21.3实际问题与一元二次方程同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题、循环问题与数字问题 基础提优题 1.某同学自主学习了某个化学实验操作并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验。若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ） 2.在第33届奥运会中国国家乒乓球队选拔赛的某个阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人，若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为 （ ） 3某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 4.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物。而立之年督东吴，早逝英年两位数。十位恰小个位三，个位平方与寿同。哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ） 5.参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一式三份合同（两家公司各执一份，给公证处一份），所有公司共签订了84份合同，共有多少家公司参加了此次商品交易会？ 6.2024年12月13日是自2014年开始的第11个公祭日，在2024年12月的月历表上可以用一个方框圈出四个数（如图所示），若圈出的这四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）。 综合应用题 7.三个连续的正奇数，最大数与最小数的积比中间的数的6倍大3，则最大数为_____________。 8.一个两位数两个数位上数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是__________。 9.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培育后，总数达24000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌。 (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？ 10.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次。 (1)若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次。 (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数。 (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A,B），则线段的总数为多少呢？请直接写出结论。 (4)小明想到了另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值。 创新拓展题 11.阅读材料：两百多年前，数学家高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+……+100的值，我们从这个算法中受到启发，用下面的方法计算数列1,2,3,……,n的前n项和： 由 可知 应用以上材料，解决下面问题： (1)有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，⋯，第n行有n个点。若该三角点阵前n行的点数和为325，求n的值。 (2)在第(1)问的三角点阵中，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由。 (3)如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3,6,9,……,3n,前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由， 参考答案 1.D 2.A 3.B 4.C 5.【解】设共有x家公司参加了此次商品交易会， 由题意，得，解得，（不合题意，舍去）。 答：共有8家公司参加了此次商品交易会。 6.【解】设这个最小数为x，则最大数为x+8, 根据题意，得,解得，（不合题意，舍去）。 答：这个最小数为5. 7.9【点拨】设中间的正奇数为x,则另外两个正奇数为x-2,x+2. 由题意，得,整理得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以这三个数为5，7，9.所以最大数是9. 8.23或32 9.【解】(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌。 由题意，得，解得,, .故每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌。 (2)由题意，得（个）。故经过三轮培育后有480000个有益菌。 10.【解】(1)3;10; n(n-1) (2)设参加聚会的人数为m，依题意，得， 整理，得，解得，（不合题意，舍去）。 ∴参加聚会的人数为8. (3)线段的总数为 (4)根据题意，得，解得n=10, 即边数n的值为10. 11.【解】(1)根据题意，得325, 即，解得，（不合题意，舍去）。 ∴n的值为25. (2)不能。理由如下： 由，得 ∵, 又∵n为正整数，∴不存在n值，使前n行的点数和是900. ∴在第(1)问的三角点阵中，前n行的点数和不能是900. (3)能。 由,得, 则， ,解得，（不合题意，舍去）。 ∴当n=24时，前n行的点数和是900. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形问题 基础提优题 1.为了改善居民的生活环境，某小区对一块矩形空地进行绿化，已知这块空地的长比宽多6m，面积为720m²，设该矩形空地的长为xm，则根据题意，下列方程正确的是 （ ） 2.在数学实践课上，小华要给一幅长30cm，宽20cm的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形的面积为704cm²,则小华添加的边框的宽度x是（ ） A.1 cm B.2 cm C.1.5 cm D.3 cm （第2题） （第3题） 3.