第十四章 全等三角形 单元测试2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

人教版（2024）八年级上册 第十四章 全等三角形 单元测试 一、选择题 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，若利用“HL”，证明Rt△ABC≌Rt△ADC．请你添加一个条件（　　） A.AB＝AD B.AD＝BC C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3 2.在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A. B. C. D. 3.全等图形是指两个图形（　　） A.面积相等 B.形状一样 C.能完全重合 D.周长相同 4.某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A. B. C. D. 5.如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（   ） A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断 7.如图，已知，若，，则的长为（   ） A.3.2 B.3.6 C.4 D.4.2 8.如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD=CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B=∠E；⑤S四边形ABGD=S四边形GEFC．其中正确的结论个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D. 5 9.如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x等于（ ） A. B.3 C.4 D.5 10.如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中能证明的有(    ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 12.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A. B. C. D. 二、填空题 13.如图，，，则的依据是          ． 14.如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 　． 15.如图，．若，则的度数是          ． 16.如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是     （填写一个条件即可）． 17.如图，中，，，，点从A点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为     ． 三、解答题 18.如图，在中，． (1)求证：； (2)求证：． 19.如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接． 求证：. 20.如图，点A是边上一点，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点B．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直接写出的大小． 21.[问题情境]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12， AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，是依据判定三角形全等的基本事实是 　     　． （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　        　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，∠CAD＝∠AFE，求线段BF的长．（提示：在同一个三角形中，相等的角所对的边相等） 22.已知和是两个等腰直角三角形，.连接，是的中点，连接、． (1)如图，当与在同一直线上时，求证：； (2)如图，当时，求证：． 人教版（2024）八年级上册 第十四章 全等三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，若利用“HL”，证明Rt△ABC≌Rt△ADC．请你添加一个条件（　　） A.AB＝AD B.AD＝BC C.∠1＝∠4 D.∠2＝∠3 【答案】A 【解析】解：∵“HL”表示的意思是两个直角三角形中，斜边和一组直角边对应相等，则两个直角三角形全等， 而Rt△ABC和Rt△ADC中，AC＝AC ∴添加AB＝AD或CB＝CD即可用用“HL”， 证明Rt△ABC≌Rt△ADC， 故选：A． 2.在和中，下列给出的条件，能用“”判定这两个三角形全等的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图， A、不能判定和全等，故本选项不符合题意； B、不符合“SAS”全等三角形的判定方法，故本选项不符合题意； C、不符合“SAS”全等三角形的判定方法，故本选项不符合题意； D、可以利用判定和全等，故本选项符合题意． 3.全等图形是指两个图形（　　） A.面积相等 B.形状一样 C.能完全重合 D.周长相同 【答案】C 【解析】解：全等图形是指两个图形能完全重合， 故选：C． 4.某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是角平分线的交点． 5.如图，在四边形中，，连接，取，连接，下列条件中不一定能判定的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∵， A项，若添加，利用边角边判定，故本选项不符合题意； B项，若添加，满足边边角，不能判定，故本选项符合题意； C项，若添加， ∵，， ∴，利用角角边判定，故本选项不符合题意； D项，若添加，利用角角边判定，故本选项不符合题意． 6.如图，在纸板上先任意画一个，再画一个，使，，，将剪下来，放到上，它们完全重合吗？（   ） A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断 【答案】A 【解析】解：在和中， ∴（SSS）， ∴将剪下来放到上，它们完全重合． 7.如图，已知，若，，则的长为（   ） A.3.2 B.3.6 C.4 D.4.2 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8.如图，将△ABC沿AC方向平移一定距离得到△DEF，点D落在线段AC上，BC与DE交于点G．则下列结论：①AD=CF；②AB∥DE；③BC∥EF；④∠B=∠E；⑤S四边形ABGD=S四边形GEFC．其中正确的结论个数是（　　） A.2 B.3 C.4 D. 5 【答案】D 【解析】解：由平移变换的性质可知：AC=DF，AB∥DE，BC∥EF，△ABC≌△DEF， ∴AD=CF，S△ABC=S△DEF， ∴S四边形ABGD=S四边形GEFC． 故选：D． 9.如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x等于（ ） A. B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】解：∵△ABC与△DEF全等，当3x-2=5，2x-1=7，x=，把x=代入2x-1中，2x-1≠7， ∴3x-2与5不是对应边，当3x-2=7时，x=3，把x=3代入2x-1中，2x-1=5，故选B． 