课时梯级训练(12) 基本不等式的应用（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(12)　基本不等式的应用 1．设x＞0，y＞0，且xy＝9，则x＋y的最小值为 (　　) A．18 B．9 C．6 D．3 C　解析：∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2＝6(当且仅当x＝y＝3时等号成立)，故选C. 2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有 (　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 C　解析：∵x<0，∴f(x)＝－[(－x)＋(－)]－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．故选C. 3．3x2＋的最小值是 (　　) A．3－3 B．3 C．6 D．6－3 D　解析：3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当3(x2＋1)＝，即x2＝－1时等号成立．故选D. 4．将20 cm长的铁丝分成两段，各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值为 (　　) A．200 cm2 B．50 cm2 C．25 cm2 D． cm2 D　解析：设两个正方形的边长分别为a cm，b cm，则4a＋4b＝20，即a＋b＝5，面积和为S＝a2＋b2， ∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2). ∴a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时，Smin＝.故选D. 5．(多选)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋ (　　) A．取得最值时a＝ B．最大值是5 C．取得最值时b＝ D．最小值是 AD　解析：因为a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时，等号成立．故选AD. 6．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则 (　　) A．＋≤ B．＋≥9 C．a2＋4b2≥ D．＋≥1 ABD　解析：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝1， 对于A，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确； 对于B，＋＝(＋)(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故B正确； 对于C，a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5b2－2b＋1＝5(b－)2＋≥， 当且仅当b＝，a＝时等号成立，故C不正确； 对于D，＋＋1＝＋＋a＋b＝＋a＋＋b≥2＋2＝2， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确． 故选ABD. 7．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案：5　8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－(x＋)，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 8．若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________． 答案：[6，＋∞)　解析：∵a＋b＋3＝ab≤()2， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时等号成立． 9．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200 m2的泳池，池的深度为1 m，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁(在宽的方向)建造单价为每米100元，池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计).求泳池的长设计为多少米时，可使总造价最低． 解：设泳池的长为x m，总造价为f(x)元， 则宽为 m，f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200＝800×(x＋)＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000， 当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立． 即泳池的长设计为15 m时，可使总造价最低． 10．已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋的最小值是 (　　) A．2 B．2 C．4 D．5 C　解析：∵a＞0，b＞0， ∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋取得最小值4.故选C. 11．设0<m<，若＋≥k恒成立，则k的最大值为________． 答案：6＋4　解析：因为0<m<， 所以＋＝＋ ＝2[m＋(－m)](＋) ＝2 ≥2＝6＋4， 当且仅当＝，即m＝时等号成立．所以k≤6＋4，即k的最大值为6＋4. 12．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数． 解：设＋＝1，a，b∈N＋， ∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)(＋)＝1＋9＋＋≥10＋2＝10＋2×3＝16， 当且仅当＝，即b＝3a时等号成立． 又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12. 这两个数分别是4，12. 13．某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由一个长方形的休闲区(A1B1C1D1)和环公园的人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示). (1)若休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x(x＞1)，求公园ABCD所占面积y(单位：m2)关于x的表达式； (2)要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝. 所以y＝(a＋8)(ax＋20) ＝a2x＋(8x＋20)a＋160 ＝4 000＋(8x＋20)·＋160 ＝80(2＋)＋4 160(x＞1). (2)y≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760， 当且仅当2＝，即x＝时等号成立，此时a＝40，ax＝100. 所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m． 14．(2025·郑州高一期末)若正实数a，b满足a＋b＝1，则 (　　) A．＋有最大值4 B．ab有最小值 C．＋有最大值 D．a2＋b2有最小值 C　解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，故＋有最小值4，故A不正确；由基本不等式可得a＋b＝1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确；由于(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，∴＋≤，故＋有最大值，故C正确；∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，故a2＋b2有最小值，故D不正确．故选C. 15．已知x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为________，最小值为________． 答案：　－　解析：因为x2＋y2≥2xy成立，当且仅当x＝y时，等号成立， 所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝2，即(x＋y)2≤2，解得－≤x＋y≤. 所以，当且仅当x＝y＝时，x＋y有最大值；当且仅当x＝y＝－时，x＋y有最小值－. 学科网（北京）股份有限公司 $$