B．重力对液滴做的功为 C．合外力对液滴做的功为 D．液滴的机械能减少了 答案CD 解析A．由于液滴沿竖直方向下速度变为0，表明液滴做减速运动，加速度方向向上，则电场力方向向上，电场力方向与电场强度方向相同，即液滴一定带正电，故A错误； B．根据功的定义式可知，重力做功为 故B错误； C．根据动能定理，合外力对液滴做的功为 故C正确； D．液滴下落过程，重力做正功，重力势能减小，液滴做减速运动，速度减小，动能减小，可知，机械能减小，且液滴的机械能减少了 故D正确。 故选CD。 【变式11-1】如图甲所示，一带正电的小球用绝缘细线悬挂在竖直向上的、范围足够大的匀强电场中，某时刻剪断细线，小球开始向下运动，通过传感器得到小球的加速度随下行速度变化的图像如图乙所示．已知小球质量为m，重力加速度为g，空气阻力不能忽略．下列说法正确的是(　　) A．小球运动的速度一直增大 B．小球先做匀加速运动后做匀速运动 C．小球刚开始运动时的加速度大小a0＝g D．小球运动过程中受到的空气阻力与速度大小成正比 答案　D 解析　 小球速度增大到v0后，加速度变为0，速度不再增大，故A错误；小球在加速过程中，加速度随速度变化，不是匀变速运动，故B错误；由a－v图像可得，a＝kv＋a0，由牛顿第二定律可得mg－qE－Ff＝ma，可解出加速度为a＝－＋g－，联立可知a0＝g－，还可知－＝kv，即Ff＝－kmv，故C错误，D正确． 【变式11-2】（多选）多级加速器原理如图甲所示，多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加，圆筒和交变电源两极交替相连，交变电压变化规律如图乙所示。在t=0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板中央的一个电子，在电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒。若已知电子的质量为m，电荷量为e，电压的绝对值为U0，周期为T，电子通过圆筒间隙的时间忽略不计，为使其能不断加速，下列说法正确的是（　　） A．金属圆筒内部场强处处为零，电子在圆筒内做匀速运动 B．t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来 C．电子离开第8个圆简的速度大小为 D．第n个圆筒的长度正比于n 答案AB 解析 A．因一个筒只接一个电极，所以金属圆筒内部场强处处为0，电子在圆筒内做匀速运动，故A正确； B．因为筒长是按一定的规律增加的，那么电子在每个筒内运动的时间必须为交流电周期的一半，所以当t=0时，电子进入1号筒，当时，电子从1号筒中心飞出，以此类推，当t=3T时，电子刚从6号圆筒中心出来，故B正确； CD．设粒子进入第n个筒时的速度为，由动能定理可得 解得 电子离开第8个圆简的速度大小为 故第n个筒的长度为 可以发现 故CD错误。 故选AB。 题型十二 带电粒子在电场中的偏转 【例12】（多选）如图，一个静止的电子（电荷量大小为e，质量为m）经电压为的电场加速后，沿平行于板面方向进入A、B两极板间的匀强电场，两极板的长度为l，相距为d，极板间的电压为。电子射出电场时速率为v，电子射出电场时沿垂直于板面方向偏移的距离为y。则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 答案AC 解析AB．电子在加速电场中，根据动能定理有 在偏转电场中，电子做类平抛运动，则有 ， 根据牛顿第二定律有 解得 故A正确，B错误； CD．偏转电场中的电场强度 根据动能定理有 结合上述解得 故C正确，D错误。 故选AC。 【变式12-1】如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器板长和板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示。(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不变的)求： (1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处； (2)荧光屏上有电子打到的区间有多长。 答案　(1)打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm　(2)30 cm 解析　(1)电子经电场加速满足qU0＝mv2 经电场偏转后侧移量y＝at2＝·2 所以y＝，由题图知t＝0.06 s时刻U偏＝1.8U0，所以y＝4.5 cm 设打在屏上的点距O点的距离为Y，满足 ＝ 所以Y＝13.5 cm，即打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm。 (2)由题知电子侧移量y的最大值为，所以当偏转电压超过2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间长为3L＝30 cm。 【变式12-2】如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是竖直方向的直径。