1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第2课时）（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 人教A版2019选择性必修第一册·高二 1.4 空间向量及其运算 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （第2课时） 章节导读 空间向量的概念及其运算 空间向量基本定理与空间向量的坐标表示 用空间向量解决立体几何问题 空间向量的定义及其表示 空间向量的线性运算和数量积运算 空间向量运算的定义及其几何意义 空间向量运算的运算律 空间向量基本定理 空间直角坐标系 空间向量运算的坐标表示 用空间向量表示点、直线、平面等元素 用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论 学 习 目 标 1 2 3 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,提升数学抽象、直观想象的核心素养 用向量语言证明直线、平面平行的相关判定定理 会利用法向量和坐标法解决直线、平面间的平行关系,提升逻辑推理、直观想象的核心素养. 复习旧知 1. 如何用空间向量表示空间中的点、直线与平面？ 点 直线 平面 点+位置向量 点+直线方向向量 点+一个平面法向量 O P P A B O l A P 新课导入 2. 如何求直线的方向向量与平面的法向量？ 向量名称 图 示 求 法 直线的方向向量 平面的法向量 ① 设平面α的法向量 ③ 列方程组 ④解方程组，取其中的一个解，即得法向量. ① 找到l⊥α； ② l 的方向向量即为平面的法向量. ① 取两点； ② 定向量. ② 求平面α内的两个不共线向量 我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量，那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢? 首先来看平行的问题. 新知探究 问题1 由直线与直线平行的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？ 如图(1)所示，设 分别是直线l1, l2的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行，反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以 l1 l2 (1) 转化 直线 方向向量 新知探究 问题2 由直线与平面平行的关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系？ 如图(2)所示，设 是直线l的方向向量， 是平面α的法向量， 则 α l (2) m 直线 方向向量 平面 法向量 转化 问题3 由平面与平面平行的关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系？ 新知探究 如图(3)所示，设 分别是平面α, β的法向量，则 α (3) β 直线 方向向量 平面 法向量 转化 P m n 典例分析 例1 证明“平面与平面平行的判定定理”: 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. α β P b a Q 两个平行平面的法向量共线 课后练习 课本练习 1. 用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”: 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. α b a 平面法向量与直线方向向量垂直 典例分析 例2 如图示，在长方体ABCD –A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2. 线段B1C上是否存在点P，使得A1P//平面ACD1? A C D B C1 D1 B1 A1 P 解： 坐标法 建系 设点 取向量 列方程组 取解 得结果 课后练习 课本练习 2. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，直线AD上是否存在点F，使得AE//CF? A C D B E F 解： 基底法 课后练习 课本练习 3. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，E, F分别是面AB1，面A1C1的中心. 求证: EF//平面ACD1. A D C B A1 D1 C1 B1 F • E • ∴ EF//平面ACD1. 解： 用空间向量解决直线与直线平行 题型一 题型探究 【例1】已知四边形 的顶点分别是 求证:四边形 是梯形. 证明 因为 ,所以和 共线, 又和不重合,故 因为 ,所以与 不平行, 即与 不平行, 所以四边形 是梯形. 用空间向量解决直线与直线平行 题型一 题型探究 【例2】已知两平行直线的方向向量分别为(4ￚ2m,mￚ1,mￚ1)，(4,2ￚ2m,2ￚ2m)则实 数 的值为( ) A. B. C. 或3 D. 以上都不正确 [解析] 由题意知因为</m>， 所以“ ”的充要条件是“存在实数 <m></m>，使 </m>， 即 <m></m> 显然<</m>符合题意， 当m</m时，由<m></m>，得 <m></m>， 代入 <m></m>，得<m</m>. 综上，m</m>的值为1或3. C 用空间向量解决直线与直线平行 题型一 题型探究 提分笔记 利用向量证明线线平行的方法 （1）基底法:用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过线性运算, 证明方向向量共线即可. （2）坐标法:建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量的坐标之间的关系进行证明. 用空间向量解决直线与平面平行 题型二 题型探究 【例3】在正方体<</m>中,m<m>,<m></m>分别是<m></m>,,<m>,,</m>的中点. 求证：<m></m>平面<m></m>. 以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 证法1： 证法2： 坐标法 基底法 用空间向量解决直线与平面平行 题型二 题型探究 【例3】在正方体<</m>中,m<m>,<m></m>分别是<m></m>,,<m>,,</m>的中点. 求证：<m></m>平面<m></m>. 以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 证法3: 用空间向量解决直线与平面平行 题型二 题型探究 解题感悟 证明线面平行的方法 （1）设是直线的方向向量，是平面的法向量，只需证，即=0</m> ； （2）在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可； （3）只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可. 用空间向量解决平面与平面平行 题型三 题型探究 【例4】 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：平面GHA∥平面D1BK. 证法1： 以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 用空间向量解决平面与平面平行 题型三 题型探究 【例4】 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点G,K分别是DD1,CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：平面GHA∥平面D1BK. 证法2： 以点D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 用空间向量解决平面与平面平行 题型三 题型探究 解题感悟 利用空间向量证明面面平行的一般思路 （1）设平面 <m></m> 的法向量为，平面 <m></m> 的法向量为</m，则 <m></m> . （2）设平面 <m></m> 的法向量为， <m></m> 平面 <m></m> ，则 <m></m> . 课堂达标 1. 已知向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量，若 ，则( @17@ ) A. ， B. ， C. ， D. ， D [解析] 由题意得， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 课堂达标 2. 若两个不重合平面 ， 的法向量分别为 ， 则 ( @19@ ) A. B. C. ， 相交但不垂直 D. 以上均不正确 A [解析] <m> ， <m></m> . 故 <m></m> . 课堂达标 3.已知直线 的一个方向向量为,平面的一个法向量为, 若,则 ___. [解析] 因为,所以, 所以 , 解得 课堂达标 4. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则直线 与平面 的位置关系是_______________. <m></m> 或 <m></m> [解析] <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 或 <m></m> . 课堂小结 直线、平面的平行问题 常用方法：几何法、基底法、向量坐标法 1.线线平行： 2.证线面平行： 3.证面面平行： 两直线的方向向量共线(找λ) 法向量坐标法：直线的方向向量与平面的法向量垂直 直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面. 法向量坐标法：两平面的法向量共线 感谢聆听! $$