05讲全称量词与存在量词（思维导图+知识梳理+常考题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版2019必修第一册

1.5全称量词与存在量词 模块一 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 符号语言 符号简记为“∀x∈M，p(x)”，读作“对M中任意一个x，有p(x)成立” 2.对全称量词命题的理解 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 3．判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 模块二 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 符号语言 符号简记为“∃x∈M，p(x)”，读作“存在M中的一个x，使p(x)成立” 2.对存在量词命题的理解 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）存在量词命题的量词不可以省略。 3．判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1-1．下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 例1-2.下列命题中，是存在量词命题的是(    ) A. 正方形的四条边相等 B. 有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C. 正数的平方根不等于 D. 至少有一个正整数是偶数 【变式1-1】下列结论正确的个数是(    ) 命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； 命题“，”是全称量词命题； 是全称量词命题． A. B. C. D. 【变式1-2】关于命题，下列判断正确的是(    ) A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B. 命题“有一个自然数不大于”是全称量词命题 C. 命题“在素数中，有一个是偶数”是存在量词命题 D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【变式1-2】用符号“”“”表示下列含有量词的命题： 自然数的平方大于零； 存在一对整数，使； 存在一个无理数，它的立方是有理数． 题型二：全称量词命题与存在量词命题真假判断 例2-1.下列是全称量词命题且是真命题的为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，， 例2-2.下列存在量词命题是假命题的是(    ) A. 存在，使得  B. 有的质数是偶数 C. 存在，使 D. 有的有理数没有倒数 【变式2-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的为(    ) A. 有些四边形的内角和不等于 B. ， C. ， D. 所有能被整除的数都是偶数 【变式2-2】（多选）在下列命题中，真命题有(    ) A. ， B. ，是有理数 C. ，，使 D. ， 【变式2-3】（多选）下列存在量词命题是真命题的有(    ) A. 存在，使； B. 存在，使得； C. 有的素数是偶数； D. 有的有理数没有倒数． 题型三：根据命题的真假求参数 例3-1.若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 例3-2.已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 【变式3-2】已知，命题：，；命题：，． 若是真命题，求的最大值； 若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 模块三 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 3.对全称量词命题和存在量词命题否定的总结 .含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 题型四：对全称量词命题与存在量词命题的否定 例4-1.命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 例4-2命题“”的否定是(    ) A. B. C. D. 【变式4-1】命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【变式4-2】写出下列命题的否定，并判断真假. （1）正方形都是菱形； （2）； （3）； （4）所有能被2整除的数都是偶数. 题型五：原命题与命题否定的真假关系 例5.已知命题：：，，命题：，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【变式5-1】已知命题：“，”，命题：“，”若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【变式5-2】已知命题，；命题，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【变式5-3】已知命题，；命题，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 题型六：根据命题否定的真假求参数 例6.已知命题，，命题． 若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； 若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【变式6-1】设全集，集合，集合． 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围 若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【变式6-2】已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【变式6-3】已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5全称量词与存在量词 模块一 全称量词与全称量词命题 1.全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 符号语言 符号简记为“∀x∈M，p(x)”，读作“对M中任意一个x，有p(x)成立” 2.对全称量词命题的理解 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来． 3．判断全称量词命题真假 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可． 