一质量为m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求： (1)电场强度E的大小； (2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。 答案(1)　(2)不小于 解析(1)当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示， 则有＝tan θ，所以E＝。 (2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg。当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的Q点。设当小球从P点出发的速度为vmin时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有 －mg·2r＝0－mvmin2， 所以vmin＝，即小球的初速度应不小于。 基础巩固通关测 1．静电场方向平行于x轴，将一电荷量为-q的带电粒子在x=d处由静止释放，粒子只在电场力作用下沿x轴运动，其电势能 Ep随x的变化关系如图所示。若规定x轴正方向为电场强度E、加速度a的正方向，图中的四幅示意图分别表示电势φ随x的分布、场强E随x的分布、粒子的加速度a随x的变化关系和粒子的动能Eₖ随x的变化关系，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 答案B 解析D．根据可知，由于粒子带负电，则图像电势的变化应与题图中的变化相反，如图所示 故D错误； A．根据图像的斜率表示电场强度，沿电场方向电势逐渐降低，则知在的左侧，存在沿x轴负方向的的匀强电场（场强为负），右侧存在沿x轴正方向的匀强电场（场强为正），故A错误； C．根据牛顿第二定律可得 粒子在匀强电场中运动时加速度不变，由于粒子带负电，粒子的加速度在左侧为正值，大小不变，在右侧加速度为负值，且大小不变，故C错误； B．因为带电粒子只受电场力作用，所以带电粒子的动能与电势能总和保持不变，即图像应与图像的形状上下对称，故B正确。 故选B。 2．（多选）如图所示，电荷量为q的两个正点电荷放置于正方体的顶点A、C，正方体的边长为a，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　） A．顶点B和D的电场强度相等 B．顶点B和D的电势相等 C．顶点B的电场强度大小为 D．顶点 的电场强度大小为 答案BC 解析A．根据等量同种点电荷的电场分布特点可知，顶点B和D的电场强度大小相等，方向相反，故A错误； B．顶点B、D到两个正点电荷的距离都为a，所以顶点B和D的电势相等，故B正确； CD．根据点电荷的场强公式和场强的叠加法则可知，顶点B的电场强度大小为 顶点的电场强度大小为 故C正确，D错误。 故选BC。 3．1913年，密立根用油滴实验测得了电子电量的精确数值。如图所示，当油滴喷出时，因与喷雾器摩擦而带负电，油滴通过小孔进入平行板电容器AB之间，调节两板间的电压，让油滴缓慢匀速下落，并测定油滴直径等相关物理量，可推算出该油滴的电荷量，不计油滴间相互作用。下列相关说法正确的是(　 ) A．油滴由于失去正电荷而带负电 B．若仅增大AB间电压，油滴将加速下落 C．若仅增大AB间距离，油滴将减速下落 D．若在AB间同时悬停着两颗油滴，则直径大的带电量一定大 答案D 解析　油滴与喷雾器摩擦得到电子从而带负电荷，A错误；由于液滴带负电，受电场力向上，若仅增大AB间电压，油滴将加速上升，B错误；若仅增大AB间距离，电压不变，根据E＝，可知电场强度减小，电场力小于重力，油滴将加速下落，C错误；若在AB间同时悬停着两颗油滴，直径大的质量一定大，根据mg＝Eq，可知质量大的带电量一定大，因此直径大的带电量一定大，D正确。 4．我国的特高压直流输电是中国在高端制造领域领先世界的一张“名片”，特别适合远距离输电，若直流高压线掉到地上时，它就会向大地输入电流，并且以高压线与大地接触的那个位置为圆心，形成一簇如图所示的等差等势线同心圆，A、B、C、D是等势线上的四点，当人走在地面上时，如果形成跨步电压就会导致两脚有电势差而发生触电事故，则(　 ) A．电势的大小为φC＞φB＝φD＞φA B．电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC C．人从B沿着圆弧走到D会发生触电 D．AB间距离等于BC间距离的2倍 答案 B 解析　根据题意，圆心处的电势最高，向外越来越低，电势的大小为φA＞φB＝φD＞φC，A错误；电场强度看等势线的疏密，由题图可知电场强度的大小为EA＞EB＝ED＞EC，B正确；B和D在同一条等势线上，人从B沿着圆弧走到D不会发生触电，C错误；AB的平均场强大于BC的平均场强，AB的电势差等于BC电势差的二倍，根据E＝可以定性判断出AB间距离小于BC间距离的2倍，D错误。 5．（多选）图中实线为一个正点电荷的电场线，虚线是其等势面，B、C、D是某条电场线上的三点，且BC=CD，A点与C点在同一等势面上。下列说法正确的是（　　） A．A点与C点的电场强度相同 B．把一个电子从B点移到D点，其电势能增加 C．同一电荷由B点运动到C点静电力做功大于从C点运动到D点静电力做功 D．把一电子在B点静止释放，它会沿电场线向右运动 答案BC 解析A．A点与C点的电场强度大小相同，但是方向不同，故A错误； B．