课时梯级训练(2) 集合的表示（Word练习）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（北师大版2019）

课时梯级训练(2)　集合的表示 1．(2025·长沙高一期末检测)下列各式中关系符号运用正确的是 (　　) A．0＝∅ B．∅∈{0，1，2} C．1∈{0，1，2} D．{1}∈{0，1，2} C　解析：因为∅是集合，0是数字，所以选项A错误； 因为∅是集合不是元素，所以选项B错误； 因为1是{0，1，2}中的元素，所以选项C正确； 因为{1}是集合不是元素，所以选项D错误． 故选C. 2．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点是 (　　) A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1} C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1} C　解析：该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}．故选C. 3．(2025·南宁高一期末检测)下列集合中表示同一集合的是 (　　) A．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)} B　解析：对于A，D，两集合的元素类型不一致，则M≠N，A，D错误； 对于B，由集合元素的无序性可知，M＝N，B正确； 对于C，两集合的唯一元素不相等，则M≠N，C错误． 故选B. 4．(多选)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有 (　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(2，－1) ABC　解析：∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}， ∴或或 ∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．故选ABC. 5．(多选)下列说法正确的有 (　　) A．任意一个集合的正确表示方法是唯一的 B．集合P＝{x|0≤x≤1}是无限集 C．集合{x|x∈N，x<5}＝{0，1，2，3，4} D．集合{(1，2)}与集合{(2，1)}表示同一集合 BC　解析：对于选项A，一个集合的表示方法不唯一， 如{0，1，2}＝{x|－1<x<3，x∈Z}，错误； 对于选项B，集合P＝{x|0≤x≤1}有无穷多个元素，所以是无限集，正确； 对于选项C，集合{x|x∈N，x<5}＝{0，1，2，3，4}，正确； 对于选项D，集合{(1，2)}≠{(2，1)}，错误．故选BC. 6．已知集合A＝{x|2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围为________． 答案：(－∞，－2]　解析：因为1∉A，所以2×1＋a≤0，解得a≤－2，所以a的取值范围为(－∞，－2]. 7．用列举法表示集合M＝{x∈N|4－x∈N}＝________． 答案：{0，1，2，3，4}　解析：由题意可得x∈N且0≤x≤4， 当x＝0时，4－x＝4，符合题意； 当x＝1时，4－x＝3，符合题意； 当x＝2时，4－x＝2，符合题意； 当x＝3时，4－x＝1，符合题意； 当x＝4时，4－x＝0，符合题意． 综上所述，M＝{x∈N|4－x∈N}＝{0，1，2，3，4}． 8．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解组成的集合； (2)方程x2－2x＋1＝0的实数根组成的集合； (3)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 解：(1)解方程组得故方程组的解组成的集合可用描述法表示为{(x，y)|，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)方程x2－2x＋1＝0的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}，也可用描述法表示为{x|x2－2x＋1＝0}． (3)集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(x，y)|x＜0，且y＞0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点，可用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． (5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}． 9．(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是 (　　) A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C．M＝{y|y＝x2＋1}，P＝{x|x＝t2＋1} D．M＝{y|y＝x2－1}，P＝{(x，y)|y＝x2－1} ABD　解析：选项A中，M是由3，－1两个元素组成的集合，而集合P是由点(3，－1)组成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD. 10．已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求实数a，b的值． 解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两个根为2，3， 由根与系数的关系得因此 11．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为________． 答案：4　解析：当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3，或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4，或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5，或x1＋x2＝3＋3＝6. ∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素． 12．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}． (1)若A中只有一个元素，求集合A； (2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解：(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解的集合，则当a＝0时，A＝{}，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝{}，符合题意． 综上所述，当a＝0时，A＝{}；当a＝时，A＝{}． (2)由(1)可知，当a＝0时，A＝{}符合题意； 当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a≥0，解得a≤，且a≠0. 综上所述，a的取值范围是{a|a≤}． 学科网（北京）股份有限公司 $$