6.1 不等式 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级上册

第6章 一元一次不等式 6.1 不等式 第1课时 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 1 1.了解不等式和一元一次不等式的概念，认识不等号的含义； 2.学会并准确运用不等式表示数量关系； 3.理解不等式的解与不等式的解集，会在数轴上表示不等式的解集，体会数形结合的思想. 学习目标 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 2 如：156 > 155或155 < 156. 155cm 156cm 注意：a＜b就是b＞a，它们是一样的. 现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系. 对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢？ 例如，小明的身高为155cm，小聪的身高为156cm，我们可以用不等号“>”或“<”来表示他们的身高之间的关系. 新知探究 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 3 如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码，左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量x g与质量为50g的砝码之间具有怎样的关系？ 新知探究 我们很容易知道圆球的质量大于砝码的质量，即x > 50. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 4 新知探究 一辆小轿车在一条规定车速应高于60km/h，且低于120 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？ 根据路程与速度、时间之间的关系可得： s>60x，且s<120x. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 5 新知探究 闪电的温度大约是28 000℃，比太阳表面的温度的4.5倍还要高. 设太阳表面温度为t ℃，那么 t 应满足的关系式是____________________. 4.5 t < 28 000 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 6 新知探究 用适当的式子表示下列关系： (1) a 与 b 的差是负数. ____________ (2) x 的 5 倍与 1 的差大于 x 的 3 倍. __________ (3) 2x 与 3 的和不大于5. __________ a – b < 0 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 不大于，即小于或等于，用“≤”表示；不小于，即大于或等于，用“≥”表示. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 7 新知探究 某种药品每片 0.25 g，说明书上写着：“每日用量0.75 ~ 2.25 g(包括0.75 g和2.25 g)，分 3 次服用”. 设某人一次服用 x 片，那么 x 应满足的关系式是________________________. 0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 8 新知探究 a – b < 0 156> 155 4.5 t < 28 000 2x + 3 ≤ 5 0.75 ≤ 0.25x ×3 ≤ 2.25 用不等号（＞、≥、＜、≤ 或 ≠ ）表示不等关系的式子叫作不等式. 特别提醒: 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 9 新知探究 符号 读法 意义 例子 小于 小于、不足 大于 大于、高于 ①小于等于；②不大于 不大于、不超过、至多 ①大于等于；②不小于 不小于、不低于、至少 不等于 不相等 常用不等号 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 10 解析：①②⑤⑥均是用不等号连接的式子，是不等式；③是等式， ④是代数式. 跟踪训练 1.下列式子：① -2 > 0；② 4x + y < 1；③ x + 3 = 0 ；④ y – 7 ；⑤ m - 2.5 ≤ 3 ；⑥ x ≠ -3.其中是不等式的有( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 C ① −2>0 （虽然不成立，但也是不等式） 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 11 列不等式的基本步骤: ① 认真审题，找出问题中要对比的量，并能用代数式表示出来； ② 找出问题中表示不等关系的关键词，并用不等号将具有不等关系的量连接起来. 跟踪训练 2.用不等式表示下列数量关系. ① a 与 5 的和小于 7 ② a 的 4 倍大于 8； ③ a 的一半小于3. ① a + 5 < 7； ② 4a > 8； ③ a < 3. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 12 归纳总结 基本语言 符号表示 a 是正数 a 是非负数 a 大于b a 不小于b a、b 同号 常用的不等式基本语言与符号表示: a > 0 a ≥ 0 a > b a ≥ b ab > 0 (或 ) 基本语言 符号表示 a 是负数 a 是非正数 a 小于b a 不大于b a、b 异号 a < 0 a ≤ 0 a < b a ≤ b ab < 0 (或 ) 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 13 新知探究 1 < 2 -3 > -4 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 t – 2 ≥ 3t - 1 6 > -6 不含未知数： 含有未知数： 1 < 2 -3 > -4 6 > -6 5x – 1 > 3x 2x + 3 ≤ 5 t – 2 ≥ 3t - 1 不等式中可以含未知数也可以不含未知数. 观察下面的不等式，说说你的发现. 像这样,不等式的两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1的不等式叫作一元一次不等式。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 14 新知探究 判断不等式是否为一元一次不等式的方法： ①是不等式 ②不等式两边都是整式 ③只含一个未知数 ④未知数次数都是1且其系数不为0 想一想：什么叫做一元一次方程？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 15 新知探究 一元一次不等式 一元一次方程 相同点 未知数的个数 1 1 未知数的次数 1 1 式子特点 左、右两边均为整式 左、右两边均为整式 不同点 表示关系 不等 相等 一元一次不等式与一元一次方程的相同点与不同点 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 16 新知探究 为了加强体育锻炼,增强学生体质,某中学要购买足球和篮球共 100个。已知足球和篮球的价格分别为120元/个和170元/个,购买的总费用不超过15000元。如何用数学语言表示这种不等关系? 解：设购买的足球数为x 个,则购买的篮球数为(100-x)个,购买足球和篮球的费用分别为120x元和170(100-x)元。 ∴购买的总费用不超过15000元,所以120x+170(100-x)≤15000。 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 17 跟踪训练 3、已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元. 小华想要买3支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x，y的不等式来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系？ 解 3x+10(x+y)<50 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 18 跟踪训练 4、某次数学测验,共20道选择题,评分方法是答对一道题得5分,答错或不答扣3分.