把一个电子从B点移到D点，电场力做负功，则其电势能增加，故B正确； C．由于越靠近点电荷，场强越大，可知BC间场强大于CD间场强。根据 可知 根据 可知，同一电荷由B点运动到C点静电力做功大于从C点运动到D点静电力做功，故C正确； D．把一电子在B点静止释放，由于其受到的电场力水平向左，它将会沿电场线向左运动，故D错误。 故选BC。 6．（多选）如图甲所示，、、为匀强电场中相邻的等差等势面，电量为、质量为的带电小球在电场中由点抛出，运动轨迹最高点恰能到达等势面。上升过程中小球的动能和机械能随高度的变化关系如图乙所示，为已知量，重力加速度为，忽略空气阻力，则（    ） A．小球机械能变化的图像为② B．小球一定带负电 C．电场强度的大小为 D．相邻等势面间电势差的大小为 【答案】AC 【详解】A．由图像可知，机械能随高度减小，所以电场力做负功，因为重力一定做负功，合力做的负功一定大于电场力做的负功，所以①为动能的变化图像，②为机械能的变化图像，选项A正确； B．小球所受电场力方向向下，由于电场方向未知，所以无法判断小球电性，选项B错误； CD．上升的过程中 解得电场强度的大小 由于恰好到达等势面，由图可知 相邻等势面间电势差的大小 选项C正确，D错误。 故选AC。 7．如图所示的实验装置可用来探究影响平行板电容器电容的因素，其中电容器左侧极板B和静电计外壳均接地，电容器右侧极板A与静电计金属球相连，使电容器带电后与电源断开，下列操作能使静电计的指针偏角变大的是(　　) A．减小A板与B板之间的水平距离 B．将橡胶棒插入A板与B板之间 C．A板位置不动，将B板稍微竖直向下平移 D．将A板也接地 答案　C 解析　静电计指针偏角反映的是电容器两极板之间的电势差，电容器带电后与电源断开，则Q不变，减小A板与B板之间的水平距离，根据C＝可知电容C增大，根据U＝可知U变小，静电计指针偏角变小，故A错误；将橡胶棒插入A板与B板之间εr变大，根据C＝可知电容C增大，根据U＝可知U变小，静电计指针偏角变小，故B错误；A板位置不动，将B板稍微竖直向下平移，S变小，根据C＝可知电容C减小，根据U＝，可知U变大，静电计指针偏角变大，故C正确；将A板也接地，A、B两板电势差变为0，则静电计指针偏角变小，故D错误。 8．在“观察电容器的充、放电现象”实验中，电路如图所示： (1)将开关S接通1，电容器的__________（选填“上”或“下”）极板带正电，再将S接通2，通过电流表的电流方向向__________（选填“左”或“右”）。 (2)若电源电动势为10V。实验中所使用的电容器大小为，充满电后电容器正极板所带电荷量为__________C（结果保留两位有效数字）， (3)下列关于电容器充电时，电流i与时间t的关系、所带电荷量q与两极板间的电压U的关系正确的是__________。 A． B． C． D． 答案(1) 上 左 (2) (3)A 解析（1）[1] 开关S接通1，电容器充电，根据电源的正负极可知电容器上极板带正电； [2] 开关S接通2，电容器放电，通过电流表的电流向左。 （2）充满电后电容器所带电荷量为 C （3）AB．电容器充电过程中，电流逐渐减小，随着两极板电荷量增大，电流减小的越来越慢，电容器充电结束后，电流减为0，故A正确，B错误； CD．电容是电容器本身具有的属性，根据电容的定义式可知，电荷量与电压成正比，所以图线应为过原点直线，故CD错误。 故选A。 9．如图甲所示，真空中相距d＝5 cm的两块平行金属板A、B与电源连接(图中未画出)，其中B板接地(电势为零)，A板电势变化的规律如图乙所示。将一个质量m＝2.0×10－27 kg、电荷量q＝＋1.6×10－19 C的带电粒子从紧邻B板处释放，不计粒子重力。求： (1)在t＝0时刻释放该带电粒子，释放瞬间粒子加速度的大小； (2)若A板电势变化周期T＝1.0×10－5 s，在t＝0时将带电粒子从紧邻B板处无初速度释放，粒子到达A板时速度的大小； (3)A板电势变化频率多大时，在t＝到t＝时间内从紧邻B板处无初速度释放该带电粒子，粒子不能到达A板。 答案　(1)4.0×109 m/s2　(2)2×104 m/s　(3)大于5×104 Hz 解析　(1)带电粒子所受电场力大小为 F＝qE＝ 由牛顿第二定律得 a＝＝＝4.0×109 m/s2。 (2)由位移公式计算粒子在0～时间内运动的距离为x＝a()2＝5.0×10－2 m 由此可见带电粒子在t＝时恰好到达A板。再由运动学公式可得 v＝a＝2×104 m/s。 (3)分析可知，在～内，电场力方向、速度方向均向右，带电粒子向A板做匀加速运动；同理，在～内，则向A板做匀减速运动，速度减为零后再返回。由于运动具有“对称性”，即先、后两段位移大小相等，得粒子向A板运动可能的最大位移为xmax＝2×a()2＝aT2。因题目要求粒子不能到达A板，故必有xmax＜d, 根据频率和周期的关系为f＝，由以上三式即可求出电势变化频率应满足条件f＞＝5×104 Hz。 10.某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后被引向轰击肿瘤并杀死靶细胞。“质子疗法”可简化为如图所示的模型，真空中的平行金属板A、B间的电压为U1，平行金属板C、D之间的距离为d、金属板长也为d。