14.1全等三角形及其性质（题型专练）数学人教版2024八年级上册

14.1 全等三角形及其性质 题型一 图形的全等 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【详解】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（21-22八年级上·河南焦作·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别，利用全等图形的概念 “两个图形能够完全重合，就是全等图形”是解答本题的关键． 本题观察四个选项，根据“两个图形能够完全重合，就是全等图形”的定理即可得到答案． 【详解】解：A选项两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； B选项两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D选项两个图形大小形状都不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：A 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键． 根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 图形逆时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形，与是全等图形， 故选：D． 5．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）下列各组图形中全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的识别，根据全等图形是能够完全重合的两个图形进行分析即可得出答案，熟练掌握全等图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据全等图形的定义可得：只有D选项符合题意， 故选：D． 题型二 全等三角形的概念 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 4．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 题型三 利用全等三角形的性质求角度 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，若，且，，则 ． 【答案】/35度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数是 ．    【答案】/110度 【分析】本题考查了全等三角形性质，根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等，三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．设与交于点O，根据全等三角形的性质可知，结合题意即得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 4．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知，，，相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及全等三角形性质、对顶角相等、三角形内角和定理等知识，先由全等性质得到，，等量代换得到，进而由已知求出，在和中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握全等三角形性质、三角形内角和定理等知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ， ，， ， 在和中，，，则由三角形内角和定理可知， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，若与全等，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形定理，根据全等三角形对应角相等可得，再由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：∵与全等， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 题型四 利用全等三角形的性质求线段长度 1．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．关键是掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，A、C的对应点分别是B、D．若，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：7． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，利用全等三角形的性质可得，再解即可，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：3． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据三角形全等的性质，对应边相等可得，则有，即，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：2 ． 题型五 利用全等三角形的性质求周长 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，推出，，求出，由的周长求解即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 的周长． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由，，可得，根据的周长是，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的周长是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于 ． 【答案】13 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故答案为：13． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，进而求得，根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵，，． ∴，， ∴， ∴的周长为 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 题型六 利用全等三角形的性质进行证明 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，内错角相等两直线平行等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，进而可得，于是结论得证； （2）由全等三角形的性质可得，然后由内错角相等两直线平行即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， 即：； （2）解：，理由如下： ， ， ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 【答案】相等，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形对应角相等可得，再根据等式的性质两边同时减去可得结论． 【详解】解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， 即． 4．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 【答案】且．证明见解析． 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解答此题的关键． 先根据得出，再由可知，，由可知，故，由此可得出结论． 【详解】解：且，证明如下： ， ， ， ， ， ， ，即． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 题型七 利用全等三角形的性质解决动点问题 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点在上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点在上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点在上时，如图， ， ， 运动秒； ②点在上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动秒； 运动或秒； 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或秒． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知当与全等，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为t，由题意知，， 与全等，， ∴分两种情况求解： ①当时，，即，解得； ②当时，，即, 解得， ，即6， 解得； 综上所述，x的值是1或， 故答案为：1或． 4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 1．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点作图，作全等三角形，三角形中线的性质． （1）取格点，连接，使得即可； （2）上取格点，取格点，连接，使得即可； （3）根据三角形中线的性质取中点为M，连接即可． 【详解】（1）解：如图①所示，为所求； （2）解：如图②所示，为所求； （3）解：如图③所示，射线为所求． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，或， (3)的度数为或或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上分析可知：； （2）解：中，，点为的中点，， ，， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，； （3）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①；②或 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式，一元一次不等式的应用；熟练掌握相关定理是解题的关键．注意当不能确定对应点的时候要注意分情况讨论． （1）利用路程，速度，时间的关系求出，即可解决问题； （2）当时．由题意得：， ①若点是的中点，则，根据题意只有，解答即可． ②由题意得：，当时：当时，分别建立方程，解方程即可求解； （3）由，知，故，得，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意，， ， ∴线段的长度为； （2）解：当时． 由题意得：， ①若点是的中点，则， 当时，，解得：． ②当时，， 解得：， 此时； 当时：， 解得：， 此时； 综上所述：或时，与全等； （3）解：， ， 由知：， 解得：， ， ， 即． ， ， ， 即； 由①②解得：， ∴满足条件的取值范围为． 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植谷物． 思考探究： （1）种植谷物的面积为_________平方米． 