某校开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，该矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则该矩形菜地垂直于墙的一边的长为 （ ） A.10米 B.12米 C.15米 D.不存在 4.在长为60米，宽为40米的矩形草坪中修如图所示的两条宽度相同的小路（阴影部分），小路的面积为650平方米，求小路的宽。设小路的宽为x米，则可列方程为_____________________。 5.《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线的长恰好相等。问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是___________尺。 6.如图，一块矩形铁皮的长为10cm,宽为8cm,现在它的四个角上剪去四个相同的小正方形，做成底面积为24cm²的无盖的长方体盒子，求剪去的小正方形的边长。 综合应用题。 7.如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的。如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为 （ ） A.7 B.6 C.5 D.4 （第7题） （第8题） 8.现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草。如图所示，要使种植花草的面积为864m²，那么小道的宽度应是（ ） A.1 m B.2 m C.2.5 m D.3 m 9.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是1cm/s,点Q的速度是2cm/s,P,Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点也停止运动，设运动时间为ts,当t=__________时,PQ平分△ABC的面积。 10.如图①，在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC于点D(AD>BD).动点M从点A出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止。设点M的运动路程为x,△AMD的面积为y,y与x的函数 图象如图②所示，则AC的长为__________。 （第10题） （第11题） 11.如图，在等腰直角三角形ABO中,∠A=90°,点B的坐标为(0,2),若直线把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为____________。 12.某社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示（单位：m）.已知,阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路。已知铺花砖的面积为. (1)道路的宽是___________m. (2)该停车场共有50个车位，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位。当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？ 创新拓展题 13.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时做圆周运动，甲运动的路程(cm)与时间(s)满足关系式：，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm. (1)甲运动4s后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 参考答案 1.A 2.A 3.C 4.4 5. 8 6.【解】设剪去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面长为,宽为, 依题意，得,解得x=2或x=7（不合题意，舍去）。 ∴剪去的小正方形的边长为2cm. 7.B 8.B 9.2 【点拨】根据题意得AP=tcm,CQ=2tcm,∴PC=(8-t)cm. 由题易知0＜t≤3. ∵PQ平分△ABC的面积，∴，即, 即，整理，得，解得（舍去）.∴当t=2时,PQ平分△ABC的面积。 10.6 【点拨】由题图②知，。 又∵AB=BC,∴AB=BC=. ∵AB=BC,BD⊥AC,∴AC=2AD,∠ADB=90°.∴AD²+BD²=AB²=13①. 由题意可得，当点M运动到点B时，△AMD的面积最大，最大为3, ∴AD.BD=3,∴AD·BD=6②. ①+2×②,得（负值已舍去）.∴. 将其代入②，得,解得或. 【点拨】∵,∴一次函数一定过点(-1,0).∵△ABO是等腰直角三角形,∠A=90°,且点B的坐标为(0,2).∴易得点A的坐标为(1,1).如图①，当直线经过点A(1,1)时，显然，要使直线把△ABO分成面积相等的两部分，必然如图②所示，其中，且OC＜OB，即解得 ∴直线AB与直线交点D的坐标为.又BC＝2－m，△DBC的高即为点D的横坐标，∴,解得（舍去）或. 12.【解】(1)6 (2)设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10125元， 根据题意，得， 整理，得，解得 答：当每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元。 13.【解】(1)当t=4时，故甲运动4s后的路程是14cm. (2)由题图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为21cm，甲走过的路程为乙走过的路程为4tcm，则，解得t=3或t=-14（不合题意，舍去），故甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s. (3)由题图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程和为三个半圆:3×21=63(cm),则，解得t=7或t=-18（不合题意，舍去），故甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 平均变化率问题与销售问题 基础提优题 1.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动，某款燃油汽车今年3月份的售价为23万元，5月份的售价为16万元。