第1章 §2 2.2 第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定&教考衔接2 高考中的常用逻辑问题（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

第2课时　全称量词命题与存在量词命题的否定 [对应学生用书P26] 学习目标 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定(重点). 2．能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定(重点). 一、全称量词命题的否定 1．全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．对于全称量词命题p：∀x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∃x∈M，x不具有性质p(x)． “全称量词命题”的否定是量词变为存在，同时否定结论，因此变成了存在量词命题． 二、存在量词命题的否定 1．存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．对于存在量词命题p：∃x∈M，x具有性质p(x)，通常把它的否定表示为∀x∈M，x不具有性质p(x)． “存在量词”的否定为全称量词，因此存在量词命题的否定都变成了全称量词命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题． (　√　) (2)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题． (　×　) (3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0的否定是∀x∉R，x2－3x＋3≤0. (　×　) 2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是 (　　) A．所有不能被2整除的数都是偶数 B．所有能被2整除的数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的数是偶数 D．存在一个能被2整除的数不是偶数 D　解析：全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定． 3．命题“∃x∈R，使得f(x)＝x”的否定是 (　　) A．∀x∈R，都有f(x)＝x B．不存在x∈R，使得f(x)≠x C．∀x∈R，都有f(x)≠x D．∃x∈R，使得f(x)≠x C　解析：命题的否定为“∀x∈R，都有f(x)≠x”． 4．已知命题p：∀x＞2，x3－8＞0，那么命题p的否定是______________________． 答案：∃x＞2，x3－8≤0　解析：命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，即命题p的否定是“∃x＞2，x3－8≤0”． 探究一　全称量词命题的否定 [例1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： (1)∀x∈R，1－(x－)2≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身． 解：(1)该命题的否定为“∃x∈R，1－(x－)2＞1”．因为∀x∈R，(x－)2≥0， 所以－(x－)2≤0，1－(x－)2≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定为“至少存在一个x∈Z，x2的个位数字等于3”．因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题． (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，它的否定为“有的正数的绝对值不是它本身”．这是一个假命题． 拓展·提升 1．常见词语的否定 原词 ＝ > < 是 都是 任意的 所有的 否定 ≠ ≤ ≥ 不是 不都是 某个 某些 2.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 3．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． [练1] (1)命题“∀x>1，有x2－m>1”的否定是 (　　) A．∃x>1，使x2－m≤1 B．∃x≤1，使x2－m≤1 C．∀x>1，有x2－m≤1 D．∀x≤1，有x2－m≤1 (2)命题“∀x>0，有ln x≥1－”的否定是 (　　) A．∃x>0，使ln x<1－ B．∃x>0，使ln x≥1－ C．∃x≤0，使ln x<1－ D．∃x≤0，使ln x≥1－ (1)A　(2)A　解析：(1)命题“∀x>1，x2－m>1”为全称量词命题，其否定为“∃x>1，x2－m≤1”．故选A. (2)命题“∀x>0，有ln x≥1－”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x>0，使ln x<1－”．故选A. 探究二　存在量词命题的否定 [例2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假． (1)某些平行四边形是菱形； (2)∃x∈R，使x2＋1＜0； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解：(1)该命题的否定为“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题． (2)该命题的否定为“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题． (3)该命题的否定为“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．假命题． 拓展·提升 1．常见词语的否定 原词 至少有一个 至多有一个 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 至少有n＋1个 2.对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 3．