24.5(2) 数学活动：探究四点共圆的条件 （课件）-2025—2026学年人教版九年级数学上册

第24章 圆 24.5(2) 数学活动：探究四点共圆的条件 （第1课时） 教学目标 1.经历探索四点共圆的条件的过程，形成基本活动经验，体会与圆有关的数学知识之间的联系；(重点) 2.了解四点共圆的基本判定方法，即定义法(一中同长)，从而得到两个基本模型，即对角互补(对角均为直角)与圆周角相等(两个圆周角均为直角)；(重点) 3.进一步探究并证明一般的对角互补及圆周角相等也可判定四点共圆；(重点、难点) 4.进一步探究相交弦定理的逆定理也可判定四点共圆；(难点) 5.运用四点共圆的知识，解决与圆有关的问题.(难点) 导学环 · · · · · A 经过平面内一个点A · 可以作无数个圆. · · · · A B 导学环 经过平面内两个点A，B 可以作无数个圆. 圆心在线段AB的垂直平分线上 导学环 经过平面内三个点A，B，C A B C ①A、B、C三点共线 ②A、B、C不共线(构成三角形) 无法作圆 ●o A B C ● ● ● 唯一确定一个圆(△ABC的外接圆) 复习回顾：如何作同时经过点A、B、C的圆？依据是什么？ 平面内，到定点的距离等于定长的点，在同一个圆上. 探究环 问题1：经过平面内的四个点，是否能作圆？ B ● A ● 思考1：借鉴三点的情况，四个点应该分为哪些情况考虑？ C ● D ● ①四点中有至少三个点共线 无法作圆 ②四点中任意三点均不共线 过任意一个四边形的四个顶点，能作圆吗？ 探究环 典例1：过下列四边形的四个顶点能作圆吗？ 思考2：如何确定四边形ABCD是否有外接圆？ 正方形 矩形 平行四边形 直角梯形 等腰梯形 探究环 问题2：正方形、矩形、等腰梯形有外接圆，它们有何共同特征？试提出你的猜想，什么样的四边形存在外接圆. 正方形 矩形 等腰梯形 猜想1：一组对边平行的四边形存在外接圆. 猜想2：有两个直角的四边形存在外接圆. 猜想3：对角互补的四边形存在外接圆. 探究环 猜想1：一组对边平行的四边形存在外接圆. 正方形 矩形 等腰梯形 思考3：该猜想成立吗？你能否举出反例？ 平行四边形 探究环 猜想2：有两个直角的四边形存在外接圆. 正方形 矩形 思考4：该猜想成立吗？你能否举出反例？ 直角梯形 思考5：在什么情况下，该猜想成立？ A B C D ● O A B C D ● O OA=OB=OC=OD 共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 探究环 猜想3：对角互补的四边形存在外接圆. 正方形 矩形 等腰梯形 思考6：这一猜想，与圆的哪条性质有联系？ 圆周角定理的推理：圆内接四边形对角互补. 互为逆命题. 思考7：该猜想是否正确？如何证明该猜想？ 问题3：试证明：对角互补的四边形存在外接圆. 探究环 A B C D 已知： 求证： 体悟环 小结归纳：判断四点共圆的方法： ①对角互补的四边形四个顶点共圆 ②共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 定义法 内化环 典例2：试证明：三角形的三条高线交于一点. 已知： 求证： BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于点H，连接AH交BC于F. AF⊥BC. ● O 思考8：在⊙O中，∠BEC=∠BDC=90°，均为的圆周角.一般地，圆周角定理的逆命题是否也成立？ 内化环 典例3：如图，∠ABC=∠ADC.求证：A，B，C，D四点共圆. 应用环 练习1：(相交弦定理的逆定理)如图，线段AB，CD相交于点P，且满足PA·PB=PC·PD.试证明：A，B，C，D四点共圆. A B C D P 应用环 练习2：如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°,∠CAD=26°, 则∠ABD的度数为________. 练习3：在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上一动点，将△EAF沿EF所在的直线折叠得△EA'F，连接 DA'，求DA'长度的最小值． 应用环 $$