第十六章　整式的乘法课件 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

专题聚焦八 加强 | 乘法公式的变式及应用 类型一　巧用乘法公式计算 1.计算2 0222-2 021×2 023. 解:2 0222-2 021×2 023 =2 0222-(2 022-1)×(2 022+1) =2 0222-(2 0222-1) =2 0222-2 0222+1 =1. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2.计算(2+1)(22+1)(24+1)+1. 解:(2+1)(22+1)(24+1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)+1 =(24-1)(24+1)+1 =28-1+1 =28. 2 类型二　应用乘法公式的变形求值 3.已知4a2+b2=25,(2a-b)2=1,回答下列问题: (1)求ab的值; 3 (2)一题多解法 求(2a+b)2的值; 解:(2)解法一:∵4a2+b2=25,由(1),可知ab=6, ∴(2a+b)2=4a2+4ab+b2=25+4×6=49. 解法二:∵(2a+b)2+(2a-b)2=4a2+4ab+b2+4a2-4ab+b2=2(4a2+b2) =2×25=50, ∴(2a+b)2=50-(2a-b)2=50-1=49. 4 (3)求16a4+b4的值. 解:(3)∵4a2+b2=25,∴(4a2+b2)2=625, 由(1),可知ab=6, ∴(4a2+b2)2=16a4+8a2b2+b4=16a4+b4+8(ab)2=16a4+b4+8×62= 625, ∴16a4+b4=625-8×62=337. 5 类型三　利用乘法公式解决规律题 4.仔细观察下列各式: 第1个等式:(2+1)2=12+22+22; 第2个等式:(6+1)2=22+62+32; 第3个等式:(12+1)2=32+122+42. 请你根据以上规律,解决下列问题: (1)写出第4个等式:　 　;  (20+1)2=42+202+52 6 (2)写出第n(n为正整数)个等式,并证明等式成立. 解:(2)第n(n为正整数)个等式为[n(n+1)+1]2=n2+[n(n+1)]2+(n+1)2. 证明: 左边=[n(n+1)+1]2=[n(n+1)]2+2n(n+1)+1 =n2(n+1)2+2n(n+1)+1 =n2(n+1)2+n2+n2+2n+1 右边=n2+[n(n+1)]2+(n+1)2 =n2+n2(n+1)2+(n+1)2 =n2(n+1)2+n2+n2+2n+1. ∴左边=右边. 7 类型四　应用乘法公式解决拼图问题 5.(1)通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积,可以得到的整式乘法公式为　 　(用式子表示);  (a+b)(a-b)=a2-b2 8 (2)运用你得到的公式,计算下列各题: ①10.3×9.7=　 　;  ②(2m+p-n)(2m-p+n)=　 　.  99.91 4m2-p2+2pn-n2 9 谢谢观赏！ 10 解:(1)∵4a2+b2=25,(2a-b)2=1, ∴(2a-b)2=4a2+b2-4ab=25-4ab=1. ∴ab==6. $$第9课时　完全平方公式(1) 知识点一　完全平方公式 (1)(a±b)2=　 　,即两个数的和(或差)的平方,等于它们的　 　,加上(或减去)它们的　 　;  (2)完全平方公式的推导(几何推导): 通过计算几何图形的面积可得恒等式. a2±2ab+b2 学新知　知识导学 01 平方和 积的2倍 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 利用完全平方公式计算: (1)(3x-y)2;(2)(4p-2q)2. 解:(1)(3x-y)2 =(3x)2-2×3x×y+y2 =9x2-6xy+y2. (2)(4p-2q)2 =(4p)2-2×4p×2q+(2q)2 =16p2-16pq+4q2. 2 3 2.典例 已知(x+y)2=49,xy=2,求: (1)2x2+2y2的值; (2)(x-y)2-xy的值. 解:(1)2x2+2y2=2(x2+y2)=2(2xy+x2+y2)-4xy=2(x+y)2-4xy=2× 49-4×2=98-8=90. (2)(x-y)2-xy=x2+y2-3xy=x2+y2+2xy-5xy=(x+y)2-5xy=49-5× 2=49-10=39. 4 3.已知:(x-y)2=6,(x+y)2=3,求: (1)xy; (2)x2+y2+xy的值. 5 知识点三　完全平方公式和平方差公式的综合 当一个运算中有符合完全平方公式和平方差公式两种运算时,分别按照公式进行计算,然后再把所得的结果按照相应的运算法则进行计算. 6 4.典例 计算2(x+1)2-(2x+3)(2x-3). 解:2(x+1)2-(2x+3)(2x-3) =2x2+4x+2-4x2+9 =-2x2+4x+11. 7 精评价　层级演练 02 基础巩固 5.将完全相同的四张长方形纸片按如图所示的位置摆放,利用外围正方形、中间正方形和四个长方形面积之间的关系可以得到的等式是( ) A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a-b)(a+b)=a2-b2 D.(a-b)2=(a+b)2-4ab D 8 6.(1)下列算式能用完全平方公式计算的是( ) A.(2a+b)(2b-a) B.(4x+1)(-4x-1) C.(2x-y)(y+2x) D.(-x+y)(-y-x) (2)(-2-3x2)2的计算结果正确的是( ) A.9x4-12x2+4 B.9x4+12x2+4 C.9x4-12x2-4 D.-9x4-12x2-4 B B 9 7.(1)计算(2x-1)(1-2x)=　 　;  (2)已知x2+y2=10,xy=3,则(x+y)2=　 　.  8.运用完全平方公式计算(4m-3n)2. -4x2+4x-1 16 解:(4m-3n)2=(4m)2-2·(4m)·(3n)+(3n)2=16m2-24mn+9n2. 10 9.计算(2a+b)(a-2b)+(2a-b)2. 解:(2a+b)(a-2b)+(2a-b)2 =2a2-4ab+ab-2b2+4a2-4ab+b2 =6a2-7ab-b2. 11 10.利用乘法公式计算:(1)1062;(2)99.82. 解:(1)1062=(100+6)2=10 000+1 200+36=11 236. (2)99.82=(100-0.2)2=1002-2×100×0.2+0.22=10 000-40+ 0.04=9 960.04. 12 能力进阶 11.(1)若(m+n)2=49,mn=12.则(m-n)2=　 　;  (2)已知a2+b2=8,(a+b)2=20,则 ab=　 　;  (3)若m与n互为倒数,则(m+n)2-(m-n)2的值为　 　.  1 6 4 13 14 13.(2025广州番禺区期中)已知a+b=3,ab=-1.求下列代数式 的值: (1)a2+b2;(2)a-b. 解:(1)∵(a+b)2=a2+b2+2ab,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×(-1)= 11. 15 谢谢观赏！ 16 知识点二　完全平方公式的常见变形 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab; (4)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2); (5)(a+b)2-(a-b)2=4ab; (6)ab=[(a+b)2-(a2+b2)]; (7)ab=()2-()2. 解:(1)∵(x-y)2=6,(x+y)2=3, ∴(x-y)2-(x+y)2=6-3=3. 即-4xy=3.即xy=-. (2)∵(x+y)2=3,xy=-, ∴x2+y2+xy=(x+y)2-xy=3-(-)=. 12.先化简,再求值:(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x),其中x=1,y=-. 解:(x-2y)2-(2y+x)(-2y+x) =x2-4xy+4y2-(x+2y)(x-2y) =x2-4xy+4y2-(x2-4y2) =x2-4xy+4y2-x2+4y2 =-4xy+8y2. 当x=1,y=-时,原式=-4×1×(-)+8×(-)2=2+2=4. (2)∵(a-b)2=a2+b2-2ab=11-2×(-1)=13,∴a-b=±. $$第2课时　幂的乘方与积的乘方 知识点一　幂的乘方法则 (1)幂的乘方,底数　 　,指数　 　;(2)(am)n=　 　(m,n都是正整数).  【拓展】[(am)n]p=amnp(m,n,p都是正整数). 不变 学新知　知识导学 01 相乘 amn 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 (x2)3可以表示为( ) A.3x2 B.x5 C.x2+x2+x2 D.x2·x2·x2 2.(1)计算(a3)2的结果是　 　;  (2)计算[(a2)2]3的结果是　 　.  D a6 a12 2 知识点二　幂的乘方的逆用 根据幂的乘方(am)n=amn,反过来,有amn=　 　(m,n都是正整数).  (am)n 3 3.典例 已知(2□)2=26,则“□”内填( ) A.6 B.5 C.4 D.3 D 512 81 4 知识点三　积的乘方法则 (1)积的乘方,等于把积的每一个因式分别　 　,再把所得的幂　 　;  (2)(ab)n=　 　(n为正整数).  【拓展】(abc)n=　 　(n为正整数).  乘方 相乘 anbn anbncn 5 A 6.(1)计算:(5x3)2=　 　;  (2)(2025惠州惠东县期中)计算:(-2a2b3)3=　 　.  25x6 -8a6b9 6 知识点四　积的乘方法则的逆用 根据积的乘方(ab)n=anbn,反过来,有anbn=　 　(n为正整数).  (ab)n 7 7.典例 (1)计算0.52 024×(-2)2 024的值为( ) A.-2 B.-0.5 C.1 D.2 (2)计算(-8)2 025×(-0.125)2 025=　 　.  C 1 -1 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 9.(2024眉山)下列运算中正确的是( ) A.a2-a=a B.a·a2=a3 C.(a2)3=a5 D.(2ab2)3=6a3b6 10.(2024清远连州市二模)计算结果为6m6的是( ) A.6(m2)3 B.(-m)6 C.(2m2)3 D.(3m3)2 B A 9 11.(1)若am=5,bm=9,则(ab)2m=　 　;  (2)若x2=3,则3(x3)2-2(x2)2=　 　.  12.(2025湛江雷州市期末)计算a3·a·a4+(-2a4)2+(a2)4. 2 025 63 解:a3·a·a4+(-2a4)2+(a2)4=a8+4a8+a8=6a8. 10 13.计算: (1)(a2)3·a5;(2)[(m4)2]3; (3)3(x2)3-2(x3)2;(4)b3·b5-(b2)4. 解:(1)(a2)3·a5=a11. (2)[(m4)2]3=m24. (3)3(x2)3-2(x3)2=x6. (4)b3·b5-(b2)4=0. 11 14.计算: (1)(3x3)2+(2x2)3; (2)(-x2)3·(-2x3)2. 解:(1)(3x3)2+(2x2)3=9x6+8x6=17x6. (2)(-x2)3·(-2x3)2=-x6·4x6=-4x12. 12 15.计算(3×102)2. 解:(3×102)2 =32×(102)2 =9×104. 13 16.若[(33)m]2=318,求m的值. 解:∵[(33)m]2=318,∴36m=318. 则6m=18,解得m=3. 14 能力进阶 17.教材 P102 习题 T8 变式 已知2x=4,2y=16,则22x+y等于 ( ) A.16 B.64 C.256 D.512 18.若3m·3n=35,(xm)2=x4,则mn的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 C C 15 16 20.拓展 阅读下面的解题过程: 试比较2100与375的大小. 解:∵2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725, 而16<27,∴2100<375. 根据上述解答过程,比较a,b,c的大小,其中a=255,b=333,c=522. 解:a=255=(25)11=3211, b=333=(33)11=2711, c=522=(52)11=2511. ∵32>27>25,∴3211>2711>2511. ∴a>b>c. 17 谢谢观赏！ 18 4.(1)如果2m=8,那么=　 　;  (2)若3m=9,则32m=　 　. 5.典例 (2025汕头潮阳区期中)计算(-ab)2的结果是( ) A.a2b2 B.-a2b2 C.a2b D.a2b2 8.计算:(1)()2 025×(-)2 025=　 　;  (2)(-)2 024×()2 025=　　 . 　 19.简便运算()2 024×(-)2 024×(-3)2 025. 解:()2 024×(-)2 024×(-3)2 025 =(-)2 024×(-3)2 025 =(-)2 024×(-3)2 024×(-3) =1×(-3) =-3. $$第8课时　平方差公式 知识点一　平方差公式 (1)(a+b)(a-b)=　 　,即两个数的和与这两 个数的差的　 　,等于这两个数的　 　;  (2)平方差公式的推导(几何推导):通过计算几何图形的面 积可得恒等式. a2-b2 学新知　知识导学 01 积 平方差 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是( ) A.(x+a)(x-a) B.(a+b)(-a-b) C.(-x-b)(x-b) D.(b+m)(m-b) 2.(1)计算(3y+2)(3y-2)的结果为　 　;  (2)计算(3y-2x)(3y+2x)=　 　.  B 9y2-4 9y2-4x2 2 知识点二　平方差公式的常见变形 (1)位置变化:(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2; (2)符号变化:(-a-b)(-a+b)=(-a)2-b2=a2-b2; (3)系数变化:(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2; (4)指数变化:(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4; (5)连用公式变化:(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4. 3 3.典例 计算:(1)(a+5b)(a-5b); (2)(2y+x2)(-2y+x2). 解:(1)(a+5b)(a-5b)=a2-(5b)2=a2-25b2. (2)(2y+x2)(-2y+x2)=(x2+2y)(x2-2y) =(x2)2-(2y)2=x4-4y2. 4 解:(1)(-5x-3y)(-5x+3y)=(-5x)2-(3y)2 =25x2-9y2. 5 知识点三　巧用平方差公式计算 当出现多个因式相乘时,要仔细观察式子的特点,看是否符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出符合平方差公式结构的形式,然后依次运用公式,一直到不能运用为止. 6 解:(1)401×399=(400+1)(400-1) =160 000-1=159 999. 7 解:(1)50.2×49.8=(50+0.2)×(50-0.2) =2 500-0.04=2 499.96. 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.在下列多项式乘法中,可以用平方差公式计算的是( ) A.(2a-3b)(-2a+3b) B.(-3a+4b)(-4b-3a) C.(a+1)(-a-1) D.(a2-b)(a+b2) B 9 8.下列等式中,正确的是( ) A.(a-2b)(b+2a)=2a2-2b2 B.(2a-b)(-2a-b)=4a2-b2 C.(2a+b)(-2a-b)=4a2-b2 D.(2a-b)(b+2a)=4a2-b2 D 10 9.若(x+3)(x-3)=x2-k成立,则k的值为( ) A.3 B.6 C.9 D.-9 10.(1)计算x(x+4)(x-4)=　 　;  (2)一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a-3b),则长方形的面积为　 　.  x3-16x 4a2-9b2 C 11 11.计算2a(a-1)+(a+2)(a-2). 解:2a(a-1)+(a+2)(a-2) =2a2-2a+a2-4 =3a2-2a-4. 12 12.计算(3x+y)(y-3x)-x(3y-9x). 解:(3x+y)(y-3x)-x(3y-9x)=y2-(3x)2-(3xy-9x2)=y2-9x2-3xy+ 9x2=y2-3xy. 13 能力进阶 13.(1)已知a+b=3,a-b=2,则a2-b2等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)如果x2-y2=4,则(x-y)2(x+y)2的值为( ) A.4 B.16 C.24 D.32 D B 14 -1 1 15 15.计算2(a-3)(a+2)-(4+a)(4-a). 解:2(a-3)(a+2)-(4+a)(4-a) =2(a2+2a-3a-6)-(16-a2) =2a2+4a-6a-12-16+a2 =3a2-2a-28. 16 16.利用平方差公式计算(-am+2bn)(-am-2bn). 解:(-am+2bn)(-am-2bn) =(-am)2-(2bn)2 =a2m-4b2n. 17 17.计算(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1). 解:(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1) =(1-a2)(1+a2)(a4+1) =(1-a4)(1+a4) =1-a8. 18 19 谢谢观赏！ 20 4.计算:(1)(-5x-3y)(-5x+3y); (2)(-x-3y)(-x+3y). (2)(-x-3y)(-x+3y)=(-x)2-(3y)2=x2-9y2. 5.典例 教材 P114 练习 T3 变式 计算: (1)401×399;(2)10×9. (2)10×9=(10+)×(10-)=100-=99. 6.计算: (1)50.2×49.8;(2)40×(-39). (2)40×(-39)=(40+)×(-40+) =(+40)×(-40)=-1 600=-1 599. 14.(1)计算50×49=　 　;  (2)计算2 023×2 025-2 0242=　 　;  (3)若x2+x-2=0,则(x+1)(x-1)+x的值是　 　.  2 499　 18.计算(a-b)(2a+b)(4a2+b2). 解:(a-b)(2a+b)(4a2+b2) =(2a-b)(2a+b)(4a2+b2) =(4a2-b2)(4a2+b2) =(16a4-b4) =8a4-b4. $$专题聚焦九 加强 | 整式的化简求值 类型一　直接代入求值 1.先化简,再求值:(12x3-8x2+3x)÷3x-(2x-3)(3+2x),其中x=6. 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2 3 4 5.先化简,再求值:已知3a2-4a-7=0,求代数式(2a-1)2-(a+b)(a- b)-b2的值. 解:(2a-1)2-(a+b)(a-b)-b2 =4a2-4a+1-(a2-b2)-b2 =4a2-4a+1-a2+b2-b2 =3a2-4a+1. ∵3a2-4a-7=0,∴3a2-4a=7. ∴原式=7+1=8. 5 类型四　不含某项求字母的值 6.已知(mx-3)(-x+n)的展开式中不含x的一次项,且常数项是 -3. (1)求m,n的值; 解:(1)(mx-3)(-x+n)=-mx2+mnx+3x-3n=-mx2+(mn+3)x-3n, ∵展开式中不含x的一次项,且常数项是-3, ∴mn+3=0,-3n=-3,∴m=-3,n=1. 6 (2)先化简(m+n)(m2-mn+n2),再根据(1)中的结果求值. 解:(2)(m+n)(m2-mn+n2)=m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3=m3+n3. 当m=-3,n=1时, 原式=(-3)3+13=-26. 7 谢谢观赏！ 8 解:(12x3-8x2+3x)÷3x-(2x-3)(3+2x) =4x2-x+1-(4x2-9) =4x2-x+1-4x2+9 =-x+10. 当x=6时,原式=-×6+10=-6. 类型二　化简条件代入求值 2.先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中x= ()2 024,y=(-2)2 023. 解:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y) =4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2 =2xy. 当x=()2 024=2-2 024,y=(-2)2 023=-22 023时,原式=2×2-2 024× (-22 023)=-1. 3.先化简,再求值:b(2a-4b)-(2a+b)(a-b)-2(ab+1),且单项式y与-3xyb是同类项. 解:b(2a-4b)-(2a+b)(a-b)-2(ab+1) =ab-2b2-2a2+2ab-ab+b2-2ab-2 =-b2-2a2-2. ∵单项式y与-3xyb是同类项,∴a+3=1,b=1,解得a=-2. 当a=-2,b=1时,原式=-12-2×(-2)2-2=-11. 类型三　整体代入求值 4.先化简,再求值:[(2x-y)2-4(x-y)(x+y)]÷(-y),其中4x=5y. 解:[(2x-y)2-4(x-y)(x+y)]÷(-y) =(4x2-4xy+y2-4x2+4y2)÷(-y) =(-4xy+5y2)÷(-y) =8x-10y. 当4x=5y时,原式=2×4x-10y=2×5y-10y=0. $$数学活动 活动1　月历中的奥秘(续) 1.(1)如图所示是2025年11月的月历,一个长方形框住了四个数字,我们做如下计算:4×12=48,5×11=55,55-48=7.请你用一个长方形另圈4个数字,按相同方法计算,你有什么发现? 践活动　要点精练 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) (1)解:圈住的是20,21,27,28四个数(答案不唯一). 20×28=560,21×27=567,567-560=7.发现对角线上的两数的积中,较大的积与较小的积差为7. 2 (2)请用整式的运算证明(1)中的规律(提示:可设最小的一个数是n).你还能发现对角线上的这两对数有其他规律吗? (2)证明:设这四个数中最小的一个数是n,则另外三个数分别为n+ 1,n+7,n+8,所以 (n+1)(n+7)-n(n+8)=(n2+8n+7)-(n2+8n)=7. 还发现的规律:对角线上的两数的和相等;对角线上的两数 的平方和相差14.(答案不唯一) 3 2.在月历上,我们可以发现某些数满足一定的规律,如下是某月的月历,我们选择其中如图所示的阴影方框部分,将方框部分的四个角上的四个数字交叉相乘,再相减,例如6×19-5×20=14,10×15-8×17=14,不难发现,结果都等于14(乘积结果用大的减小的). 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 4 (1)请你再选择两个类似的部分试一试,看看是否符合这个 规律; (1)解:例如7×20-6×21=14,9×14-7×16=14,结果都等于14. 5 (2)请你利用整式的运算对以上规律加以证明. (2)证明:①设最小的一个数为x, 根据题意,得(x+1)(x+14)-x(x+15)=x2+15x+14-x2-15x=14, 则方框部分的四个角上的四个数字交叉相乘,再相减结果等于14. ②设最小的一个数为x, 根据题意,得(x+2)(x+7)-x(x+9)=x2+9x+14-x2-9x=14, 则方框部分的四个角上的四个数字交叉相乘,再相减结果等于14. 6 活动2　和为定值的两数积的规律 3.(1)计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值),你发现结果有什么规律? ①30×30,35×25,43×17,52×8; ②50×50,53×47,74×26,91×9. 解:(1)①30×30=900,35×25=875,43×17=731,52×8=416; ②50×50=2 500,53×47=2 491,74×26=1 924,91×9=819. 我发现,当和为定值的两数相差越小,则它们的积越大;反之, 当和为定值的两数相差越大,则它们的积越小. 7 (2)若两数的和为定值2n,你能用整式的运算说明(1)中的这一规律吗? 解:(2)∵两数的和为定值2n,∴设其中三组数分别为n和n, n+1和n-1,n+2和n-2.则n-n=0,(n+1)-(n-1)=2,(n+2)-(n-2)= 4.n·n=n2,(n+1)(n-1)=n2-1, (n+2)(n-2)=n2-4. ∵0<1<4,∴n2>n2-1>n2-4. ∴当和为定值的两数相差越小,则它们的积越大;反之, 当和为定值的两数相差越大,则它们的积越小. 8 (3)请用(2)中发现的规律解决问题:用10 m长的绳子围成一个长方形,长方形的最大面积是多少?此时长方形的两条邻边长有什么关系?你能得出更一般的结论吗? 解:(3)长方形的最大面积是6.25 m2,此时长方形的两条邻边长相等.由此得出结论:用定长的绳子围成一个长方形,当它是正方形时面积最大. 9 4.阅读与思考 请你仔细阅读下列材料,并完成相应的任务. 老师布置了一道规律探索题,如下: 观察下列各式:152=225,252=625,352=1 225,… 个位数字是5的两位数平方后,末尾的两个数有什么规律?为什么? 小丽的思考如下: 假设个位数字是5的两位数的十位数字为a,则这个两位数可以表示为10a+5,这个两位数的平方为(10a+5)2=①,由此可知个位数字是5的两位数平方后末尾的两个数是②. 10 任务一:补全上面小丽的解答过程:①　 　; ②　 　.  任务二:小丽继续探究发现,个位数字是5的两位数平方后,除了末尾两个数有规律外,其他数位上的数也有规律,并且与原两位数的十位数字有关. (1)请直接写出:752=　 　;  (2)请用式子表示小丽发现的这一规律:　 . 　 .  100a2+100a+25 25 5 625 (10a+5)2= 100a(a+1)+25 11 任务三:类比小丽的探索思路,观察:4×6,14×16,24×26, …的计算结果,请用式子表示你发现的规律:　 . 　.  (10a+4)(10a+ 6)=100a(a+1)+24 12 谢谢观赏！ 13 $$第10课时　完全平方公式(2)——乘法公式综合 知识点一　添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项　 . 　;如果括号前面是负号,括到括号里的各项　 　. 【归纳】添括号与去括号是互逆的,可以相互进行检验添 括号或去括号的正确性. 都不变符 学新知　知识导学 01 号 都改变符号 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 下列各式左右两边相等的是( ) A.-a+b-c=-a+(b+c) B.-(a-b+c)=-a+b-c C.-a-b+c=-a-(b+c) D.-(a+b-c)=-a-b-c 2.下列各式中与a-b-c的值不相等的是( ) A.a-(b+c) B.a+(-b-c) C.a-(b-c) D.(-c)+(a-b) B C 2 3.典例 将式子-a-2b+3c-d添括号后所得式子正确的是( ) A.-(a+2b+3c)-d B.-a-(2b-3c)-d C.-a+(2b+3c-d) D.-(a-2b)+(3c-d) B 3 4.教材P117练习T1变式 在等式右边的括号内填上适当的项. (1)-a+3b=-(　 　);  (2)2-3x+y=2-(　 　);  (3)x+2y-3z=x+(　 　);  (4)2x+5a-7y=2x-(　 　).  a-3b 3x-y 2y-3z -5a+7y 4 知识点二　平方差公式的综合应用 运用添括号法则,把括号里各项分成两组,先运用平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2;再运用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 5 5.典例 教材P117练习T2变式 计算(a-2b-1)(a+2b-1). 解:(a-2b-1)(a+2b-1) =[(a-1)-2b][(a-1)+2b] =(a-1)2-(2b)2 =(a-1)2-4b2 =a2-2a+1-4b2. 6 6.计算(3a+b+1)(3a-b+1). 解:(3a+b+1)(3a-b+1) =[(3a+1)+b][(3a+1)-b] =(3a+1)2-b2 =9a2+1+6a-b2. 7 知识点三　完全平方公式的综合应用 运用添括号法则,先把括号里分成两大项,再运用完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 8 7.典例 教材 P117 练习 T3 变式 运用乘法公式计算(m+2n-1)2. 解:(m+2n-1)2 =(m+2n)2-2(m+2n)+1 =m2+4mn+4n2-2m-4n+1. 9 8.计算(a-2b+3c)2. 解:(a-2b+3c)2 =[(a-2b)+3c]2 =(a-2b)2+6c(a-2b)+9c2 =a2-4ab+4b2+6ac-12bc+9c2. 10 精评价　层级演练 02 基础巩固 9.下列变形正确的是( ) A.3(a+4)=3a+4 B.-(a-6)=-a-6 C.-a+b-c=-a+(b+c) D.a-b+c=a-(b-c) D 11 10.在运用乘法公式计算(2x-y+3)(2x+y-3)时,下列变形正确的是( ) A.[(2x-y)+3][(2x+y)-3] B.[(2x-y)+3][(2x-y)-3] C.[2x-(y+3)][2x+(y-3)] D.[2x-(y-3)][2x+(y-3)] D 12 11.添括号:(1)-x2-1=-(　 　);  (2)-x2-2x+3=-(　 　)+3;  (3)2ab+a2b-3a=2ab+(　 　).  12.计算(x+y-3)(x-y+3). x2+1 x2+2x 解:(x+y-3)(x-y+3) =[x+(y-3)][x-(y-3)] =x2-(y-3)2 =x2-y2+6y-9. a2b-3a 13 13.计算(3-2x+y)2. 解:(3-2x+y)2 =[(3-2x)+y]2 =(3-2x)2+2y(3-2x)+y2 =9-12x+4x2+6y-4xy+y2. 14 14.计算(x+2y-3z)(2y+3z+x). 解:(x+2y-3z)(2y+3z+x) =[(x+2y)-3z][(x+2y)+3z] =(x+2y)2-(3z)2 =x2+4xy+4y2-9z2. 15 能力进阶 15.(1)若(x+y+z)(x-y+z)=(A+B)(A-B),且B=y,则A=　 　;  (2)当x=1时,ax+b+1的值为-3,则(a+b+1)(1-a-b)的值为　　. x+z -15 16 16.如果(x+y+1)(x+y-1)=8,求x+y的值. 解:∵(x+y+1)(x+y-1)=8, ∴[(x+y)+1][(x+y)-1]=8. ∴(x+y)2-12=8. ∴(x+y)2=9. ∴x+y=±3. 17 17.化简(b-3)2+(2a+b-3)(2a-b+3)-(2a+b)(2a-b). 解:(b-3)2+(2a+b-3)(2a-b+3)-(2a+b)(2a-b)=(b-3)2+[2a+(b-3)][2a-(b-3)]-(2a+b)(2a-b) =(b-3)2+(2a)2-(b-3)2-4a2+b2 =b2. 18 18.拓展 已知a+b+c=6,ab+bc+ac=11,求a2+b2+c2的值. 解:由条件,可知(a+b+c)2=36. (a+b)2+2(a+b)c+c2=36. a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=36. a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=36. ∵2ab+2bc+2ac=22, ∴a2+b2+c2+22=36. ∴a2+b2+c2=14. 19 谢谢观赏！ 20 $$第4课时　整式的乘法(2)——单项式乘多项式 知识点一　单项式乘多项式法则 (1)p(a+b+c)=　 　.一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘　 　的每一项,再把所得的积　 　;  (2)几何解释:如图所示,大长方形的面积等于三个小长方形面积 的和. pa+pb+pc 学新知　知识导学 01 多项式 相加 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 (1)计算2y(x-y)的结果是( ) A.2xy-2y B.x-2y2 C.2xy-2y2 D.2xy-y C C 2 12a3+4a2 -3x2y+8x3y2 -3m3+18m2-3m 3 知识点二　单项式乘多项式法则的应用 运用单项式与多项式相乘的法则进行运算时,要特别注意符号问题(同号得正,异号得负). 4 3.典例 (2025广州天河区期中)李老师做了个长方形教具,其中一边长为a+2b,另一边长为b,则该长方形的面积为( ) A.a+3b B.2a+6b C.ab+2b D.ab+2b2 4.