1.2 矩形的性质与判定（第1课时 矩形的性质）（导学案）数学北师大版九年级上册

1.2矩形的性质与判定 导学案 第1课时 矩形的性质 1..理解并掌握矩形的概念和性质. 2..能熟练运用矩形性质进行计算和证明. 学习重点：掌握矩形的定义和性质； 学习难点：矩形性质的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： (1)什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)平行四边形有哪些性质？ 对称性：中心对称图形. 边：对边平行且相等. 角：对角相等,邻角互补. 对角线：相交并相互平分. 新知自研：自研课本第11--13页的内容． 【学法指导】 自研课本P11-12页议一议上面的内容，思考： ●探究一：矩形的定义 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.（也叫作长方形）由此可见，矩形是特殊的 平行四边形 ，它具有平行四边形的所有性质. 练一练 1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ B  ） A．∠A=∠C B．∠A=∠B C．AB=BC D．AD=BC ●探究二：矩形的性质 ◆1.想一想 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ 矩形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分. （2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. （3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. 猜想归纳：①矩形的四个角都是直角. ②矩形的两条对角线相等. ◆2.验证矩形性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=BD. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC= 90°, ∴∠BCD= 90°. ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. （2）∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC (矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. ◆知识归纳： 矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是直角. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. 定理2：矩形的对角线相等. 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD. 练一练 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　C　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB ●探究三：直角三角形斜边中线的性质 ◆1.议一议 如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？ 猜想：BE是Rt△ABC斜边的中线，BE=AC. 即：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ◆2.验证猜想 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO =AC . 证明: 延长BO至D, 使OD=BO, 连接AD，DC. ∵AO=OC, BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵∠ABC=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC. ◆3.知识归纳：直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： ∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴BO=AC. 练一练 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3 cm,则AC = 6 cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5 cm,则AC = 10 cm, BD = 5 cm. 【例题导析】 自研课本P13页例1内容，回答问题： 例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC,根据邻补角的定义求出∠AOB，,然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB,然后求解即可解答. 【解答】 例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. 【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F,可以得到∠DEC=∠AED,∠DFE=∠C=90°”,进而依据AAS可以证明△DFE≌△DCE，然后利用全等三角形的性质即可解答. 【解答】证明：连接DE. ∵AD =AE, ∴∠AED =∠ADE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC,∠C=90°. ∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED. 又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°. 又∵DE=DE, ∴△DFE≌△DCE, ∴DF=DC. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明矩形性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(　B ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　C ) A.20　　 B.10　　 C.5　 D. 2.5 （2题） 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( C ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° 4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ D ） A. 2 B. 4 C. D. （4题） (5题) 5.如图：已知：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 ㎝，BD＝ 10 ㎝. 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF=2.5 cm． （6题） (7题) 7.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为 6 . 8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. 【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC= BD,AB∥CD. 又∵BE∥AC, ∴四边形ABEC是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE. (2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4, ∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD=BD=×8=4, ∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8. 在Rt△BCD中, BC===4. ∴四边形ABED的面积=×(4+8)×4=24. 9.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 【解答】解：添加条件：BE＝DF（或DE＝BF或AE∥CF或∠AEB＝∠DFC或∠DAE＝∠BCF或∠AED＝∠CFB或∠BAE＝∠DCF等）. 选择BE＝DF. 证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ BE＝DF， ∴ △ABE≌△CDF（SAS）. ∴ AE＝CF. 题型一：矩形的性质求角度 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，由矩形的性质可得，则由等边对等角和三角形外角的性质可得，据此根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C ． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．连接交于O，先根据矩形的性质得到，，，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，，再根据三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 3．（2024春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______.    【答案】 【分析】根据题意可知，等量代换求出，再根据平行线的性质求出． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 题型二：矩形的性质求线段长 4．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】四边形为矩形，是对角线的中点 ， ∵， ∴ 在中， ∴ 故选：B． 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 【答案】． 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接，求得的面积为，再利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的面积为， ∵为矩形的边的中点， ∴的面积为，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型三：矩形的性质求周长和面积 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，熟练三角形中线等分三角形的面积是解答的关键． 根据矩形的性质和三角形中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，得出，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，根据三角形中位线求出，在中，利用勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，根据直角三角形斜边的中线的性质可求，从而求出周长． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵点O是的中点，E为的中点， ∴， ， 在中，，， 根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得， 10． ∵四边形是矩形， ∴， ∵点O是的中点， ∴． ∴周长为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由矩形的性质可得，，再利用即可证明； （2）证明四边形为菱形，设与交于点，则 ，求出，最后由菱形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， 设与交于点， ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型四：直角三角形斜边上的中线的性质 10．