3.2.1单调性与最大（小）值检测卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.1函数的基本性质-单调性与最大（小值）检测卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 2．下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 8．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 2、 多选题 9、函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．最大值是 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的单调递减区间为 . 13、已知函数，则的值域为 . 14．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．画出函数的图像，据此讨论函数的单调性，并指出其值域。 16．已知二次函数，在上有最大值，求的解析式． 17．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 18．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 19、已知定义在上的函数满足： ①对任意的，都有； ②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 3.2.1函数的基本性质-单调性与最大（小值）检测卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 答案：B 分析：根据函数图象直接确定递增区间即可. 解析：由图象知，该函数的单调递增区间为和，故选：B． 2．下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析:利用各选项中函数式直接判断单调性即可. 解析：对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是； 对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是； 对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是； 对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是. 故选：A 3．已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 4．函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 答案：B 分析：判断函数定义域及单调性，即可判断函数最值. 解析：由已知，解得函数的定义域为， 且， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 即当时，取得最大值为，故选：B. 5．“”是“函数在区间上单调递减”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 分析:由充分条件和必要条件的概念，以及二次函数的单调性可得结果. 解析：充分性：当时，， 易知函数在区间上单调递减． 必要性：若在区间上单调递减，则需，即， 故“”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件． 故选：A. 6．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析:利用函数的单调性判断即可. 解析：由得，，结合在上单调递减， 则必有，显然B正确，A错误， 而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 答案：A 分析:根据分段函数解析式，分别在坐标系画出分段函数两个函数图象，结合图象可得满足函数在上单调递增时实数的取值范围. 解析：在同一坐标系下，作出函数与的图象，如图所示： 当时，或，由图可知函数在上单调递增，当时能满足. 故选：A. 8．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 答案：C 解析：由于二次函数在区间上既没有最大值也没有最小值， 因此函数在区间上是单调函数，二次函数对称轴 为，因此,所以。 故选：C 。 考点：二次函数的单调性； 3、 多选题 9、函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：BD 分析：根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 解析：由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误.故选：BD. 10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．最大值是 C．在上单调递减 D．在上单调递增 答案：CD 分析:取特值代入排除A项，利用函数的奇偶性定义判断B项；利用函数的单调性定义判断C，D两项. 解析：对于A，因，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：CD. 11．下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 答案：AC 分析：根据二次函数的性质求出最小值可判断A；利用换元法结合单调性求最值可判断B，由基本不等式求最值可判断CD，进而可得正确选项. 解析：对于A：，所以函数的最小值是，故选项A正确； 对于B：令，则在上单调递增，所以，所以的最小值为，故选项B不正确； 对于C：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是，故选项C符合题意； 对于D：当时，，当且仅当时等号成立，当时，，当且仅当时等号成立，的值域为，无最小值，故选项D不正确； 故选：AC. 三、填空题 12．函数的单调递减区间为 . 答案： 分析：根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 解析：由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 13、已知函数，则的值域为 . 答案： 分析：根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 解析：因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 14．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 答案： 分析：根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 解析：因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 四、解答题 15．画出函数的图像，据此讨论函数的单调性，并指出其值域。 分析：去绝对值，对函数进行分段，然后作出图像，根据函数图像确定单调区间及值域. 解析：即 图象如图所示 由图象知，函数在和上单调递增， 在和上单调递减, 因为：, 所以函数的值域为. 16．已知二次函数，在上有最大值，求的解析式． 分析：根据二次函数的性质即可求解. 解析：∵，对称轴是，开口向上， 当，即时，有， 当，即时，有， ∴. 17．已知函数． (1)已知在上单调递增，求的取值范围； (2)求在上的最大值． 分析：（1）可得对称轴为，根据开口向上即可求解； （2）由（1）有对称轴为，开口向上，根据的范围分类讨论即可求解. 解析：（1）由题意有函数，可得二次函数的图象开口向上，且对称轴为， 要使得在上单调递增，则满足，所以的取值范围为． （2）由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为， 当时，函数的最大值为； 当时，函数的最大值为； 综上，当时，函数的最大值为； 当时，的最大值为． 18．已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 分析：（1）根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证明； （2）根据函数的单调性求函数的最值. 解析：（1）在上是增函数，证明如下： 任取且，. ，，， ，即，在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. 19、已知定义在上的函数满足： ①对任意的，都有； ②当且仅当时，成立． (1)求； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围． 解析：（1）由，令，则，解得． （2）函数在上单调递减．证明如下：设，则，所以．因为，所以，则，故，所以函数在上单调递减． （3）由（2）可知，在上单调递减，存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立．令，则，所以存在，使得不等式成立，即存在，使得不等式成立．设．又，所以在上单调递增，所以，所以，即实数m的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$