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． [练2] (1)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是 (　　) A．∀x∈R，有|x|>0 B．∃x∈R，使|x|>0 C．∀x∈R，有|x|≤0 D．∃x∈R，使|x|≤0 (2)(2025·南昌高一期末检测)设m∈R，命题“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是 (　　) A．∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根 B．∀m>0，方程x2＋x－m＝0有实数根 C．∀m<0，方程x2＋x－m＝0无实数根 D．∀m<0，方程x2＋x－m＝0有实数根 (1)C　(2)A　解析：(1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，故选C. (2)由存在量词命题的否定是全称量词命题，知“存在m>0，使方程x2＋x－m＝0有实数根”的否定是“∀m>0，方程x2＋x－m＝0无实数根”．故选A. 探究三　根据命题的真假求参数的取值范围 [例3] 已知命题p：∀x∈R，有ax2＋2x＋1≠0为假命题，求实数a的取值范围． 解：由题意可知，p的否定“∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0”为真命题， 等价于方程ax2＋2x＋1＝0在R上有解， 即a＝0，或故a≤1. 故实数a的取值范围是{a|a≤1}． 拓展·提升 1．含有一个量词的全称(存在)量词命题的否定，与含有一个量词的全称(存在)量词命题的真假性不同． 2．由含量词命题的真假求参数范围的思路 求参数的范围时，从真命题的角度考虑比较好列关系式，所以如果已知条件是一个存在量词命题且是假命题，可以写出该命题的否定，利用假命题的否定是真命题求得参数的范围． [练3] 已知命题“∃x≥3，使得2x－1<m”是假命题，求实数m的取值范围． 解：因为命题“∃x≥3，使得2x－1＜m”是假命题，所以其否定“∀x≥3，2x－1≥m”为真命题，所以m≤(2x－1)min，因为x≥3，所以2x－1≥5，所以m≤5.故实数m的取值范围是{m|m≤5}． 特别提醒：命题的否定与否命题是不同的． 1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是 (　　) A．∀x∈R，有|x|＋x2＜0 B．∀x∈R，有|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，使|x|＋x2＜0 D．∃x∈R，使|x|＋x2≥0 C　解析：对于全称量词命题的否定，要将命题中“∀”变为“∃”，则命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2＜0”．故选C. 2．(2025·成都高一期末检测)命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是 (　　) A．∃x∈R，使x2－2x＋2≥0 B．∃x∈R，使x2－2x＋2>0 C．∀x∈R，有x2－2x＋2≤0 D．∀x∈R，有x2－2x＋2>0 D　解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x2－2x＋2>0”．故选D. 3．下列命题正确的个数是 (　　) ①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”． A．0 B．1 C．2 D．3 C　解析：①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误； ②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确； ③命题“∃x∈R，x2＋4x＋4≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋4x＋4>0”，故③正确．故选C. 4．已知命题p：∃x>0，使x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________． 答案：{a|a≥1}　解析：∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是{a|a≥1}． [对应学生用书P29] 简易逻辑问题是高考常考内容，考题多与教材例题或习题有联系，主要考查含量词命题的否定与真假判断，充分必要条件等，常与不等式、数学定义、公式、定理等相结合考查． 母题展示与分析 展示：(教材P20“实例分析”) “∀x∈R，有x＋1>0”是一个全称量词命题，如何否定它呢？ 解：要否定这个全称量词命题，只需要找到一个实数x，使x＋1>0不成立，即找到一个实数x，使x＋1≤0，也就是“∃x∈R，使x＋1≤0”，它是一个存在量词命题． 分析：教材以一次不等式为背景，给出全称量词命题，运用推理的方法找出它的否定，考查推理论证．若条件不变，如何判断全称量词命题与其否定的真假或改变条件从而解决新的问题等等，是教材问题与高考试题链接的主要方式． 母题变式与创新 变式：将条件升级为二次不等式 1．(2025·西安高一检测)命题“∀x∈R，有x2－1>0”的否定是__________．(填“真命题”或“假命题”) 答案：真命题　解析：因为命题“∀x∈R，有x2－1>0”的否定是“∃x∈R，使x2－1≤0”，当x＝0时，x2－1＜0，故是真命题． 创新：若将条件适当改变加上绝对值，问题也略做改变，构成一个新的问题 2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则 (　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 B　解析：通解　因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1，或x＝0，或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 优解(特殊值法)　在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题．故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$