5.1　直角三角形的性质定理 第1课时 学案 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

第5章　直角三角形 5.1　直角三角形的性质定理 第1课时 【教学目标】 1.掌握直角三角形的性质,并会应用直角三角形的性质解决问题. 2.会利用“有两个角互余的三角形是直角三角形”判定三角形是直角三角形. 3.通过直角三角形性质的学习,引导学生发现并提出新问题,促进学生的思维向多层次、多方位发散,培养学生的创新精神和创造能力. 【重点难点】 重点:直角三角形性质的应用. 难点:直角三角形斜边上的中线性质的证明方法. 【教学过程】 一、创设情境 (1)什么叫直角三角形? (2)直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形的性质外,还具备哪些性质? 二、探究归纳 (一)直角三角形性质1 请学生看图形: 1.提问:∠A与∠B有何关系?为什么? 教师引导,利用三角形内角和为180°解决 因为∠A+∠B+∠C=180°,∠ACB=90°, 所以∠A+∠B=90°. 2.归纳小结:直角三角形的两个锐角互余. 练习巩固 1.(1)在直角三角形中,有一个锐角为42°,那么另一个锐角的度数为________.  (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A-∠B=40°,那么∠A=________,∠B=________.  2.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,那么, (1)与∠B互余的角有________.  (2)与∠A相等的角有________.  (3)与∠B相等的角有________.  (二)直角三角形的判定 1.提问:“在△ABC中,∠A+∠B =90°,那么△ABC是直角三角形吗?” 学生活动:利用三角形内角和定理进行推理 因为∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=90°, 所以∠C=90°, 所以△ABC是直角三角形. 2.归纳小结:有两个角互余的三角形是直角三角形. 巩固练习: 若∠A= 60°,∠B=30°,那么△ABC是________三角形.  (三)直角三角形性质2 1.实验操作:要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 (1)量一量斜边AB的长度. (2)找到斜边的中点. (3)画出斜边上的中线. (4)量一量斜边上的中线的长度. 让学生说出斜边上的中线与斜边长度之间有何关系? 2.提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题:(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程) 如图1,如果中线CD=AB,则有∠DCA=∠A,由此受到启发,在图2的Rt△ABC中,过直角顶点C作射线CD'交AB于D',使∠D'CA=∠A,则CD'=AD'. 　　　　　　　 图1　　 　　　图2 又因为∠A+∠B=90°,∠D'CA+∠D'CB=90°, 所以∠B=∠D'CB. 所以CD'=BD'. 故得CD'=AD'=BD'=AB. 所以点D'是斜边AB上的中点,即CD'是斜边AB的中线. 从而CD与CD'重合,且CD=AB. 4.归纳小结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 5.巩固练习: 在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有________,与∠A相等的角有________,若∠A=35°,那么∠ECB=________.  (四)例题讲解 例1　如图,已知CD是△ABC的AB边上的中线,且CD=AB. 求证:△ABC是直角三角形. 分析:由题意可得:CD=AD,CD=BD从而得到∠1=∠A,∠2=∠B,然后根据三角形内角和得到∠A+∠B=90°. 证明:因为CD=AB=AD=BD, 所以∠1=∠A,∠2=∠B. 因为∠A+∠B+∠ACB=180°,∠ACB=∠1+∠2, 所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°, 2(∠A+∠B)=180°, 所以∠A+∠B=90°, 所以△ABC是直角三角形. 三、交流反思 在本节课的学习中,鼓励学生观察、猜想,得到直角三角形的一些性质,特别是新的结论“直角三角形斜边上中线性质”在例题和练习中的运用,渗透了学数学、用数学的理念. 四、检测反馈 1.在直角三角形中,有一个锐角为63°,那么另一个锐角的度数为________.  2.在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,且CD=10 cm,则AB长为________.  3.已知在△ABC中,∠B=∠C,AD是∠BAC的平分线,E,F分别是AB,AC的中点, 求证:DE=DF. 4.已知:在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的高,M是BC的中点.如果连接DE,取DE的中点O,那么MO与DE有什么样的关系存在? 五、布置作业 六、板书设计 5.1直角三角形的性质定理 第1课时 问题 性质 例 …… …… …… …… …… …… 七、教学反思 通过本节课的学习,认识了直角三角形的性质和判定,其中直角三角形的斜边和斜边上中线之间的关系是本节的重点和难点,教学中应结合学生的学习情况进行点拨. 优点:在例题和练习中,通过对知识的运用,渗透了学数学、用数学的理念. 缺点:作为教师以“探究过程,探究方法,探究结果,运用结果”为主线安排教学进程,应该高度重视学生的主动参与,亲自研究、动手操作,让学生从中去体验学习知识的过程,引导学生在发现问题、分析问题、解决问题的同时,培养学生自主学习能力和创新意识. 学科网（北京）股份有限公司 $$