有一块三角形的铁板,其中一边的长为2(a+b),这边上的高为a,那么此三角形铁板的面积是　 　.  D a2+ab 5 知识点三　混合运算 当同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式等知识综合时,要注意运算顺序,有同类项的要合并同类项,最后结果必须是最简结果. 6 5.典例 计算2x(3y-x2)+2x·x2. 解:2x(3y-x2)+2x·x2 =6xy-2x3+2x3 =6xy. 7 6.计算a(a-2)-2a(1-3a). 解:a(a-2)-2a(1-3a) =a2-2a-2a+6a2 =7a2-4a. 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.计算2m2n(m-3mn2)等于( ) A.2m3n-6m3n3 B.2m3n-3m3n3 C.2mn2-6m3n3 D.2m2n+6m3n3 8.计算x3y·(x-2x2y3+xy3)所得结果的次数是( ) A.八次 B.九次 C.十四次 D.二十四次 A B 9 9.教材 P106 练习 T2 变式 计算: (1)-4xy(xy+3x2y); (2)-2ab(2a2+ab-2b2). 解:(1)-4xy(xy+3x2y) =-4xy·xy+(-4xy)·3x2y =-4x2y2-12x3y2. (2)-2ab(2a2+ab-2b2) =-2ab·2a2+(-2ab)·ab+(-2ab)·(-2b2) =-4a3b-2a2b2+4ab3. 10 (2)2(a2b+ab2)-2(a2b-3)-2(ab2+2) =2a2b+2ab2-2a2b+6-2ab2-4 =2. 11 能力进阶 11.若计算(x2+ax+5)·(-2x)-6x2的结果中不含有x2项,则a的值为( ) A 12 12.先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2. 解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4) =6a3-12a2+9a-6a3-8a2 =-20a2+9a. 当a=-2时,原式=-20×4-9×2=-98. 13 13.如图所示,某小区有一块长为(3a+2b)m,宽为3a m的长方形空地,现准备在空地边上留出一部分(图中阴影部分)用来安置健身娱乐器材,其余部分种植花草. (1)用含a,b的代数式表示用于种植花草的 土地面积; 解:(1)种植花草的土地面积为 (3a+2b-b)×(3a-a)=(3a+b)2a=(6a2+2ab)(m2). 14 (2)已知种植花草每平方米需花费80元,若a=2,b=3,请计算种植花草所需的成本. 解:(2)∵a=2,b=3,∴6a2+2ab=6×22+2×2×3=36(m2). 36×80=2 880(元). 答:种植花草所需的成本是2 880元. 15 谢谢观赏！ 16 (2)计算-3mn(m-n)的结果是( ) A.3m2n+mn2 B.-3m2n-mn2 C.-3m2n+mn2 D.-3m2n+mn2 2.计算:(1)4a2(3a+1)=　 　;  (2)(x-x2y)(-12xy)=　 　;  (3)-3m(m2-6m+1)=　 　. 10.教材 P106 练习 T3 变式 计算: (1)9x+6x2-3(x+x2); (2)2(a2b+ab2)-2(a2b-3)-2(ab2+2). 解:(1)9x+6x2-3(x+x2) =9x+6x2-3x-4x2 =6x+2x2; A.-3 B.- C.0 D.3 $$第6课时　整式的乘法(4)——同底数幂的除法 知识点一　同底数幂的除法法则 (1)同底数幂相除,底数　 　,指数　 　;  (2)am÷an=　　 (a≠0,m,n都是正整数,m>n).  【归纳】①应用同底数幂的除法法则进行计算时,要先看 底数是否相同,若底数不同,则要先化成相同的底数再 计算; 不变 学新知　知识导学 01 相减 am-n 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) ②同底数幂的除法和同底数幂的乘法互为逆运算,因此同底数幂的除法可以用同底数幂的乘法来检验. 【拓展】am÷an÷ap=am-n-p(a≠0,m,n,p都是正整数,m>n+p). 2 1.典例 (1)计算x6÷x3的结果是( ) A.x3 B.x2 C.2x2 D.1 (2)计算a9÷a3÷a2=　 　.  2.计算:(1)m5÷m2=　 　;  (2)a8÷a6的结果为　 　;  (3)a6÷a=　 　;  (4)(-a)9÷(-a)3=　 　.  A a4 m3 a2 a5 a6 3 解:(1)78÷76=78-6=49. 4 4.计算:(1)(-m)5÷(-m)2; (2)(xy)7÷(xy)4. 解:(1)(-m)5÷(-m)2=-m5÷m2=-m3. (2)(xy)7÷(xy)4=(xy)3=x3y3. 5 知识点二　同底数幂的除法法则的逆用 由am÷an=am-n,反过来,可得=am-n　 　(a≠0,m,n都是正整数,m>n).  am÷an 6 5.典例 若2m=32,2n=8,则2m-n的值是( ) A.4 B.8 C.16 D.24 6.(1)若3x=9,3y=27,则3x-y=　　;  (2)已知10m=10 000,10n=100,则10m-n=　 　.  A 100 7 知识点三　0次幂 规定:当a≠0时,a0=　 　,即任何不等于0的数的0次幂都等 于　 　.  1 1 8 7.典例 计算2 0250等于( ) A.0 B.1 C.2 025 D.无意义 8.若式子(x+4)0有意义,则实数x的取值范围是( ) A.x≠-4 B.x=-4 C.x≠4 D.x=4 B A 9 精评价　层级演练 02 基础巩固 9.计算20+21等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(2024宜宾)下列计算正确的是( ) A.a+a=a2 B.5a-3a=2 C.3x·2x=6x2 D.(-x)3÷(-x)2=x C C 10 11.计算(-a2)3÷a4结果是( ) A.-a2 B.a2 C.-a3 D.a3 12.(1)计算-x7÷(-x)4=　 　;  (2)已知2x-3y-4=0,求32x÷33y=　 　.  A -x3 81 11 13.计算a2·a4+(-2a2)3+a8÷a2. 解:a2·a4+(-2a2)3+a8÷a2 =a6+(-8a6)+a6 =-6a6. 12 14.计算(-x)6÷(-x)2·(-x)3. 解:(-x)6÷(-x)2·(-x)3 =(-x)4·(-x)3 =(-x)7 =-x7. 13 能力进阶 15.(1)(p-q)4÷(q-p)3等于( ) A.p-q B.-p-q C.q-p D.p+q C D 14 A 1 8 15 17.计算: (1)(-3a4)2-a·a3·a4-a10÷a2; (2)a·a2·a3+(-2a3)2-a9÷a3; (3)x3·x2-(-2x4)2+x10÷x2; (4)(-3m3)2-m2·(-m4)-m8÷m2. 解:(1)(-3a4)2-a·a3·a4-a10÷a2=9a8-a8-a8=7a8. (2)a·a2·a3+(-2a3)2-a9÷a3=a6+4a6-a6=4a6. (3)x3·x2-(-2x4)2+x10÷x2=x5-4x8+x8=x5-3x8. (4)(-3m3)2-m2·(-m4)-m8÷m2=9m6+m6-m6=9m6. 16 18.(1)若am=8,an=x,求a2m-3n的值; (2)若4m=d,8n=e,求24m-6n的值. 17 谢谢观赏！ 18 3.典例 计算: (1)78÷76;　(2)()6÷()3. (2)()6÷()3=()6-3=. (2)若ax=2,ay=4,则的值为( ) A.-6 B.-4 C. D. 16.(1)若3y-2x+2=0,则9x÷27y的值为( ) A.9 B.-9 C. D.- (2)若3x-y=1,则8x÷2y÷2的值为　 　;  (3)若2x÷4y=8,则2x-4y+2=　 　. 解:(1)∵am=8,an=x, ∴a2m-3n=(am)2÷(an)3=82÷x3=. (2)∵4m=d,8n=e, ∴22m=d,23n=e. ∴24m-6n=24m÷26n=(22m)2÷(23n)2=. $$第十六章　整式的乘法 第1课时　同底数幂的乘法 知识点一　同底数幂的乘法法则 (1)同底数幂相乘,底数　 　,指数　 　;  (2)am·an=　 　(m,n都是正整数).  【拓展】am·an·ap=　 　(m,n,p都是正整数).  不变 学新知　知识导学 01 相加 am+n+p 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 (2025广州白云区期末)计算a5·a2的结果是( ) 　　　　 　　　　 A.a5 B.a6 C.a7 D.a10 2.计算:(1)52 023×51=　 　;  (2)m·m3·m7的结果等于　 　.  C 52 024 m11 2 am·an 3 3.典例 已知2m=4,2n=8,则2m+n等于( )　　 　　　　 　　　　 A.12 B.-4 C.32 D.48 C 27 4 4 知识点三　同底数幂的乘法与加减法混合运算 (1)整式的加减实质上就是　 　;  (2)在具体做题时,要注意先运用同底数幂的乘法法则进行乘法运算,再进行加减运算. 合并同类项 5 5.典例 下列各式中,计算结果为a5的是( ) A.a3+a2 B.a3·a2 C.(-a)3·(-a)2 D.a5·a 6.计算:(1)2a2-a·a=　 　;  (2)x2·x4+x·x2·x3=　 　.  B a2 2x6 6 7.典例 计算x3·x5+x·x7-3x2·x6. 解:x3·x5+x·x7-3x2·x6=x8+x8-3x8 =-x8. 7 8.计算-x2·x5+x·x3·x3. 解:-x2·x5+x·x3·x3=-x7+x7=0. 8 精评价　层级演练 02 基础巩固 9.下列计算正确的是( ) A.a4·a3=a B.a4·a3=a7 C.a4·a3=a12 D.a4·a3=a64 10.若m·m□=m3,则“□”是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B B 9 11.下列选项中,运算结果与c2·c3一致的是( ) A.3个c2相乘 B.5个c相乘 C.6个c相乘 D.2个c2相乘 12.(1)若m+2=3,则2m·22=　 　;  (2)已知x+y-3=0,则3x·3y的值为　 　.  B 8 27 10 能力进阶 13.下列计算正确的是( ) A.(-a)2·(-a)3=(-a)5 B.(-a)2·(-a4)=(-a)6 C.-a4·(-a)3=(-a)7 D.-a4·a3=-a12 A 11 14.教材 P102 习题 T7 变式 电子文件的大小常用B,KB,MB, GB等作为单位,其中1 GB=210 MB,1 MB=210 KB,1 KB=210 B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于( ) A.230 B B.830 B C.8×1010 B D.2×1030 B A 12 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)计算:(b-a)2(a-b)3=　 　(结果用幂的形式表示).  A (a-b)5 13 解:(1)x·x5+x2·x4=x6+x6=2x6. 14 17.如果x,y是正整数,且2x·2y=32. (1)满足条件的正整数x,y共有多少对? 15 16 谢谢观赏！ 17 知识点二　逆用同底数幂的乘法法则解决问题 由am·an=,反过来,可得=　 　(m,n都是正整数). 【易错提示】 逆用法则时,要注意指数是加法运算,幂之间是乘法运算. 4.(1)已知am=3,an=9,则的值为　 　;  (2)已知=16,an=4,则am的值为　 　.  15.(1)如果·=a7,则n的值是( ) 16.计算: (1)x·x5+x2·x4; (2)(-)×(-)2×(-)3. (2)(-)×(-)2×(-)3=(-)1+2+3=()6=. 解:(1)∵2x·2y==25, ∴x+y=5. ∵x,y是正整数, ∴当x=1时,y=4;当x=2时,y=3;当x=3时,y=2;当x=4时,y=1. ∴正整数x,y共有4对. 解:(2)∵x-1+y+1=x+y, ∴·的计算结果是32. (2)根据条件能否快速判断出·的计算结果? $$第5课时　整式的乘法(3)——多项式乘多项式 知识点一　多项式乘多项式法则 (1)一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的　 　乘另一个多项式的　 　,再把所得的积　 　;  每一项 学新知　知识导学 01 每一项 相加 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) (2)几何解释:如图所示,大长方形的面积等于四个小长方形面积的和. ap aq bp bq 2 1.典例 如图所示,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:①(2a+b)(m+n);②2a(m+n)+b(m+n);③m(2a+b)+n(2a+b);④2am+2an+2bm+bn.你认为其中正确的有 　 　个.  3 3 2.(1)计算(x+3)(x-7)的结果是( ) A.x2+10x-21 B.x2-4x+21 C.x2-4x-21 D.x2+10x+21 (2)计算(x-3)(x-5)=　 　;  (3)计算(4x-3)(x+2)=　 　.  x2-8x+15 4x2+5x-6 C 4 知识点二　多项式乘多项式法则的运用 运用多项式与多项式相乘的法则进行运算时,要特别注意防止出现漏乘某些项的现象,每一项都包含它前面的符号,在计算时要先确定积中各项的符号(同号得正,异号得负). 5 3.典例 计算:(1)(5x+2y)(3x-2y); (2)(x+2y)(2x-3y). 解:(1)(5x+2y)(3x-2y)=15x2-10xy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2. (2)(x+2y)(2x-3y)=2x2-3xy+4xy-6y2 =2x2+xy-6y2. 6 4.计算:(1)(x+3y)(2x+3y); (2)(2a-b)(2b+3a). 解:(1)(x+3y)(2x+3y)=2x2+3xy+6xy+9y2 =2x2+9xy+9y2. (2)(2a-b)(2b+3a)=4ab+6a2-2b2-3ab =6a2+ab-2b2. 7 知识点三　混合运算 当同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等知识综合时,要注意运算顺序,有同类项的要合并同类项,最后结果必须是最简结果. 8 5.典例 计算5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5). 解:5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5) =5x3+10x2+5x-(2x2-10x+3x-15) =5x3+10x2+5x-2x2+10x-3x+15 =5x3+8x2+12x+15. 9 6.计算x(x+2y)-(y-3x)(x+y). 解:x(x+2y)-(y-3x)(x+y)=x2+2xy-(xy+y2-3x2-3xy) =x2+2xy+2xy-y2+3x2 =4x2+4xy-y2. 10 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.计算(2a+b)(a-2b)等于( ) A.2a2-2ab-2b2 B.2a2-2ab+2b2 C.2a2-3ab-2b2 D.2a2-3ab+2b2 C 11 8.某公园里有一个长方形花坛,原来长为3x,宽为x,现在要把花坛四周均向外扩展y,则这个花坛扩展后的面积为( ) A.(3x+2y)·x B.(x+2y)·3x C.3xym2 D.(3x+2y)(x+2y) 9.计算:(1)(x-3)(x+5)=　 　;  (2)(a-b)(a2+ab+b2)=　 　;  (3)(a+3b)(a-b)-b(2a-b)=　 　.  D x2+2x-15 a3-b3 a2-2b2 12 10.计算: (1)(x-1)(x2+x+1); (2)(x+3)(x-2)-x(x-1). 解:(1)(x-1)(x2+x+1)=x3+x2+x-x2-x-1 =x3+x2-x2+x-x-1=x3-1. (2)(x+3)(x-2)-x(x-1) =x2-2x+3x-6-x2+x =x2-x2-2x+x+3x-6 =2x-6. 13 能力进阶 11.(1)如果(x-4)(2x-3)=2x2+mx+n,那么m,n的值分别是( ) A.-11,12 B.11,12 C.-11,-12 D.11,-12 (2)如果(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为 ( ) A.-3 B.3 C.-1 D.1 (3)若a2+a-5=0,则代数式(a2-5)(a+1)的值为　 　.  A A -5 14 15 13.如图所示,在长为(4a-1)m、宽为(3b+2)m的长方形铁片上,挖去一个长为(3a-2)m、宽为2b m的小长方形铁片. (1)计算剩余部分(即阴影部分)的面积; 解:(1)剩余部分(即阴影部分)的面积为 (4a-1)(3b+2)-2b(3a-2)=12ab+8a-3b-2-6ab+4b=(6ab+8a+ b-2)(m2). 16 (2)当a=4,b=3时,求图中阴影部分的面积. 解:(2)当a=4,b=3时, 阴影部分的面积为6ab+8a+b-2=6×4×3+8×4+3-2=105(m2). 17 谢谢观赏！ 18 12.先化简,再求值:(2x+y)(x-y)-2(x2-3xy)+y2,其中x=-2,y=. 解:(2x+y)(x-y)-2(x2-3xy)+y2 =2x2-2xy+xy-y2-2x2+6xy+y2 =5xy. 当x=-2,y=时,原式=5×(-2)×=-5. $$第7课时　整式的乘法(5)——整式的除法 知识点一　单项式除以单项式 (1)一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别　 　作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式;  学新知　知识导学 01 相除 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) (2)一般步骤:①把系数相除,所得结果作为商的系数;②把同底数幂分别相除,所得结果作为商的因式;③把只在被除式里含有的字母,连同它的指数作为商的一个因式. 2 1.典例 计算-21a2b3c÷3ab等于( ) A.-7ab2 B.-7ab2c C.7ab2c D.-7abc 2.计算:(1)6a7b6÷3a3b2=　 　;  (2)-16a4b2c÷4a4b2=　 　.  B 2a4b4 -4c 3 解:(1)28x4y2÷7x3y=4xy. 4 4.计算: (1)(2a)3·b4÷12a3b2; (2)(6x2y3z2)2÷4x3y4. (2)(6x2y3z2)2÷4x3y4=36x4y6z4÷4x3y4=9xy2z4. 5 知识点二　多项式除以单项式 一般地,多项式除以单项式,先把这个多项式的　 　除以这个　 　,再把所得的商　 　.  每一项 单项式 相加 6 5.典例 (2025韶关期末)化简(6ab-8a)÷2a等于( ) A.3b-4a B.3b+4 C.3b-4 D.6b-4 6.计算:(1)(6x2y2-4xy)÷2xy=　 　;  (2)(12x4+15x3-9x2)÷3x2=　 　.  C 3xy-2 4x2+5x-3 7 解:(1)(2x2y+6xy3)÷2xy=x+3y2. 8 解:(1)(2a3b-ab2+ab)÷ab=2a3b÷ab-ab2÷ab+ab÷ab=2a2-b+1. (2)(25x3y-10x2y2+15xy3)÷(-5xy)=-5x2+2xy-3y2. 9 精评价　层级演练 02 基础巩固 D 10 10.计算(12x3-8x2+4x)÷(-4x)等于( ) A.-3x2+2x B.-3x2-2x C.-3x2+2x-1 D.3x2-2x+1 C 11 11.长方形的面积是12a2-6ab,若一边长为2a,则其邻边长为 ( ) A.6a-3b B.6a+3b C.3a-6b D.3a+6b 12.计算(-2a4bc+12a3b2+9a2b3)÷3a2b=　 　.  A 12 13.(2025北京期末)计算(-a2b)3+(2a7b4+ab)÷ab. 解:(-a2b)3+(2a7b4+ab)÷ab =-a6b3+2a6b3+1 =a6b3+1. 13 14.计算(9a3b-6a2b2+3ab)÷3ab+3ab. 解:(9a3b-6a2b2+3ab)÷3ab+3ab =3a2-2ab+1+3ab =3a2+ab+1. 14 能力进阶 15.下列计算正确的是( ) A.(6xy+5x)÷x=6y+5 B.(15x2y-10xy2)÷5xy=3x-2y2 C.(5x3-2x2+x)÷x=5x2-2x D.(12x3y-8x3)÷(4x)2=3xy-2 16.若一个多项式M与单项式2x2的积是10x4-8x5,则这个多 项式M是　 　.  A 5x2-4x3 15 17.先化简,再求值:(8xy2-6x2y)÷2y,其中 x=2,y=1. 解:(8xy2-6x2y)÷2y =4xy-3x2. 当x=2,y=1时,原式=4×2×1-3×22=-4. 16 18.已知一个三角形的面积为8x3y2-4x2y3,一条边长为8x2y2,求这条边上的高. 17 解:商的第一项为21x4y3÷(-7x2y)=-3x2y2. 被除数的第二项被墨水弄污的地方为-(-7x2y)×5xy=35x3y2. 18 谢谢观赏！ 19 3.典例 计算: (1)28x4y2÷7x3y; (2)(-a7b5)÷a2b5. (2)(-a7b5)÷a2b5=-a7-2b5-5=-a5. 解:(1)(2a)3·b4÷12a3b2=8a3·b4÷12a3b2=b2. 7.典例 计算: (1)(2x2y+6xy3)÷2xy. (2)(a3x4-0.9ax3)÷ax3; (3)(7x2y3-8x3y2z)÷8x2y2. (2)(a3x4-0.9ax3)÷ax3=2a2x-. (3)(7x2y3-8x3y2z)÷8x2y2=y-xz. 8.计算: (1)(2a3b-ab2+ab)÷ab; (2)(25x3y-10x2y2+15xy3)÷(-5xy); (3)(4x3y2-3x2y2-x2y5)÷(-xy). (3)(4x3y2-3x2y2-x2y5)÷(-xy)=-8x2y+6xy+xy4. 9.计算(3x2y-6x3)÷(-2x)结果正确的是( ) A.xy-6x3 B.-xy-3x2 C.xy-3x2 D.-xy+3x2 -a2c+4ab+3b2 解:∵三角形的面积=×底×高, ∴高为2(8x3y2-4x2y3)÷8x2y2=(16x3y2-8x2y3)÷8x2y2=16x3y2÷ 8x2y2-8x2y3÷8x2y2=2x-y. 19.小红在做课后作业时,发现一道如下的三项式除以单项式的运算题被墨水弄污了,你能算出这两项被弄污的内容是什么吗? (21x4y3-+7x2y2)÷(-7x2y)=+5xy-y. $$第3课时　整式的乘法(1)——单项式乘单项式 知识点一　单项式乘单项式法则 一般地,单项式与单项式相乘,把它们的　 　、同底数幂分别　 　作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的　 　作为积的一个因式.  系数 学新知　知识导学 01 相乘 指数 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 1.典例 (1)(2024湖北)计算2x·3x2的结果是( ) A.5x2 B.6x2 C.5x3 D.6x3 (2)计算(-2ab2)2·a3b2等于( ) A.4a5b6 B.4a6b6 C.4a6b8 D.-4a6b6 D A 2 解:(1)4y·(-2xy3)=-8xy4. 3 知识点二　单项式乘单项式的一般步骤 (1)系数相乘:先确定符号,再将系数的绝对值相乘; (2)同底数幂相乘:底数不变,指数相加; (3)只在一个单项式里含有的字母,连同字母的指数写在积里. 4 解:(1)(-4xy3)(-2x)=8x2y3. 5 6 知识点三　单项式乘单项式的简单应用 科学记数法表示的数进行运算时,要注意将前面的数和幂的部分分别相乘,最后化成科学记数法的形式. 7 5.典例 新教材样板题 光的速度约为3×105 km/s,太阳光射到地球上需要的时间约是5×102 s,地球与太阳的距离约是多少千米? 解:3×105×5×102=15×107=1.5×108(km). 答:地球与太阳的距离约是1.5×108 km. 8 6.一种电子计算机每秒可做4×109次运算,它工作5×102 s可做多少次运算? 解:4×109×5×102=2×1012(次). 答:它工作5×102 s可做2×1012次运算. 9 精评价　层级演练 02 基础巩固 7.若2x·(　　)=-6x3y,则括号内应填的代数式是( ) A.3xy B.-3xy C.-3x2y D.-3y 8.下列计算正确的是( ) A.2a2·3ab=9a3b B.(x2)3+(x3)2=2x5 C.(-3a2b)·(-3ab)=-6a3b2 D.(ab)2·(-a2b)=-a4b3 C D 10 9.(1)计算(4×106)×(-8×108)的结果用科学记数法表示为 　 　;  (2)若(mx3)·(2xk)=-8x18,则适合此等式的m=　 　,k=　 　. -3.2×1015 -4 15 11 解:(1)3a2·2a3=(3×2)×(a2·a3)=6a5. 