质子源发射质量为m、电荷量为q的质子，质子从A板上的小孔进入（不计初速度）平行板A、B间，经加速后从B板上的小孔穿出，匀速运动一段距离后以平行于金属板C、D方向的初速度v0（大小未知）进入板间，质子射出平行金属板C、D时末速度方向与初速度方向的夹角之后质子恰好击中靶细胞。已知平行金属板A、B之间，平行金属板C、D之间均可视为匀强电场，质子的重力和质子间的相互作用力均可忽略，取，求： (1)质子从B板上的小孔穿出时的速度大小v0； (2)质子射出金属板C、D间时沿垂直于板面方向偏移的距离y； (3)平行金属板C、D间的电压大小U2。 答案(1)(2)(3) 解析（1）质子经过加速电场过程，根据动能定理可得 解得 （2）质子射出金属板C、D间时，设垂直金属板方向的分速度为，根据题意有 质子在金属板C、D间做类平抛运动，则有 ， 联立解得 （3）质子在金属板C、D间有 ， 又 联立解得 能力提升进阶练 1、 单选题 1．（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N点在同一等势面上，N、P点在同一电场线上。下列说法正确的是（   ） A．M点的电势比P点的低 B．M点的电场强度比N点的小 C．负电荷从M点运动到P点，速度增大 D．负电荷从M点运动到P点，电场力做负功 答案D 解析A．MN两点电势相等，电场线由上到下，NP在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N点电势高于P点，可知M点电势高于P点，选项A错误； B．M点电场线分布比N点密集，可知M点电场强度比N点大，选项B错误； CD．负电荷从M点运动到P点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C错误，D正确； 故选D。 2．（2025·北京·高考真题）某小山坡的等高线如图，M表示山顶，是同一等高线上两点，分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不考虑阻力，则（　　） A．小球沿运动的加速度比沿的大 B．小球分别运动到点时速度大小不同 C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A点电场强度比B点大 D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快 答案 D 解析A．等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得（为坡面与水平面夹角），MB对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB运动时加速度比沿着MA运动时加速度大，A错误； B．A、B在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒，运动到A、B点时速度大小相同，B错误； C．等势线越密集，电场强度越大，B处等势线更密集，A点电场强度比B点小，C错误； D．等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D正确。 故选D。 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q（Q > 0）的带电小球。另一个电荷量为q（q > 0且q << Q）的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力。则（   ） A．小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力 B．小球从c点到e点电势能先不变后减小 C．小球过f点的动能等于过d点的动能 D．小球过b点的速度大于过a点的速度 答案B 解析A．小球所受库仑力 由于re > rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误； B．点电荷在距其r处的电势为 由于c点到d点r不变，d点到e点r逐渐增大，则根据Ep = φq 可知小球从c点到d点电势能不变，从d点到e点电势能逐渐减小，故B正确； C．由于rf > rd，根据选项B可知，小球的电势能Epd > Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，故C错误； D．由于ra > rb，根据选项B可知，小球的电势能Epb > Epa，根据能量守恒可知，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故D错误。 故选B。 4．（2025·山东·高考真题）（多选）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　） A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势 C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低 答案BD 解析A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持平衡。 设与线段交点为点，由几何关系 解得得 因此有， 根据正弦定理，对甲有 对乙有 因为 是一对相互作用力，可得 A错误； B．