精品解析：安徽省安庆市太湖县实验中学教育集团2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学(沪科版)试卷

七年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A. B. C. D. 9. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（　　） A. B. C. D. 10. 若且均不为0，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 12 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：___________ 12. 如图，要把供暖输水管道中的水引到居民小区M，点C，E，D都在上，且，则沿线段铺设管道可使费用最低，原理是______． 13. 如图，直线，相交于点，，平分．若，则_________． 14. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的后，按照程序图运行，会输出一个结果． （1）当时，的值为________； （2）当，输出的结果为2时，的值为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 先化简，再求值： ，其中，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解方程： 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 根据完全平方公式和完全平方公式的变式解决下列问题： （1）若，求的值； （2）如图，在正方形中，点在边上，，以为一边在上方分别作正方形和正方形，连接．若，求阴影部分的面积． 20. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式____________________； （2）写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 六、(本题满分12分) 21. 直线，相交于点，，平分． （1）如图①，若，求和； （2）如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 七、（本题满分12分） 22. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同． 素材二 已知小明旅行团中共有成人和儿童共11人，按原票价购票总花费共需1420元． 素材三 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票：其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元． 问题解决 任务1 确定票价 请计算成人票和儿童票的售价． 任务2 确定人数 请确定该旅行团中的成人和儿童人数． 任务3 拟定购票方案 根据素材三，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价．（直接写出答案即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：B． 2. 下面四个图形中，与互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角的定义，是简单的基础题，熟记对顶角的定义是解决本题的关键．根据对顶角的定义即可求解．两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角． 【详解】根据对顶角的定义可知：只有C中的是对顶角，其它都不是． 故选：C． 3. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零列出式子求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， ． 故选：A． 4. 分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．根据分式的基本性质作答即可． 【详解】解：， 故选：D． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，分式的除法，同底数幂的除法．熟练掌握积的乘方，分式的除法，同底数幂的除法是解题的关键． 先计算积的乘方，然后进行除法运算即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：C． 6. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，两边都乘以即可求解． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ． 故选D． 7. 已知，，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的运算逐一排除即可． 【详解】解：，， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 8. 我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 9. 在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】解：选项中只有选项B中，大正方形的边长为，小正方形的边长为，四个矩形的面积均为， ∴利用面积相等可以表示为：，符合题意； 其他三个选项均不符合题意； 故选：B． 10. 若且均不为0，则的值为（　　） A. B. C. 0 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值以及代数式的意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先对分式进行化简，然后代数式变形代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了提公因式和公式法分解因式，先提公因式，然后再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 12. 如图，要把供暖输水管道中的水引到居民小区M，点C，E，D都在上，且，则沿线段铺设管道可使费用最低，原理是______． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据垂线段的性质得出答案．此题主要考查了垂线段最短，正确掌握垂线段的性质是解题关键． 【详解】解：∵ 则沿线段铺设管道可使费用最低． ∴沿线段铺设管道可使费用最低，原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 13. 如图，直线，相交于点，，平分．若，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，角的和差关系等，解题的关键是综合运用上述知识．根据垂直的定义可得，进而求出，根据对顶角相等可得，最后根据角平分线的定义以及平角的定义，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ． ∴ 故答案为：． 14. 如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的后，按照程序图运行，会输出一个结果． （1）当时，的值为________； （2）当，输出的结果为2时，的值为________． 【答案】 ①. ②. 或10 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值以及解分式方程， （1）根据，得出，代入计算，即可求解． （2）分类讨论；分两种情况，解分式方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∴ 故答案为：． （2）当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上，x的值为或10． 故答案为：或10． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式，去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据完全平方公式和平方差公式以及合并同类项法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 先去分母，将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解． 18. 解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的所有正整数解是1，2，3 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先解不等式，再求出不等式组的解集，最后判定正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集是， ∴该不等式组的所有正整数解是1，2，3． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 根据完全平方公式和完全平方公式的变式解决下列问题： （1）若，求的值； （2）如图，在正方形中，点在边上，，以为一边在上方分别作正方形和正方形，连接．若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为 （2）阴影部分的面积为16 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形以及几何意义，熟练掌握完全平方公式的相关知识是解题的关键． （1）应用完全平方公式变形求解即可； （2）由得，阴影的面积等于正方形的面积减去正方形和正方形的面积和，即阴影部分的面积为． 【小问1详解】 解： ，， ， ∴的值为； 【小问2详解】 解：，设，．， ， ， ， ∴阴影部分的面积为16． 20. 观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式____________________； （2）写出你猜想的第个等式：_______________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1） （2） 猜想的第个等式：， 证明： ． 【解析】 【分析】（1）分别找到各部分分子和分母的规律，写出第5个等式即可； （2）根据题意猜想，再利用分式的加减运算法则验算即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 第5个等式：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了数字型规律，分式的加减运算，解题的关键是找到所给等式的规律，并用分式的运算法则验证． 六、(本题满分12分) 21. 直线，相交于点，，平分． （1）如图①，若，求和； （2）如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补的角． 【答案】（1）， （2）①；②，， 【解析】 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 七、（本题满分12分） 22. 著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）将下列假分式化为带分式： ①； ②； 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）①；②；（3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简运算，分式的性质；正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵的次数为0，x的次数为1， ∴是真分式． 故答案为：真； （2）①； ② （3） ， ∵与x均为整数， ∴或， ∴或或或． 八、（本题满分14分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计购票方案？ 素材一 某动物园成人票售价比儿童票售价高90元，且花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同． 素材二 已知小明旅行团中共有成人和儿童共11人，按原票价购票总花费共需1420元． 素材三 为推广动物园旅游产业发展，动物园管理方决定增加售卖家庭票：其中包含2张成人票和2张儿童票，售价为450元． 问题解决 任务1 确定票价 请计算成人票和儿童票的售价． 任务2 确定人数 请确定该旅行团中的成人和儿童人数． 任务3 拟定购票方案 根据素材三，请你为小明旅行团设计一种新的购票方案，使得购票总价最低，并计算总票价．（直接写出答案即可） 【答案】任务1：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元；任务2：旅行团中的成人的人数为6人，儿童的人数为5人；任务3：购买2张家庭票，再单独购买成人票张，购买儿童票张，购票总价最低，总票价为1320元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，建立方程是解题关键． 任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元，根据花费850元购买的成人票数与花费400元购买的儿童票数相同建立分式方程，解方程即可得； 任务2：设旅行团中的成人的人数为a人，则儿童的人数为人，根据按原票价购票总花费共需1420元建立一元一次方程，求解即可得； 任务3：设购买张家庭票，则购买成人票张，购买儿童票张，根据为正整数，建立不等式，求出的值，再计算比较即可． 【详解】解：任务1：设成人票的售价为x元，则儿童票的售价为元， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解， 则（元） 答：成人票的售价为170元，儿童票的售价为80元； 任务2：设旅行团中的成人的人数为a人，则儿童的人数为人， 根据题意得： 解得：， 则（人） 答：旅行团中的成人的人数为6人，则儿童的人数为5人； 任务3：设购买张家庭票，则购买成人票张，购买儿童票张， 根据题意得：，且为正整数， 解得：， 的值为：1或2或3， 当时，再单独购买成人票（张），购买儿童票（张）， 则（元） 当时，再单独购买成人票（张），购买儿童票（张）， 则（元） 当时，不需要再单独购买成人票和儿童票， 则（元） ， 购买2张家庭票，再单独购买成人票张，购买儿童票张，购票总价最低，总票价为1320元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $