13.3 三角形的内角与外角（同步培优满分特训卷）2025-2026学年人教版数学八年级上册尖子生练习卷（2025新教材）

13.3 三角形的内角与外角 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理． 连接，由三角形内角和定理可知：，进而计算即可. 【规范解答】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴ ， 故选D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的外角，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由是的外角，利用三角形的外角性质，即可求出最终结果． 本题主要考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的外角，，， ∴． 故选：B． 3．（本题2分）（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：C． 4．（本题2分）（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出，进而求出，再根据角平分线定义得及，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交分线交于点， ∴， ∴． ∵和的平分线交于点M， ∴， ∴， 在中，， 即：． 故选：C． 5．（本题2分）（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，由旋转得，即得，又由得，设，则，，再利用三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由旋转得，， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（本题2分）（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．先根据等边对等角求出，再由三角形外角性质求得，最后由三角形外角性质列式计算即可求解． 【规范解答】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，即， 故选：A． 7．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 【规范解答】解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．（本题2分）（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理，分点在线段上和在射线上，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：当点在线段上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在射线上时，如图： ∵平分，平分， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； 故选D． 9．（本题2分）（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．下列结论： ①；            ②； ③PA平分∠BPE；    ④若，则． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可． 【规范解答】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②错误； 在上截取， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故④正确． 故选D． 10．（本题2分）（21-22八年级上·河南周口·期末）如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断； ②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案； ③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断； ④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出． 【规范解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， ∴△AFG三个内角都不相等， ∴△AFG不是等腰三角形，故②错误； 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∠ADF=∠BAH，DA=AB， ∴△ADF≌△BAH（ASA） ∴DF=AH，故③正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵∠ADC=15°=∠ACD， ∴∠BCG=45°， ∴∠CGB=180°－∠ABC－∠BCG=180°－60°－45°＝75°，故④正确； ∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°， ∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°， ∴AH=2EH， ∴DF=2EH=4，故⑤正确； 故选：B． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用． 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 【答案】/180度 【思路引导】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵，， ∴； 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/75度 【思路引导】本题考查了三角板中角度的计算，三角形外角的性质等知识；由题意可求得的度数，由三角形外角的性质即可求解． 【规范解答】解：如图，由题意知， ∴， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 14．（本题2分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟记平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，从而得解． 【规范解答】解：在中，， 长方形中， ， 故答案为：． 15．（本题2分）（23-24八年级上·云南红河·期末）一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角板的角度运用以及三角形的外角性质，先根据三角板的摆放位置得出，，结合三角形的外角性质得，即可作答． 【规范解答】解：∵一副直角三角板与按如图所示位置摆放 ∴， ∴ ∴ 故答案为： 16．（本题2分）（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了尺规作图，三角形外角的性质，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到． 由作图可知：，由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出． 【规范解答】解：由作图知：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．（本题2分）（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别在上的点，且，，则的度数是 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理；根据已知条件可推出，从而可知，则，能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现是解题关键． 【规范解答】∵在和中， ， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（本题2分）（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，结合图形，灵活运用所学知识求解，是解题的关键． 根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【规范解答】平分，平分， ， 又， 由， 得 ， ， 同理可求，，， 以此类推，可得，， 当时，，又， ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形两锐角互余得到，，再由平角即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴． 20．（本题6分）（19-20七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【答案】(1) (2)①；②10 【思路引导】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． （1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②根据三角形内角和可求出，然后根据角平分线的定义求得，从而求解． 【规范解答】（1）解：因为为边上的高，，的面积为24， 所以， 所以． 因为是边上的中线， 所以． （2）解：①因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， 因为， 所以． 故答案为： 21．（本题8分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3)当垂直三角形中的一边时的度数为或或 【思路引导】本题主要考查图形平移的性质，三角形内角和定理，外角和的性质，掌握以上知识，数形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质得到，则，即可求解； （2）根据三角形的外加得到，可求出，则，由此即可求解； （3）根据直角三角形两锐角互余，三角形外角和的性质，分类计算即可． 【规范解答】（1）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，时， ∵， ∴， ∴当时，，即； 如图所示，时， ∵将线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴； 如图所示，时，垂足为点， ∵在三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当垂直三角形中的一边时的度数为或或． 22．（本题8分）（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【思路引导】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【规范解答】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【考点剖析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 23．（本题8分）（17-18八年级上·山东青岛·期末）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【思路引导】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【规范解答】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 【答案】(1) (2)①见解析②15 【思路引导】（1）等边对等角，结合三角形的外角，求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数； （2）①在上截取，连接，由（1）同理可证，得到，，进而得到得，，根据，即可证明； ②作于点，结合等腰三角形性质设，结合勾股定理建立方程 求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， 平分， ，又， ， ，， ， ， ， ， ； ②作于点， ， ， 设， ，，， ，， ， 即， 解得， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线定义、三角形的内角和定理和三角形的外角、等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于通过作辅助线证明三角形全等． 25．（本题10分）（24-25九年级上·湖北孝感·期末）和都是等腰直角三角形，，，，将绕点A在平面内旋转一定的角度． (1)如图1，当点D在线段上时，连接． ①求证：； ②如图2，若与于点G，过点C作的垂线交的延长线于点F，则与的数量关系为 ； (2)如图3，当点D位于上方，连接，且D，E，C恰好在一条直线上时，若，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2)8 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）①先根据等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质以及角的和差即可证明结论；②如图：在线段上截取，连接，然后证明可得，再根据三角形外角的性质可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等量代换即可解答； （2）先证明可得、，进而得到 ，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：①， ， ， 在和中， ， ， ， ． ②，理由如下： 如图：在线段上截取，连接， 由（1）可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即． （2）解：如图3，连接， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 的面积． 26．（本题10分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点是轴上一点，连接． (1)如图，当在轴正半轴上，连接，若，求的度数； (2)如图，当在轴负半轴上，在轴正半轴上有点，，点在第四象限内直线上，连接，，的坐标为，当，时，用含有的式子表示点的纵坐标； (3)如图，在（）的条件下，点为上一点，点为上一点，且，延长至点，连接，，，若，，求的横坐标． 【答案】(1)； (2)点的纵坐标为； (3)的横坐标为． 【思路引导】（）设，，根据直角三角形的性质可得，再由求出，即可求解； （）连接，设，通过角度和差证得，故有，证明，根据全等三角形的性质得，再由平行线的判定得出即可； （）延长至，使得，连接，延长至，使得，设，然后通过角度和差证和全等三角形的判定条件证明，根据全等三角形的性质得，最后由线段和差和等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴； （2）如图，连接， ∵，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴点的纵坐标为； （3）如图，延长至，使得，连接，延长至，使得， 设， 由（）得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为． 【考点剖析】本题考查了直角三角形的性质，角度和差，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等角对等边，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3 三角形的内角与外角 试题数量：26题 试题满分：100分 难度系数：0.49（较难） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好。该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（共10小题，每题2分，共20分） 1．（本题2分）（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，（   ） A． B． C． D． 2．（本题2分）（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，是的外角，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（本题2分）（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25八年级上·河南许昌·期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（本题2分）（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，，N为上一点，直线交于M，交于F，且，若点P为射线上一点，平分，平分交于H，交于T，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（本题2分）（23-24八年级上·安徽黄山·期末）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和交于点P，交于点M，交于点N，连接．下列结论： ①；            ②； ③PA平分∠BPE；    ④若，则． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．①③④ 10．（本题2分）（21-22八年级上·河南周口·期末）如图，△是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连接，分别交于点F、G，过点A作交于点H，，则下列结论：①；②是等腰三角形；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 二、填空题（共8小题，每题2分，共18分） 11．（本题2分）（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广东惠州·期中）将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中的度数是 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，长方形中，F是延长线上一点，G是上一点，并且，．若，则的度数为 ． 15．（本题2分）（23-24八年级上·云南红河·期末）一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为 ． 16．（本题2分）（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，， 按以下步骤作图：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段，于点M，N；（2）以点C为圆心，的长为半径画弧，交线段于点D；（3）以点D为圆心，的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E；（4）过点E作射线CE，与相交于点F，则 ． 17．（本题2分）（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，分别在上的点，且，，则的度数是 度．（用含的代数式表示） 18．（本题2分）（24-25八年级上·广西钦州·期中）如图，在中，，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，…，和的平分线交于点，得，和的平分线交于点，得，则的大小为 ． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知，求的度数． 20．（本题6分）（19-20七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 21．（本题8分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知：如图1，在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结． (1)当时，请说明． (2)如图2，当在上方时，且时，求与的度数． (3)当垂直三角形中的一边时，直接写出所有满足条件的的度数． 22．（本题8分）（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 23．（本题8分）（17-18八年级上·山东青岛·期末）（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3） 已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 24．（本题8分）（24-25八年级上·江苏常州·期中）【阅读教材】苏科版八年级上册第69页《折纸与证明》．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图1），怎样证明呢？ 分析：把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以． 【感悟与应用】 (1)如图1，在中，若且，则_____； (2)如图2，在四边形中，平分，，，， ①求证：； ②求的长 25．（本题10分）（24-25九年级上·湖北孝感·期末）和都是等腰直角三角形，，，，将绕点A在平面内旋转一定的角度． (1)如图1，当点D在线段上时，连接． ①求证：； ②如图2，若与于点G，过点C作的垂线交的延长线于点F，则与的数量关系为 ； (2) 如图3，当点D位于上方，连接，且D，E，C恰好在一条直线上时，若，求的面积． 26．（本题10分）（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点是轴上一点，连接． (1)如图，当在轴正半轴上，连接，若，求的度数； (2)如图，当在轴负半轴上，在轴正半轴上有点，，点在第四象限内直线上，连接，，的坐标为，当，时，用含有的式子表示点的纵坐标； (3)如图，在（）的条件下，点为上一点，点为上一点，且，延长至点，连接，，，若，，求的横坐标． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$