根据点电荷场强公式，由场强叠加知识，可知C到D之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，若有一正试探电荷从C运动到D的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C点电势高于D点电势，B正确； C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在点带电量为的正点电荷的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等，方向相同。但是点带电量为的正点电荷在E、F两点的电场强度不同。E、F两点电场强度大小不同，C错误； D．电势是标量，与线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。 故选BD。 5．（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c三点，其电势分别为；a、b、c分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a点电场的方向，则正确的是（　　） A． B． C． D． 答案C 解析 匀强电场中任意两点间的中点电势等于这两点的平均值，可知ac中点d的电势与b点相同，bd的连线为该匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势指向低电势，故电场线沿ac方向且由a指向c，C选项正确。 故选C。 6．（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。a、b、c、d四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V的等势线上，则（   ） A．a、b、c、d中a点电场强度最小 B．a、b、c、d中d点电场强度最大 C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为2eV D．一个电子从a点移动到d点电势能增加了4eV 答案C 解析AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d中a点电场强度最大，故AB错误； C．一个电子从b点移动到c点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV 故C正确； D．一个电子从a点移动到d点电场力做功为Wad = －eUbc = 4eV 由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a点移动到d点电势能减小了4eV，故D错误。 故选C。 7．（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e与e，f两点间的距离相等，则（　　） A．a点电势高于b点电势 B．a、c两点的电场强度相同 C．d、f间电势差为d、e间电势差的两倍 D．从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等 答案D 解析A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b点所在的等势面高于a点所在的等势面，A错误； B．a、c两点电场强度方向不同，电场强度不同，B错误； C．从d→e→f电场强度逐渐减小，间距相等，结合可知，则，C错误； D．a点与f点在同一等势面上，a、b两点和f、b两点的电势差相等，根据电场力做功可知从a到b与从f到b，电场力对电子做功相等，D正确。 故选D。 8．（2025·福建·高考真题）某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管道中加上径向电场。现将一电子a自A点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为ABC，半径为r。另一电子b自A点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO共线，已知BP电势差为U，|CQ|=2|BP|，a粒子入射动能为Ek，则（　　） A．B点的电场强度 B．P点场强大于C点场强 C．b粒子在P点动能小于Q点动能 D．b粒子全程的克服电场力做功小于2eU 答案D 解析A．a粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有，粒子恰好做圆周运动，则，联立解得，故A错误； B．由图可知，P点电场线密度较稀疏，则场强小于C点场强，故B错误； C．已知|CQ|=2|BP|，因为BC在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q点电势小于P点，电子在电势低处电势能大，则b粒子在Q点电势能大，根据能量守恒可知，b粒子在Q点动能较小，故C错误； D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则BP之间平均电场强度大小大于CQ之间的平均电场强度大小，根据，则，则b粒子全程的克服电场力做功，故D正确。 