模块二 存在量词与存在量词命题 1.存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 符号语言 符号简记为“∃x∈M，p(x)”，读作“存在M中的一个x，使p(x)成立” 2.对存在量词命题的理解 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）存在量词命题的量词不可以省略。 3．判断存在量词命题真假 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个命题为真，否则为假． 题型一：全称量词命题与存在量词命题的辨析 例1-1．下列命题为全称量词命题的是（   ） A．圆内接三角形中有等腰三角形 B．存在一个实数与它的相反数的和不为0 C．矩形都有外接圆 D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【答案】C 【详解】A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题． 例1-2.下列命题中，是存在量词命题的是(    ) A. 正方形的四条边相等 B. 有两个角是的三角形是等腰直角三角形 C. 正数的平方根不等于 D. 至少有一个正整数是偶数 【答案】D  【解析】解：选项D含有存在量词，至少有一个，为存在量词命题， 选项ABC含有全称量词：任意的或者包含所有的意思，为全称量词命题． 故选：． 【变式1-1】下列结论正确的个数是(    ) 命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题； 命题“，”是全称量词命题； 是全称量词命题． A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 利用全称量词命题与存在量词命题的定义判断即可． 【解答】 解：是全称量词命题，错误； 是全称量词命题，正确； 错误，不是命题， 因此正确的个数是． 故选B． 【变式1-2】关于命题，下列判断正确的是(    ) A. 命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B. 命题“有一个自然数不大于”是全称量词命题 C. 命题“在素数中，有一个是偶数”是存在量词命题 D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【答案】C  【分析】 根据全称量词命题以及存在量词命题的定义判断，再由全称量词命题的否定为存在量词命题可判断． 【解答】 解：选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错； 选项，命题“有一个自然数不大于”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错； 选项，命题“在素数中，有一个是偶数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故C正确； 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错； 故选： 【变式1-2】用符号“”“”表示下列含有量词的命题： 自然数的平方大于零； 存在一对整数，使； 存在一个无理数，它的立方是有理数． 【解析】 依据命题中量词，判断是全称量词命题还是存在量词命题，进行改写． 【答案】 解：，． ，，使． 是无理数，是有理数．  题型二：全称量词命题与存在量词命题真假判断 例2-1.下列是全称量词命题且是真命题的为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】B  【分析】 根据全称量词命题的定义，利用特殊值法即可一一判断． 【解答】 解：选项C为存在量词命题；、、为全称量词命题； 由于时，，故A为假命题； 任意有理数的平方都是有理数，故B为真命题； 由于时，，故D为假命题． 故选B． 例2-2.下列存在量词命题是假命题的是(    ) A. 存在，使得  B. 有的质数是偶数 C. 存在，使 D. 有的有理数没有倒数 【答案】C  【分析】 本题考查存在量词命题的真假判断，属基础题． 对于，，分别举例，，即可知正确，对于，利用二次方程的判别式进行检验即可． 【解答】 有理数满足方程，故 A正确； 是质数，同时是偶数，故B正确； 的判别式， 该方程无实数解，故C错误； 有理数没有倒数，故D正确 综上，错误的是， 故选C． 【变式2-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的为(    ) A. 有些四边形的内角和不等于 B. ， C. ， D. 所有能被整除的数都是偶数 【答案】D  【分析】 本题考查命题的真假与全称量词命题 【解答】 解：和都是存在量词命题，是全称量词命题，但其是假命题． 【变式2-2】（多选）在下列命题中，真命题有(    ) A. ， B. ，是有理数 C. ，，使 D. ， 【答案】BC  【分析】 利用配方法判断；由有理数做加法、乘法仍然为有理数判断；利用特殊值判断、． 【解答】 对于选项A：由于，故选项A错误； 对于选项B：由于为有理数，所以也为有理数，故选项B正确； 对于选项C：当，时，，故选项C正确； 对于选项D：当时，，故选项D错误． 故选BC． 【变式2-3】（多选）下列存在量词命题是真命题的有(    ) A. 存在，使； B. 存在，使得； C. 有的素数是偶数； D. 有的有理数没有倒数． 【答案】ACD  【分析】 直接利用存在量词命题的真假判断选项即可． 【解答】解：存在，使成立，故A正确； B.对应方程，，方程无解，故B错误； C.素数是偶数，故C正确； D.有理数没有倒数，故D正确； 故选：． 题型三：根据命题的真假求参数 例3-1.若命题“存在，”是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 利用判别式求解即可． 【解答】 解：由题意知方程有实数解， ，解得，故选B． 例3-2.已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据原命题为真命题，可得，解得的取值范围． 【解答】 解：命题“，”是真命题， 应有，即，所以． 故选D． 【变式3-1】已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题主要考查充分不必要条件的应用，属于基础题． 【解答】 解：该命题是真命题，等价于， 因为在上的最大值是，所以 因为 ，，故选C． 【变式3-2】已知，命题：，；命题：，． 若是真命题，求的最大值； 若、中有且只有一个是真命题，求的取值范围． 【解析】本题考查命题真假的判断，涉及恒成立问题，属于基础题． 根据题意，若是真命题，即恒成立，分析在上的最小值，即可得答案． 根据题意，分析可得、一真一假，由此可得关于的不等式组，解可得答案． 