方案设计： 现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． （2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案． ①欣欣的方案：如图2，在边上选取一点，在边上选取点，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长． ②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长．（点在边上，点在边上） （3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取的中点，连接，选取的中点，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）①米；②当时，米；（3）正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）利用三角形的面积公式计算即可； （2）①当时，米，进而可求出的长； ②当时，米，进而可求出的长； （3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确． 【详解】解：（1）∵，米，米， ∴种植谷物的面积平方米． 故答案为：6； （2）①∵， ∴米， ∴米； ②当时， 则米， ∴米； （3）∵米，米， ∴平方米． ∵P是的中点， ∴平方米． ∵Q是的中点， ∴平方米． ∴， ∴畅畅的想法正确． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 3．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，已知中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点Q与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，请说明理由； (2)若点Q与点P的运动速度不相同，当a的值是多少时，能够使与全等？请说明理由，并求出此时t的值． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)，理由见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定， （1）当时，可证，，进而可证与全等； （2）由点Q与点P的运动速度不相同，可知，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵点D为的中点， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当a的值是时，能够使与全等，理由如下： ∵点Q与点P的运动速度不相同， ∴， 与全等， ， ∴，， ∴， ∴， 当时，能够使与全等，此时t的值为3． 4．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点A出发，以秒的速度向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， 当时，； （3）解：情况一：当，，时，， ，， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当当，，时， ，， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 全等三角形及其性质 题型一 图形的全等 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·河南焦作·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）下列各组图形中，属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）下列图形中，是全等图形的是（    ） A． B．与 C． D．与 5．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）下列各组图形中全等图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 全等三角形的概念 1．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 4．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 题型三 利用全等三角形的性质求角度 1．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，若，且，，则 ． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数是 ．    3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，交于点F，则的度数是 °． 4．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知，，，相交于点，则的度数是 ． 5．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，若与全等，则的度数为 ． 题型四 利用全等三角形的性质求线段长度 1．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，，若，则长度为 ． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，A、C的对应点分别是B、D．若，，，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图：，，，那么的长为 ． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ． 题型五 利用全等三角形的性质求周长 1．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知 ， 若， 则的周长是 ． 3．（24-25七年级下·福建宁德·期中）如图，，若，，，则的周长等于 ． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）如图，在中，点、分别在边、上，，．．若，则的周长为 ． 5．（24-25八年级下·山西晋中·期中）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长 ． 题型六 利用全等三角形的性质进行证明 1．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，，点对应点，点对应点，点、、、在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，和和是对应边，和相等吗？为什么？ 4．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图，，．判断与的关系，并证明你的结论． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 题型七 利用全等三角形的性质解决动点问题 1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等． 2．（24-25八年级上·山西临汾·期中）如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 3．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知．点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为．若运动过程中存在与全等，则点的运动速度为每秒 个单位长度． 4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 1．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中画，使（点D不与点A重合）； (2)在图②中画，使，其中点E在边上 ； (3)在图③中画出线段，交于点M，使与的面积相等． 2．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)若，且点在边上时，若与全等，求t和a的值； (3)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数． 3．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，，点以每秒1个单位长度的速度从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点向点运动，设、两点运动的时间为（秒），点为边上任意一点（点不与点、重合），连接、． (1)请直接用含，的代数式表示线段的长度； (2)当时． ①若点是的中点，当图中存在等腰三角形时，求的值； ②若与全等，求的长； (3)若在边上总存在点，使得（点、、的对应点分别为点、、），请直接写出的取值范围． 1．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践 问题情境： 如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植谷物． 思考探究： （1）种植谷物的面积为_________平方米． 方案设计： 现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同． （2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案． ①欣欣的方案：如图2，在边上选取一点，在边上选取点，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长． ②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长．（点在边上，点在边上） （3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取的中点，连接，选取的中点，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 3．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）如图，已知中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以每秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）． (1)若点Q与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，请说明理由； (2)若点Q与点P的运动速度不相同，当a的值是多少时，能够使与全等？请说明理由，并求出此时t的值． 4．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，当点与点重合时，停止运动．设点的运动时间为秒． (1)________．（用含的代数式表示） (2)如图1，当为何值时，． (3)如图2，当点从点开始运动，同时点从点向点以的速度运动（点运动到点处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点和点运动过程中，与可能全等吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$