如图，在中，，于点D，，点E是斜边的中点，且，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据，可以求出，，进而求出的度数，根据直角三角形斜边中线的性质可以得到，再根据三角形外角定理可以得出，再根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵ ∴，则， 又∵点是斜边的中点， ∴， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴，则， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的有关性质，熟练掌握勾股定理、斜边中线等于斜边一半等性质是解题的关键． 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，则的长为 . 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，证明出在上，根据，可得，再由即可求解． 【详解】解： 为的中位线，， ，点为的中点，， ，， ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在上， ， 故答案为：． 题型五：矩形性质的证明 12．（2024春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形中，点在边上，，过点作，垂足为．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，由“”证明，得到，从而即可得证； （2）由（1）得，，从而得到，由勾股定理可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质、三角形全等的判定与性质，是解题的关键． 13．（2024春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，矩形的对角线交于点，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，请直接写出菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质中位线定理得到，再利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于点F， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴；    【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，中位线定理，掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 1、矩形的定义：有 一个角为直角的平行四边形叫矩形（可作性质、判定运用）. 2、矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是直角. 定理2：定理2：矩形的对角线相等. 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2矩形的性质与判定 导学案 第1课时 矩形的性质 1..理解并掌握矩形的概念和性质. 2..能熟练运用矩形性质进行计算和证明. 学习重点：掌握矩形的定义和性质； 学习难点：矩形性质的证明及灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： (1)什么是平行四边形？ (2)平行四边形有哪些性质？ 新知自研：自研课本第11--13页的内容． 【学法指导】 自研课本P11-12页议一议上面的内容，思考： ●探究一：矩形的定义 1.矩形的定义： （也叫作长方形）由此可见，矩形是特殊的 ，它具有平行四边形的所有性质. 练一练 1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（   ） A．∠A=∠C B．∠A=∠B C．AB=BC D．AD=BC ●探究二：矩形的性质 ◆1.想一想 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ （2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ （3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. 猜想归纳：①矩形的 ②矩形的 ◆2.验证矩形性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=BD. 证明： ◆知识归纳： 矩形的性质定理： 定理1： 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, ∴ . 定理2： . 几何语言：∵四边形ABCD是矩形, 练一练 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是 （　 　） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB ●探究三：直角三角形斜边中线的性质 ◆1.议一议 如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？ 猜想：BE是Rt△ABC斜边的中线， 即： ◆2.验证猜想 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线. 求证: BO =AC . 证明: ◆3.知识归纳：直角三角形斜边中线定理： . 几何语言： ∵△ABC为直角三角形，BO为AC的中线, ∴ 练一练 3.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°，BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3 cm,则AC = cm; (2)若∠C = 30° ,AB = 5 cm,则AC = cm, BD = cm. 【例题导析】 自研课本P13页例1内容，回答问题： 例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长. 【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA= = ,根据邻补角的定义求出∠AOB，,然后判断出△AOB是 ，根据等边三角形的性质可得 ,然后求解即可解答. 【解答】 例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F. 求证：DF=DC. 【分析】根据矩形的性质和DF⊥AE于F,可以得到∠DEC= ,∠DFE=∠C= ”,进而依据 可以证明△DFE≌△DCE，然后利用全等三角形的性质即可解答. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.操作猜想并证明矩形性质； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是(　 ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线互相垂直 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　 ) A.20　　 B.10　　 C.5　 D. 2.5 （2题） 3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是 ( ) A.20 ° B.40° C.80 ° D.10° 4.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. （4题） (5题) 5.如图：已知：在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，∠ ACB＝30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝. 6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则EF= cm． （6题） (7题) 7.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为 . 8.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E. （1）求证：BD=BE, （2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积. 【解答】 9.如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上.请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明. 【解答】 题型一：矩形的性质求角度 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在矩形中，连接，延长至点E使，连接．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024春·黑龙江鸡西·九年级统考期中）如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为______.    题型二：矩形的性质求线段长 4．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，是对角线的中点，连接，若，则边的长为（   ） A．2 B．5 C．6 D．8 5．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 题型三：矩形的性质求周长和面积 6．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，且，则的面积为 ． 7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知，矩形中，，，则矩形的面积为 ． 8．（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图所示，O是矩形的对角线的中点，E为的中点，若，，则的周长为 ． 9．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，，，求四边形的面积． 题型四：直角三角形斜边上的中线的性质 10．如图，在中，，于点D，，点E是斜边的中点，且，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D． 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，是三角形的中位线，平分，且，若，则的长为 . 题型五：矩形性质的证明 12．（2024春·湖北孝感·九年级统考期末）如图，在矩形中，点在边上，，过点作，垂足为．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积． 13．（2024春·湖北武汉·九年级统考期中）如图，矩形的对角线交于点，且，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，请直接写出菱形的面积． 1、矩形的定义：有 一个角为 的平行四边形叫矩形（可作性质、判定运用）. 2、矩形的性质定理： 定理1：矩形的四个角都是 . 定理2：定理2：矩形的对角线 . 3、直角三角形斜边上的中线等于 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$