【答案】解：根据题意，若是真命题，即恒成立， 当时，的最小值为， 所以，即的最大值为； 若是真命题，，解得或， 由已知、一真一假， 若真假，则， 若假真，则， 综上，或， 故的取值范围为或．  模块三 全称量词命题与存在量词命题的否定 1．命题的否定： （1）定义：一般的，对一个命题进行否定，就可以的到一个新的命题，这一新命题就成为原命题的否定．命题p的否定可用“”来表示，读作“非p”或p的否定． （2）命题的否定与原命题的真假关系：p的否定与p“一真一假” 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 否定形式 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题 3.对全称量词命题和存在量词命题否定的总结 .含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”. 题型四：对全称量词命题与存在量词命题的否定 例4-1.命题“，”的否定是 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【分析】 根据存在量词命题的否定是全称量词命题直接得出答案． 【解答】 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“  ，  ”的否定是为：  ，  ． 故选D． 例4-2命题“”的否定是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系可得． 【解答】 解：由题可知，原命题的否定为． 【变式4-1】命题“，”的否定为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  【分析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可判断． 【解答】 解：命题是全称量词命题，则命题的否定是存在量词命题， 命题“，”的否定为“，”． 故选：． 【变式4-2】写出下列命题的否定，并判断真假. （1）正方形都是菱形； （2）； （3）； （4）所有能被2整除的数都是偶数. 【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【详解】 （1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 题型五：原命题与命题否定的真假关系 例5.已知命题：：，，命题：，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B  【分析】 取特殊值判断命题；取判断命题，即可得到结果． 【解答】 解：对于命题，当时，，故是假命题，则为真命题， 对于命题，当时，，故是真命题，是假命题， 综上可得，和都是真命题． 故选B． 【变式5-1】已知命题：“，”，命题：“，”若命题和命题都是真命题，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D  【分析】 先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围． 【解答】解：若，，则，． 若，，则， 解得或． 命题和命题都是真命题， 或． 故选D． 【变式5-2】已知命题，；命题，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B  【解析】解：对于命题，，，命题为真命题， 对于命题，，， 当且仅当时，即当时，等号成立，则命题为假命题，故命题为真命题． 所以和都是真命题， 故选：． 【变式5-3】已知命题，；命题，，则(    ) A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】A  【解析】【详解】，，显然成立，所以是真命题，是假命题． 当，时，，所以是真命题，是假命题． 故选： 题型六：根据命题否定的真假求参数 例6.已知命题，，命题． 若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； 若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【解析】． 先由命题，分别为真求得的范围，然后根据题设条件分情况讨论，即可求得结果； 由中命题，分别为真时的范围，考虑，至少有一个为真命题的反面，结合集合的运算求补集即可． 【答案】解：当命题为真时有：，解得 当命题为真时有：，解得：， 又命题和命题有且只有一个为假命题， 当真时，为假，即真真，所以，无解； 当假时，为真，即假假，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围为： 由可知当假假时，． 所以当命题和命题至少有一个为真命题时， 实数的取值范围为：．  【变式6-1】设全集，集合，集合． 若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围 若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围． 【解析】 将充分不必要条件转化为真子集关系，利用真子集的定义即可列出不等式求解； 将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论，即可求解． 【答案】 解：“”是“”的充分不必要条件， ， 又，， 等号不同时取， ， 实数的取值范围为； 命题“，则”是真命题， ． 当时， ， ， ，符合题意； 当时， ，，且是的子集， 无解 综上所述：实数的取值范围为：．  【变式6-2】已知命题，，命题，. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【分析】 （1）依题意命题为真命题，即在时恒成立，可求实数的取值范围； （2）由为真命题的条件求的范围，结合为真命题时的范围，可求实数的取值范围. 【解答】 解：（1）命题为假命题，则命题为真命题，即在时恒成立， 所以，即实数的取值范围是. （2）命题，， 为真命题，则，解得， 又由（1）可知，命题为真命题时，， 所以命题和均为真命题，实数的取值范围为. 【变式6-3】已知命题“，使得”． (1)写出命题p的否定形式； (2)若命题是一个假命题，求实数a的取值范围． 【分析】 （1）根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解； （2）根据题意，转化为即不等式在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答】 （1）由命题“，使得”， 可得命题的否定为：“，使得”， （2）因为命题是一个假命题， 则命题“，使得”为真命题， 即不等式在上恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$