12 能力进阶 D C 13 13.跨学科融合 光的速度约为3×105 km/s,太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,大约需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s计算,则这颗恒星到地球的距离约是　 　km.  14.“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法,它在多项式的化简与求值中应用极为广泛,如:已知m+n=6,mn=4,则2(mn·3m)·3(2n·mn)的值为　 　.  3.6×1013 2 304 14 15 16.如图所示,是小丽家的住房结构平面图(单位:m). (1)房屋的总面积为　 　m2;  (2)小丽家打算在客厅铺每平方米a元的地砖,在卧室铺每平方米b元的木地板,则购买客厅地砖和卧室地板共需要 　元 (用代数式表示).  18xy 6axy+6bxy 16 谢谢观赏！ 17 2.计算: (1)4y·(-2xy3); (2)(m)2·(-3m3n)3. (2)(m)2·(-3m3n)3=(m2)(-27m9n3)=-3m11n3. 3.典例 计算: (1)(-4xy3)(-2x); (2)(x3y2)(-x2y3)2. (2)(x3y2)(-x2y3)2=(x3y2)(x4y6)=x3+4y2+6=x7y8. 4.计算-2x2yz·(-xy2z)·(9xyz2). 解:-2x2yz·(-xy2z)·(9xyz2) =2××9x2+1+1y1+2+1z1+1+2 =3x4y4z4. 10.计算: (1)3a2·2a3;(2)m·16mn2. (2)m·16mn2=(×16)×(m·m)·n2=4m2n2. 11.计算-(-a2b3)2·(-3a3b2)2(-1)2的结果为( ) A.4a10b10 B.-2a10b10 C.2a10b10 D.-4a10b10 12.(2025深圳龙华区期中)若单项式-4xay和x2yb的积为-2x7y6,则ab的算术平方根为( ) A. B. C.5 D.10 15.先化简.再求值:(-2a2b3)·(-ab2)2+(-a2b3)2·4b,其中a=2, b=1. 解:(-2a2b3)·(-ab2)2+(-a2b3)2·4b =-2a2b3·a2b4+a4b6·4b =-2a4b7+a4b7 =-a4b7. 当a=2,b=1时, 原式=-24×17=-16. $$第十六章　章末知识复习 考点1　幂的相关计算 1.(2024日照)下列计算正确的是( ) A.(2a2)3=6a6 B.a3-a2=a C.a3·a4=a12 D.a4÷a3=a D 分类练　考点集训 01 初中同步学习导与练·数学·RJ·八上(粤) 2.计算: (1)(m-1)3·(1-m)4·(1-m)5·(m-1)2; (2)(-a2)2·a5+a10÷a-(-2a3)3. 解:(1)(m-1)3·(1-m)4·(1-m)5·(m-1)2 =-(m-1)3·(m-1)4·(m-1)5·(m-1)2 =-(m-1)14. (2)(-a2)2·a5+a10÷a-(-2a3)3 =a4·a5+a10-1+8a9 =a9+a9+8a9 =10a9. 2 考点2　整式的乘法 3.(2024成都)下列计算正确的是( ) A.(3x)2=3x2 B.3x+3y=6xy C.(x+y)2=x2+y2 D.(x+2)(x-2)=x2-4 D 3 4.计算: (1)(-2xy2)2·3x2y; 解:(1)(-2xy2)2·3x2y =4x2y4·3x2y =12x4y5. 4 (2)(-2a2)(3ab2-5ab3); (3)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1). 解:(2)(-2a2)(3ab2-5ab3) =-2a2·3ab2-2a2·(-5ab3) =-6a3b2+10a3b3. (3)(x+7)(x-6)-(x-2)(x+1) =x2-6x+7x-42-x2-x+2x+2 =2x-40. 5 考点3　整式的除法 5.(2024泰安)下列运算正确的是( ) A.2x2y-3xy2=-x2y B.4x8y2÷2x2y2=2x4 C.(x-y)(-x-y)=x2-y2 D.(x2y3)2=x4y6 D 6 6.(2025广州期末)计算(15xy2-5xy+10y)÷5y. 解:(15xy2-5xy+10y)÷5y =15xy2÷5y-5xy÷5y+10y÷5y =3xy-x+2. 7 考点4　乘法公式 7.化简(3x+1)(3x-1)-(2x-1)2. 解:(3x+1)(3x-1)-(2x-1)2 =9x2-1-(4x2-4x+1) =9x2-1-4x2+4x-1 =5x2+4x-2. 8 8.如图所示,学校有一块边长为(2a+b) m的正方形空地,计划在阴影部分的地方进行绿化,搭建一个小花坛,中间修建一个长为(a+b) m、宽为b m的鱼池供观赏. (1)绿化部分的面积是多少平方米? 解:(1)S绿化部分=S正方形-S长方形 =(2a+b)2-b(a+b) =4a2+4ab+b2-ab-b2 =4a2+3ab(m2), ∴绿化部分的面积是(4a2+3ab) m2. 9 (2)当a=4,b=3时,求绿化部分的面积. 解:(2)当a=4,b=3时, 4a2+3ab=4×16+3×4×3=100, ∴当a=4,b=3时,绿化部分的面积为100 m2. 10 11 10.(2024西宁)先化简,再求值:(3a-1)2-2a(4a-1),其中a满足a2-4a+3=0. 解:(3a-1)2-2a(4a-1) =(9a2-6a+1)-8a2+2a =(9a2-8a2)+(-6a+2a)+1 =a2-4a+1. ∵a2-4a+3=0,∴a2-4a=-3. ∴原式=a2-4a+1=-3+1=-2. 12 讲方法　数学思想 02 类型一　数形结合思想 类型解读 用几何图形的面积表示乘法公式. 13 11.(2025阳江江城区期末)如图所示,小明利用4张如图(1)所示的长为a、宽为b的长方形卡片,拼成如图(2)所示的图形,则根据图(2)的面积关系能验证的恒等式为( ) A.(a+2b)2=a2+4ab+4b2 B.(a+b)2=(a-b)2+4ab C.(2a+b)2=4a2+4ab+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2 B 14 类型二　整体思想 类型解读 不求每个字母的值,利用整体思想求代数式的值. 15 12.已知(x+y)2=9,xy=-2,求下列代数式的值: (1)x2+y2;　　(2)x-y. 解:(1)∵(x+y)2=9,xy=-2, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=9-2×(-2)=9+4=13. 16 类型三　分类讨论思想 类型解读 对底数和指数不确定时,需要分类讨论. 17 13.小明学习了“幂的运算”后做这样一道题:若(2x-3)x+3=1,求x的值,小明的解答过程如下: 解:∵1的任何次幂为1, ∴2x-3=1.解得x=2.且2+3=5, 故(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1. ∴x=2. 老师说小明考虑问题不全面,请写出正确的解答过程. 18 解:①∵1的任何次幂为1, ∴2x-3=1.解得x=2.且2+3=5. ∴(2x-3)x+3=(2×2-3)2+3=15=1. ∴x=2; ②∵-1的任何偶次幂也都是1, ∴2x-3=-1.解得x=1. 当x=1时,x+3=4是偶数,∴x=1; 19 ③∵任何不是0的数的0次幂也是1, ∴x+3=0.解得x=-3. 当x=-3时,2x-3=-9≠0,∴x=-3. 综上,可知x的值为-3或1或2. 20 谢谢观赏！ 21 考点5　整式的混合运算 9.(2024通辽)先化简,再求值:(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b),其中a=-,b=2. 解:(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b) =4a2-b2-(4a2-ab+4ab-b2) =4a2-b2-4a2+ab-4ab+b2 =-3ab. 当a=-,b=2时,原式=3×2=6. (2)∵(x+y)2=9,xy=-2, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=9-4×(-2)=9+8=17. ∴x-y=±. $$