频率分布直方图及其应用专项训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

频率分布直方图及其应用 1.频率分布直方图的画法 例1 为了解某种树的生长状况，现测量了20棵该种树的树干周长（单位：cm），其具体数据如下： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 根据以上数据，确定适当的组数和组距，画出树干周长的频率分布直方图 2.根据频率分布直方图求参数 根据各个小矩形的面积之和为1，可以求出未知参数的值 例2 从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50到350KW.h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布分布直方图如图所示 （1）直方图中的值为 （2）在被调查的用户中，用电量在区间[100,250)内的户数为 3.利用频率分布直方图计算样本数字特征 在频率分布直方图中，如果没有特殊说明，一般以各组的组中值（两端点之和除以2）代表该组数据 例如：在例2中，月用电量的第一组区间为[50,100),由于，因此可用75代表第一组数据. ①众数 在频率分布直方图中找到最高的小矩形，该矩形对应的组中值就是样本数据的众数. 【问题】在例2中，求用电量的众数. ②中位数 在频率分布直方图的横轴上找一点，使得在该点左右两侧的小矩形的面积都是0.5，则该点对应的数值就是中位数. 【问题】在例2中，求用电量的中位数. ③分位数 若要求第百分位数，只需要在频率分布直方图的横轴上找一点，使得在该点左侧的小矩形的面积为，则该点对应的数值就是样本数据的第百分位数. 【问题】在例2中，求100户居民用电量的第25，50,75百分位数. ④平均数 各组的组中值与相应矩形面积的乘积之和 【问题】在例2中，求这100户居民的月用电量的平均值 ⑤方差和标准差 各组的组中值与平均数差值的平方，与相应矩形面积的乘积之和为方差；标准差是方差的算术平方根. 【问题】在例2中，求这100户居民的月用电量的方差和标准差. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 频率分布直方图及其应用 1.频率分布直方图的画法 例1 为了解某种树的生长状况，现测量了20棵该种树的树干周长（单位：cm），其具体数据如下： 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 128 根据以上数据，确定适当的组数和组距，画出树干周长的频率分布直方图 解：①求极差 最大值为130cm，最小值为121cm ∴极差=130-121=9cm ②确定组距与组数 将组距定为2，则 即可以将数据分为5组 ③将数据分组 第一组的左端点略小于最小值，最后一组的右端点略大于最大值，可以取区间[120.5 ,130.5],将样本观测数据分为5组： [120.5,122.5),[122.5,124.5),[124.5,126.5), [126.5,128.5),[128.5,130.5] ④列频率分布表 分组 频数 频率 频率/组距 [120.5,122.5) 2 0.10 0.050 [122.5,124.5) 3 0.15 0.075 [124.5,126.5) 8 0.40 0.200 [126.5,128.5) 4 0.20 0.100 [128.5,130.5] 3 0.15 0.075 总计 20 1 ⑤画频率分布直方图 2.根据频率分布直方图求参数 根据各个小矩形的面积之和为1，可以求出未知参数的值 例2 从某小区抽取100户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在50到350KW.h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布分布直方图如图所示 （1）直方图中的值为 （2）在被调查的用户中，用电量在区间[100,250)内的户数为 解：（1）根据各个小矩形的面积之和为1可得： 50×（0.0024+0.0036+0.0060++0.0024+0.0012）=1 解得 （2）用电量落在[100,250)的频率为 所以用电量在区间[100,250)内的户数为 （户） 3.利用频率分布直方图计算样本数字特征 在频率分布直方图中，如果没有特殊说明，一般以各组的组中值（两端点之和除以2）代表该组数据 例如：在例2中，月用电量的第一组区间为[50,100),由于，因此可用75代表第一组数据. ①众数 在频率分布直方图中找到最高的小矩形，该矩形对应的组中值就是样本数据的众数. 在例2中，第三个小矩形最高，对应的组中值为，所以这100户居民用电量的众数为175KW.h ②中位数 在频率分布直方图的横轴上找一点，使得在该点左右两侧的小矩形的面积都是0.5，则该点对应的数值就是中位数. 在例2中，前两个小矩形的面积为 前三个小矩形的面积为 因为，所以中位数应在[150,200)内，设中位数为，则 解得 所以这100户居民用电量的中位数为183.33KW.h ③分位数 若要求第百分位数，只需要在频率分布直方图的横轴上找一点，使得在该点左侧的小矩形的面积为，则该点对应的数值就是样本数据的第百分位数. 例如，在例2中，求100户居民用电量的第25，50,75百分位数. 解：第一个小矩形的面积为，前两个小矩形的面积为0.3，因为，所以第25百分数在区间[100,150）内，设其为，则 解得 第50百分位数就是中位数，其数值为183.33KW.h 前三个小矩形的面积为0.6，前四个小矩形的面积为，因为，所以第75百分位数在区间[200,250)内，设其为，则 解得 ∴这100户居民用电量的第25,50,75百分位数分别为136.11KW.h,183.33KW.h,234.09KW.h 第25，50，75百分位数也称为0.25分位数、0.50分位数、0.75分位数，常用的分位数还有第80百分位数（0.80分位数）、第90百分位数（0.90分位数）、第95百分位数（0.95分位数）. ④平均数 各组的组中值与相应矩形面积的乘积之和 在例2中，求这100户居民的月用电量的平均值 解：75×50×0.0024+125×50×0.0036+175×50×0.0060+225×50×0.0044+275×50×0.0024+325×50×0.0012=25×50×（3×0.0024+5×0.0036+7×0.0060+9×0.0044+11×0.0024+13×0.0012）=186 ∴这100户居民的月用电量的平均值为186KW.h ⑤方差和标准差 各组的组中值与平均数差值的平方，与相应矩形面积的乘积之和为方差；标准差是方差的算术平方根. 在例2中，求这100户居民的月用电量的方差和标准差. 解：各小矩形的面积为0.12,0.18,0.3,0.22，0.12,0.06 =4629， ∴这100户居民的月用电量的方差为4629，标准差为68.04 学科网（北京）股份有限公司 $$