故选 D。 二、多选题 9．（2025·江西宜春·二模）（多选）如图，ABC为等腰直角三角形，BC=AC=4cm，一匀强电场与其平面平行。现规定B→C为x轴正方向，且B→C的电势变化如图2所示，C→A为y轴正方向，且由C→A的电势变化如图3所示，下列说法正确的是（　　） A．AC方向电场强度大小为100V/m，方向由A→C B．BC方向电场强度大小为50V/m，方向由C→B C．匀强电场的电场强度大小为 D．匀强电场的电场强度大小为 答案BD 解析B．根据 可知，图像的绝对值表示BC方向电场强度大小，根据图像可知 由于沿电场线方向电势降低，可知，电场强度方向沿C→B，故B正确； A．根据 可知，图像的绝对值表示AC方向电场强度大小，根据图像可知 由于沿电场线方向电势降低，可知，电场强度方向沿C→A，故A错误； CD．结合上述，根据矢量叠加原理可知，匀强电场的电场强度大小 故C错误，D正确。 故选BD。 10.(多选) 如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是(　　) A．C点电势为3 V B．C点电势为0 C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m 答案　BD 解析　找OC的中点D，连接AD和BD，如图所示。 由几何知识可知AB∥OD，AB∥DC，且AB＝OD＝DC，故UAB＝UOD＝UDC，即φA－φB＝φO－φD＝φD－φC，故φD＝3 V，φC＝0，故A错误，B正确；由于φA＝φD，故AD为等势线，已知电场线和等势线互相垂直且方向由高电势指向低电势，又OB⊥AD，且φO＞φB，故电场强度方向由O指向B，E＝＝ V/m＝100 V/m，故C错误，D正确。 11.(多选)如图所示，电容式麦克风的振动膜是利用超薄金属或镀金的塑料薄膜制成的，它与基板构成电容器，并与电阻、电池构成闭合回路．麦克风正常工作时，振动膜随声波左右振动．下列说法正确的是(　　) A．振动膜向右运动时，电容器的板间电场强度不变 B．振动膜向右运动时，a点的电势比b点的电势高 C．振动膜向左运动时，电阻上有从a到b的电流 D．振动膜向左运动时，振动膜所带的电荷量减小 答案　BD 解析　振动膜向右振动时电容器两极板的距离变小，根据E＝，电容器板间的电场强度变大，根据C＝电容增大，根据C＝，在U不变的情况下，Q增大，电容器充电，R中电流方向向下，即有从a到b的电流，a点的电势比b点的电势高，A错误，B正确；振动膜向左振动时电容器两极板的距离变大，根据C＝，电容减小，根据C＝知，在U不变的情况下，Q减小，电容器放电，R中电流方向向上，即有从b到a 的电流， C错误，D正确． 12.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内有一个匀强电场，电场强度大小为E、方向与圆所在的面平行。PQ为圆的一条直径，与电场强度方向的夹角θ＝60°。质量为m、电荷量为＋q的粒子从P点以某一初速度沿垂直于电场强度的方向射入电场，不计粒子重力。 (1)若粒子到达Q点，求粒子在P点的初速度大小v0； (2)若粒子在P点的初速度大小在0～v0之间连续可调，则粒子到达圆弧上哪个点电势能变化最大？求出电势能变化的最大值ΔEp。 答案　(1) (2)圆弧上最低点　－ 解析　(1)粒子做类平抛运动，设粒子从P点运动到Q点的时间为t，加速度为a， 则水平方向有2Rsin θ＝v0t 竖直方向有2Rcos θ＝at2 由牛顿第二定律得qE＝ma 联立解得v0＝。 (2)粒子到达圆弧上最低点电势能变化最大 ΔEp＝－qEd d＝R＋Rcos θ 解得ΔEp＝－。 13．如图所示，两水平面(虚线)之间区域存在与水平方向成45°斜向右上方的匀强电场，自该区域上方A点将质量均为m、带电荷量分别为q和2q带正电粒子M、N，同时以相反的初速度v0沿水平方向射出。两粒子进入电场时速度方向与上边界均成45°角，并从该区域的下边界离开。已知M在电场中做直线运动，N离开电场时速度方向恰好竖直。(重力加速度大小为g，不计空气阻力和粒子间相互作用)求： (1)A点距电场上边界的高度； (2)该电场强度的大小； (3)M与N两粒子离开电场时位置间的距离。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)M、N两粒子进入电场前做平抛运动，设A点距电场上边界的高度为h，粒子进入电场时速度偏向角满足vy＝v0tan 45°＝v0，又v＝2gh，解得h＝。 (2)M粒子在电场中做直线运动，受力分析知，电场力qE与重力mg的合力与速度同向，可得qE＝mgcos 45°，解得E＝。 (3)M、N两粒子进电场前，运动时间均为t1，可得t1＝＝ 水平位移x1＝v0t1＝ 电场中，N粒子受电场力F＝2qE＝mg 由力的合成可知N粒子所受合力F合＝mg，方向水平向右，则N粒子水平方向以大小为g的加速度做初速度为v0的匀减速直线运动，设运动时间为t2，由运动学公式可得 v0－gt2＝0，x2＝v0t2－gt 解得x2＝ 竖直方向做匀速直线运动，电场高度为H，可得H＝v0t2＝ 当M离开电场时，M在电场中运动的水平距离为x3，由几何关系可得 x3＝Htan 45＝ 所以M与N两粒子离开电场时位置间的距离 d＝2x1＋x2＋x3＝。 / 学科网（北京）股份有限公司 $$