设该款汽车这两个月售价的月平均下降率是x，则所列方程正确的是 （ ） 2.重庆在低空经济领域实现了新的突破，2024年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次。设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，则根据题意，可列方程为________________。 3.服装批发市场有一批服装每件进价是90元，如果每件售价是140元，则每天可售出500件。经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每件涨价1元，则日销量将减少2件，现市场要保证每天总利润为40000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价_____________元。 4.智慧养老，让老年人享受数字经济红利。近年来，智慧养老成为老龄事业与产业发展的方向之一，某省正致力于打造智慧养老的新标杆，为老年人提供更加贴心、高效的养老服务，同时为数字经济的发展注入新活力。某养老服务机构8月份为800名老人提供服务，10月份为1352名老人提供服务，求该养老服务机构9，10月份服务老人人数的月平均增长率。 综合应用题。 5.某厂家1～5月份的某种产品产量统计如图所示，设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的平均月增长率为x，则根据题意可列方程为 （ ） （第5题） （第6题） 6.为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造。已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个。经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数关系，图象如图所示，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则该零件的销售单价应定为（ ） A.25元 B.20元或40元 C.40元 D.20元 7.低碳环保电动自行车由于低碳、环保、节能，已成为人们日常出行的首选工具。据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆。 (1)求该品牌电动自行车销售量的月均增长率。 (2)假设每月的增长率相同，预计4月份的销售量会达到300辆吗？ 8.国庆长假期间，某市作为热门旅游城市接待国内游客超2268万人次，某火锅作为该市美食的代表也吸引了很多游客来打卡，不仅自己现场品尝美食，还会给家人带一些火锅底料。某火锅店十年来一直坚持以每袋24元的价格现场销售火锅底料。据统计自2022年以来，该店火锅底料的销量持续增长，2022年国庆长假期间销售128袋，到2024年国庆长假期间销量达到了200袋。 (1)求2023，2024这两年国庆长假期间销售量的平均增长率。 (2)该店现场销售的同时也将该火锅底料按原价放到网上销售，一个月网上的销售量达到了450袋，为进一步打开市场，该店决定采用降价的促销方式，经调查发现，火锅底料每降价1元，月销售量将增加60袋。已知每袋火锅底料成本为16元，当该火锅底料降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到2760元？ 创新拓展题。 9.传统文化为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗，某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽的单价是豆沙粽单价的2倍， (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)该超市为了促销，购买粽子数量达20个及20个以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈购买粽子的数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 豆沙粽的数量/个 肉粽的数量/个 付款金额/元 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A,B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A,B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中豆沙粽的数量不超过肉粽的一半。端午节当天统计发现，A,B两种包装的销量分别为(80-4m)包,(4m+8)包,A,B两种包装的销售总额为17280元。求m的值。 参考答案 3.50 4.【解】设该养老服务机构9，10月份服务老人人数的月平均增长率为x.根据题意，得，解得x₁=0.3=30%,x₂=-2.3（不合题意，舍去）。 答：该养老服务机构9，10月份服务老人人数的月平均增长率为30%. 5.B 6.D 【点拨】根据题图，得,解得，又∵该零件的售价不能超过35元/个，∴，即该零件的销售单价应定为20元。 7.【解】(1)设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x, 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴该品牌电动自行车销售量的月均增长率为20%. (2)4月份的销售量为216×(1+20%)=259.2≈259（辆）。 ∵259＜300,∴预计4月份的销售量不会达到300辆。 8.【解】(1)设2023，2024这两年国庆长假期间销售量的平均增长率为x, 根据题意，得，解得，（不合题意，舍去）。 ∴2023，2024这两年国庆长假期间销售量的平均增长率为25%. (2)设该火锅底料降价a元，则销售量为(450+60a)袋，每袋利润为元，依题意，得. 解得，（不合题意，舍去）。 答：当该火锅底料降价4元时，该店网上销售的月利润可达到2760元。 9.【解】(1)设豆沙粽的单价为x元/个，则肉粽的单价为2x元/个， 依题意得10x+12×2x=136,解得x=4,则2x=8. 答：豆沙粽的单价为4元/个，肉粽的单价为8元/个。 (2)①设豆沙粽优惠后的单价为a元/个，肉粽优惠后的单价为b元/个， 依题意，得解得 ∴豆沙粽优惠后的单价为3元/个，肉粽优惠后的单价为7元/个。 ②依题意，得解得. , 学科网（北京）股份有限公司 $$