课时梯级训练(15) 一元二次不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(15)　一元二次不等式的应用 1．不等式≥2的解集是 (　　) A．(－∞，1) B．[2，＋∞) C．[1，2] D．(1，2] D　解析：不等式≥2可化为－2≥0，即≥0，等价于解得1<x≤2，所以不等式的解集为(1，2].故选D. 2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是 (　　) A．[－4，4] B．(－4，4) C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) A　解析：欲使不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则Δ＝a2－16≤0，∴－4≤a≤4，即实数a的取值范围是[－4，4].故选A. 3．某林区每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是 (　　) A．{t|1≤t≤3} B．{t|3≤t≤5} C．{t|2≤t≤4} D．{t|4≤t≤6} B　解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 则y＝2 400(20－t)×t%＝60(8t－t2). 令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.故选B. 4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是 (　　) A．(0，4) B．[0，4) C．(0，4] D．[0，4] D　解析：当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意． 当a<0时，ax2－ax＋1<0的解集不可能为空集． 当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0的解集为空集， 需解得0<a≤4. 综上，a∈[0，4].故选D. 5．(多选)在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2，则下列判断错误的是 (　　) A．甲车超速 B．乙车超速 C．两车均不超速 D．两车均超速 ACD　解析：设甲的速度为x1，由题得0.1x1＋0.01x>12，解得x1<－40或x1>30； 设乙的速度为x2，由题得0.05x2＋0.005x>10. 解得x2<－50或x2>40. 由于x>0，从而得x1>30，x2>40. 经比较知乙车超过限速．故选ACD. 6．(多选)下列结论错误的是 (　　) A．若函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应的方程没有根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R B．不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0 C．若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则a≤－ D．不等式>1的解为x<1 AD　解析：A，函数不存在零点，若a>0，则解集为R，若a<0，则解集为空集，错误；B，由不等式对应的二次函数图象开口向下，说明a<0且至多与x轴有一个交点，故Δ＝b2－4ac≤0，正确；C，当a＝0时，x≤1，显然不符合题意，当a≠0时，由二次函数的性质知解得a≤－，正确；D，－1＝>0，解得0<x<1，错误．故选AD. 7．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为________m. 答案：1　解析：设花卉带的宽度为x m，则即 所以故1≤x<3. 所以花卉带的宽度至少应为1 m． 8．若对x∈[－3，－1]上恒有x2－ax－3＜0成立，则a的取值范围是______________． 答案：(－∞，－2)　解析：要使x2－ax－3＜0在区间[－3，－1]上恒成立， 则必使函数y＝x2－ax－3在区间[－3，－1]上的图象在x轴的下方，由于函数的图象开口向上，此时a应满足： 即解得a＜－2. 故当a∈(－∞，－2)时，有x2－ax－3＜0在x∈[－3，－1]时恒成立． 9．解下列不等式： (1)≥0；(2)＞1. 解：(1)原不等式可化为 解得∴x＜－或x≥， ∴原不等式的解集为{x|x＜－或x≥}． (2)原不等式可化为＞0， 化简得＞0，即＜0， ∴(2x＋1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜－. ∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜－}． 10．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则图中矩形花园的其中一边的边长x(单位：m)的取值范围是 (　　) A．{x|15≤x≤20} B．{x|12≤x≤25} C．{x|10≤x≤30} D．{x|20≤x≤30} C　解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，易知＝，即＝， 则AF＝x，FH＝40－x.所以矩形花园的面积S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.故选C. 11．命题“∀x∈R，mx2－2mx＋1＞0”是真命题，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|0≤m<1}　解析：因为命题“∀x∈R，mx2－2mx＋1>0”是真命题，所以分两种情况讨论： ①当m＝0时，不等式化简为1>0，对∀x∈R，不等式恒成立，符合题意； ②当m≠0时，即 解得0<m<1. 综上，m的取值范围为{m|0≤m＜1}． 12．已知不等式x2－2x＋5－2a≥0. (1)若不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若存在实数a∈[4，]使得该不等式成立，求实数x的取值范围． 解：(1)∵x2－2x＋5－2a≥0在R上恒成立， ∴Δ≤0，即4－4(5－2a)≤0，可得a≤2. 故实数a的取值范围为(－∞，2]. (2)若存在实数a∈[4，]使得该不等式成立，即x2－2x＋5≥8，解得x≥3或x≤－1， ∴x∈(－∞，－1]∪[3，＋∞). 13．若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的取值范围是 (　　) A．{t|t≤2} B．{t|t≥2} C．{t|t≤4} D．{t|t≥4} C　解析：因为x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，所以t≤＝x＋在x≥1时恒成立，所以t≤(x＋)min.因为x＋≥4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，所以t的取值范围为{t|t≤4}．故选C. 14．某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最少，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解：(1)设汽车行驶的速度为x km/h(x＞0). 由题意得×60＋1 000＋2x≤1 260， 化简得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90. 故为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围应为不低于40 km/h，且不高于90 km/h. (2)×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝，即x＝60时等号成立．故要使运输的总费用最少，汽车应以每小时60千米的速度行驶． 学科网（北京）股份有限公司 $$