10.如图，，．添加下列条件中的一个：①；②；③；④．其中能证明的有(    ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， 当添加时，则，即， 又∵， ∴，故①正确； 当添加时，利用不能证明两个三角形全等，故②错误； 当添加时， 又∵， ∴，故③正确； 当添加时，则， 又∵， ∴，故④正确， 综上，正确的有①③④． 11.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ） A.60° B.90° C.120° D.150° 【答案】B 【解析】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵BC=EF，AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠2=∠3，∠1=∠4， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠ABC+∠DFE=90°． 故选：B． 12.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若为等腰直角三角形，且，，则点C的横坐标x的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：如图，过点C作轴于点D， 点， ， 是等腰直角三角形，且， ， 中，， 又∵， ， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 当时，则， ∴． 二、填空题 13.如图，，，则的依据是          ． 【答案】ASA 【解析】解：∵， ∴， 在与中， ∵ ∴. 14.如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件：　 　． 【答案】BC＝FE． 【解析】解：证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）． 故答案为：BC＝FE． 15.如图，．若，则的度数是          ． 【答案】． 【解析】解：， ， ． 16.如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是     （填写一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解： 当添加的条件为时， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴. 17.如图，中，，，，点从A点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点和分别以和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于．设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为     ． 【答案】或5.5或8 【解析】解：∵于E，于F， ∴， ∴， ， ， ， ①当时，点在上，点在上，如图， 此时有． 当，即， 解得，不合题意舍去； ②当时，点在上，点也在上，如图， 若，则点与点重合，即， 解得； ③当时，点在上，点在上，如图， 当，即， 解得； ④当时，点停在点处，点在上，如图， 当即， 解得； 综上所述：当等于或5.5或8时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等． 三、解答题 18.如图，在中，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】证明：(1)∵， ∴， ∴， ∵， ∴ (2)∵， ∴， ∴． 【解析】 19.如图，点E，F是线段上的两点，，，，连接． 求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【解析】 20.如图，点A是边上一点，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点B．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，直接写出的大小． 【答案】解：（1）如图，即为所作． （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【解析】 21.[问题情境]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12， AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，是依据判定三角形全等的基本事实是 　     　． （2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　        　． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，∠CAD＝∠AFE，求线段BF的长．（提示：在同一个三角形中，相等的角所对的边相等） 【答案】解：（1）在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS （2）∵△ADC≌△EDB， ∴EB＝AC＝8， 在△ABE中， AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴AB﹣BE＜2AD＜AB+BE ∴2＜AD＜10， 故答案为：2＜AD＜10； （3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2， ∵AE＝EF，EF＝3，EC＝2AE， ∴AC＝9， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC＝9，∠CAD＝∠M， ∵∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即BF＝9； 【解析】 22.已知和是两个等腰直角三角形，.连接，是的中点，连接、． (1)如图，当与在同一直线上时，求证：； (2)如图，当时，求证：． 【答案】证明：（1）如图所示，延长BM交EF于点D，延长AB交CF于点H 易知：△ABC和△BCH均为等腰直角三角形 ∴AB＝BC＝BH ∴点B为线段AH的中点 又∵点M是线段AF的中点 ∴BM是△AHF的中位线 ∴BM∥HF 即BD∥CF ∴∠EDM＝∠EFC＝45° ∠EBM＝∠ECF＝45° ∴△EBD是等腰直角三角形 ∵∠ABC＝∠CEF＝90° ∴AB∥EF ∴∠BAM＝∠DFM 又M是AF的中点 ∴AM＝FM 在△ABM和△FDM中 ∴△ABM≌△FDM(ASA) ∴BM＝DM，M是BD的中点 ∴EM是△EBD斜边上的高 ∴EM⊥BM （2）如图所示，延长AB交CE于点D，连接DF，易知△ABC和△BCD均为等腰直角三角形 ∴AB＝BC＝BD，AC＝CD ∴点B是AD的中点， 又∵点M是AF的中点 ∴BM＝DF 延长FE交CB于点G，连接AG，易知△CEF和△CEG均为等腰直角三角形 ∴CE＝EF＝EG，CF＝CG ∴点E是FG的中点， 又∵点M是AF的中点 ∴ME＝AG 在△ACG与△DCF中， ∴△ACG≌△DCF（SAS） ∴DF＝AG ∴BM＝ME 学科网（北京）股份有限公司 $$