课时梯级训练(3) 集合的基本关系（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(3)　集合的基本关系 1．已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|x－5＜0}，则P与Q的关系为 (　　) A．P⊆Q B．Q⊆P C．P＝Q D．不确定 A　解析：∵Q＝{x|x－5＜0}＝{x|x＜5}， ∴利用数轴判断P，Q的关系． 如图所示， 由数轴可知，P⊆Q.故选A. 2．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{y|y＝x2，x∈M}，则 (　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M，N的关系不确定 B　解析：由题意，得N＝{0，1}，故N⊆M.故选B. 3．已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N＋，y∈N＋}，则集合A的子集的个数为 (　　) A．3 B．4 C．7 D．8 D　解析：用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8.故选D. 4．设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则a的取值范围是 (　　) A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2} D　解析：∵A⊆B，∴a≥2.故选D. 5．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有 (　　) A．3∈A B．{－3}∈A C．∅⊆A D．{3，－3}⊆A ACD　解析：根据题意知，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，对于A，3是集合A的元素，正确；对于B，{－3}是集合，应有{－3}⊆A，错误；对于C，空集是任何集合的子集，正确；对于D，任何集合都是其本身的子集，正确．故选ACD. 6．(多选)集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝{(x，y)|，则下列结论正确的是 (　　) A．1∈A B．B⊆A C．(1，1)∈B D．∅∈A BC　解析：B＝{(x，y)|＝{(1，1)}，又点(1，1)在直线y＝x上．故选BC. 7．已知集合A＝{－1，5，6m－9}，集合B＝{5，m2}，若B⊆A，则实数m＝________． 答案：3　解析：∵B⊆A，∴m2＝6m－9， ∴m＝3. 8．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________． 答案：M＝P　解析：∵xy＞0，∴x，y同号． 又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P. 9．设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)·(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4，或x＝－1，或x＝4.故集合A＝{－4，－1，4}， 因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}． 真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}． 10．已知集合M满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，则所有满足条件的集合M的个数是 (　　) A．6 B．7 C．8 D．9 B　解析：由题意可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个， 故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 11．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝ (　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　解析：因为A⊆B，所以有： 若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意． 综上所述，a＝1. 故选B. 12．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系． 解：E＝{x|＝0}＝{0}． 下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论． 方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2. ①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F. ②当a≠1时，Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，x＝0，或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，EF. 综上所述，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，EF. 13．已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为 (　　) A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} D　解析：因为B⊆A，所以当B≠∅，即a≠0时，B＝{x|x＝－}，因此有－∈A，所以a＝±1； 当B＝∅，即a＝0时满足条件． 综上所述，实数a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．故选D. 14．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}． (1)若∅M，求实数a的取值范围； (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解， ∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1， 即实数a的取值范围为[－1，＋∞). (2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， ∴当M＝∅时，Δ＝22－4×(－a)＜0，得a＜－1. 当M≠∅时，当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意； 当Δ＞0时，a＞－1，M中有两个元素， 若M⊆N，则M＝N，从而无解． 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，－1]. 学科网（北京）股份有限公司 $$