某同学要想在选择题上至少得60分,他至少要答对多少道题(只列不等式)? 解：设答对x道题,则不答或答错的题目数量为(20-x)道题,根据题意可得5x-3(20-x)≥60. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 19 跟踪训练 5、学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 (　 　) A.两种客车总的载客量不少于500人 B.两种客车总的载客量不超过500人 C.两种客车总的载客量不足500人 D.两种客车总的载客量恰好等于500人 A 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 20 新知探究 列不等式的基本步骤: ①认真审题，找出问题中要对比的量; ②将要对比的量用代数式表示出来; ③找出问题中表示不等关系的关键词，并用不等号表示出来; ④用不等号将所列的代数式连接起来，列出不等式. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 21 新知探究 2x + 3 ≤ 5 x取值 2x+3的值 0 2x + 3 = 2×0 + 3 = 3 < 5 1 2x + 3 = 2×1 + 3 = 5 = 5 2 2x + 3 = 2×2 + 3 = 7 > 5 当 x 取某些值(如 0，1)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 成立. 当 x 取另外一些值(如 2)时，不等式 2x + 3 ≤ 5 不成立. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 22 新知探究 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. 判断一个数是不是不等式的解的方法 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数，看不等式是否成立.若成立，则该数是不等式的一个解，反之不是. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 23 新知探究 -1，0.5，1.5，-2 当x = -1 时 2x + 3 = 2×(-1) +3 = 1 <5 成立 当x = 0.5时 2x + 3 = 2×0.5 +3 = 4 <5 成立 当x = 1.5时 2x + 3 = 2×1.5 +3 = 6 > 5 不成立 当x = -2时 2x + 3 = 2×(-2) +3 = -1 <5 成立 判断下列给出的数中哪些能使2x + 3 ≤ 5 成立： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 24 新知探究 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 求不等式的解集的过程叫做解不等式. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 25 新知探究 不等式的解 不等式的解集 区 别 定义 特点 形式 联 系 使不等式成立的未知数的值 使不等式成立的所有未知数的值 个体 全体 如：7是x+1>5的一个解 如：x > 4是 x+1>5 的解集 所有的解组成解集，解集包含所有的解 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 26 x取值 2x + 3 的值 新知探究 你还能找出使上述不等式成立的其他数吗？找出后在数轴上标出来，你有什么发现？ -0.5 2x + 3 = 2×(-0.5) + 3 = 2 < 5 -2.5 2x + 3 = 2×(-2.5) + 3 = -2 < 5 -3 2x + 3 = 2×(-3) + 3 = -3 < 5 -4 -5 2x + 3 = 2×(-4) + 3 = -5 < 5 2x + 3 = 2×(-5) + 3 = -7 < 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.5 -2.5 -3 -4 -5 所有的数都不大于1 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 27 新知探究 用式子： 用最简形式的不等式(如 x>a 或 x<a)来表示. 用数轴： 一般标出数轴上某一区间，其中的点对应的数值都是不等式的解. 怎样表示不等式的解集呢？ 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 28 新知探究 不等式的解集 x > a x < a x ≥ a x ≤ a 数轴表示 1.画数轴：原点、单位长度和正方向； 2.定边界：在数轴上标出边界点，注意是实心圆点还是空心圆圈，有等号边界点画实心圆点(表示包括这一点)，无等号边界点画空心圆圈(表示不包括这一点)； 3.定方向：大于向右，小于向左. a a a a 用数轴表示不等式的解集的步骤： 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 29 新知探究 如何在数轴上表示出不等式 2x + 3 ≤ 5的解集 x ≤ 1？ 首先在数轴上标出表示1的点A -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 A 画数轴 1 定边界 2 定方向 3 由于数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，所以图中阴影部分即为不等式的解集. 实心圆表示解集包括1 若解集不包括1则表示为空心圆 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 30 跟踪训练 利用数轴表示下列不等式的解集. (1) x > -5 (2) x ≤ -2 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 (1) (2) 表示-5的点 空心表示不含该点 方向向右 表示-2的点 实心表示包含该点 方向向左 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 31 当堂练习 1.据某天气网站预测，某市最高气温是 6°C，最低气温是 -1 °C，则当天该市气温 t (单位：°C)的变化范围是( ) A. t > 6 B. t < l C. -1 < t < 6 D. -1 ≤ t ≤ 6 t ≤ 6 t ≥ -1 D 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 32 当堂练习 2.一个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式可能是( ) A. x > -1 B. x ≥ - 1 C. x < -1 D. x ≤ -1     A 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 33 当堂练习     x-3≤6   青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 34 当堂练习 4.艺术展的票价是：每张50元；一次购票满30张，每张可少收10元.某班有27人去参观艺术展.当班长王小华准备到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏喊住了王小华，提议买30张票.但有同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？ 那么，李敏的提议对不对呢？是不是真的“浪费”？谈谈你们的看法. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 35 当堂练习 买27张票，要付款 买30张票，要付款 显然 1 200<1 350 我们不妨一起来算一算 50×27＝1 350（元） 40×30＝1 200（元） 这就是说，买30张票比买27张票付款要少，表面上看是“浪费”了3张票，而实际上节省了. 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 36 新知探究 不等式 概念 列不等式 一般地，用不等号等连接而成的式子叫作不等式 确定不等量关系两边的代数式； 抓住关键词，选准不等号 解 “＞”“＜”“≥”“≤”“≠” 使不等式成立的未知数的值 解集 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集 解集的表示方法 代数形式 数轴 青岛版 数学 八年级上册（2025年秋） 37 $$