精品解析：黑龙江省牡丹江市名校协作体2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2024级高一学年下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标形式可取参数的值. 【详解】因为，所以，可得， 故选：C. 2. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 3. 已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第70%分位数为92 D. 平均数为90.25 【答案】C 【解析】 【分析】根据一组数据的极差，平均数，中位数，百分位数的定义依次求解即可. 【详解】由题意可知：数据的极差为：，故A错误； 数据的中位数为：，故B错误； 因为，故数据的第70%分位数为第6个数，故C正确； 因为数据的平均数为：，故D错误. 故选：C 4. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（ ）人. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的计算方法计算. 【详解】设抽取样本人数为人，所以. 故选：B 5. 已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为中点，连接易得为平行四边形，则，进而确定直线与直线所成角的平面角，应用余弦定理求其余弦值，继而求得其正切值. 【详解】解：若为中点，连接，又是棱中点， 所以，在直三棱柱中，且，即为平行四边形， 所以，则直线与直线所成角即为， 若，则，， 所以， 所以. 故选：C. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】由题设模拟数据确定击中目标至少3次的随机数组，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】在20组随机数中含中的数至少3个（含3个或4个）， 共有15组，即模拟结果中射击4次至少击中3次的频率为. 据此估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为0.75. 故选：D. 7. 有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ） A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答. 【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是， 显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为， 事件丙的概率，事件丁的概率， 对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确； 对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误； 对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误； 对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误. 故选：A 8. 投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正确理解题意，分第一次投得“贯耳”，第一次投壶投中且未投得“贯耳”两种情况计算. 【详解】若甲第一次投壶投得“贯耳”，即“有初”，“贯耳”均投得的概率为 若甲第一次投壶投中且未投得“贯耳”，则甲在后面2次投壶中至少要投中1次“贯耳”，概率为：， 所以所求概率为：. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确是（ ） A. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B. 若A，B为两个事件，则 C. 若事件A，B，C两两互斥，则 D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立 【答案】CD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念进行判断. 【详解】对A，，又，所以，则，正确； 对B，若A，B为两个事件，则，正确； 对C，事件A，B，C两两互斥，则，并不能说明，错误； 对D，若事件A，B满足，且事件A，B互斥，则A与B相互对立，错误. 故选：CD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C. 有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念以及平均数、中位数、方差公式计算判断. 【详解】对A，直方图如下： 由于是“右拖”，最高峰偏左，则中位数靠近高峰处，平均数则靠近中点处，所以平均数大于中位数，错误； 对B，设这组数据为，，…，，平均数为，方差为， 所以每个数都减去同一个非零常数a，平均数为， 方差为，所以平均数改变，方差不变，错误； 对C，有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为，正确； 对D，若样本数据，，…，的标准差为8，方差为64，则数据，，…，的方差为，标准差为16，正确. 故选：CD 11. 如图：在棱长为1的正方体中，分别为棱上的点（不与端点重合），点为正方形内一点（不在其边上），且共面，，，.则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则直线与平面的夹角的正切值为 B. 若，，，则 C. 若，有最小值，则的取值范围是： D. 若，则三棱锥外接球表面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面角得出知与平面的夹角为计算正切判断A, 先建立直角坐标系，设直线得出由三点共线的性质交点为进而求出判断B;在给定时过定点,临界时 及临界时，则判断C;应用截面再由相似三角形的性质时等面积法得出选项D. 【详解】对于A：若，为中点， 过作，连，可知为中点， 且与平面的夹角为，则， 所以直线与平面的夹角的正切值为，故A正确； 对于B：由条件：，， 如图：延长交的延长线于 ，过作,，则， 如图建立平面直角坐标系： 则,， 故， 若，则①， 由三点共线的性质: 的点在直线 上， 的点在直线上， 所以交点为:，这就是点，故将该点代入①式得，故B正确. 对于C：在给定时过定点，临界时，斜率再减小（增大）， 则易知存在且使，即最小值存在， 而减小时不存在点，设临界时， 则：，故，， 代入直线得：，所以，C错误. 对于D：若，故在线段上（不与端点重合）， 对于,，作图可知：与的交点横坐标落在内， 设平面为的外心， 如平面图：由相似三角形的性质可知:为中点时，， 随点由点向上移动，其中垂线斜率增大且小于， 由相似三角形的性质:中点一定在上方， 故中垂 线与交点（即外接球球心）在射线上，外接球半径最小，即最小， 此时，用等面积法可算，此时:. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：先建立直角坐标系，设直线由三点共线的性质交点为进而求出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数量积的坐标运算进行计算. 【详解】由，，所以； 所以. 故答案为： 13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差_________． 【答案】2.9 【解析】 【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可. 【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为 则，所以． ，所以． 当加入新数据3，5，7后， 平均数， 方差． 故答案为：2.9． 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； （3）首先证明平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又， 所以点到平面的距离， 即直线到平面的距离为. 16. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求，的值； （2）设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时，其月奖励金额为0.3千元；当时，其月奖励金额为0.8千元；当不低于时，其月奖励金额为1.1千元．根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值． 【答案】（1）， （2）0.699（千元）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1并结合即可求解； （2）先求第75百分位数，然后确定奖励方案，进而估算出月奖励金额的平均值. 【小问1详解】 由已知得， 所以，又因为， 所以，． 【小问2详解】 由于，所以员工月销售额的第75百分位数为20， 所以，当时，奖励金额为0.3千元； 当时，奖励金额为0.8千元； 当时，奖励金额为1.1千元， 所以，该商场一位员工的月奖励金额的平均值为： （千元）． 17. 如图，在平行六面体中，，，设向量，，. （1）用、、表示向量，并求； （2）证明：直线平面. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式，利用空间向量数量积的运算可求得； （2）利用空间向量的数量积的运算可得出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 解：， 由已知可得，， 因此，. 【小问2详解】 证明：，则， ，， 则， ，、平面，因此，平面. 18. 随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； （2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； （3）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 根据概率计算即可求解; （2）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解; （3）根据题意列出事件可能然后根据概率公式即可求解. 【小问1详解】 这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费” 则 【小问2详解】 设这对夫妻中，“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，则. 设事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”. 则. 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为； 【小问3详解】 设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，则 ， . 因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为 19. 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. （1）若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. （2）在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先由等条件得出的值，再利用三角形全等得到，接着因为平面，结合线面垂直性质与判定，证明. （ⅱ）解法一，先找外接球球心在上，用勾股定理求半径，再求，进而得最值与范围. 解法二，建立空间直角坐标系，写出点坐标，根据外接球性质求球心坐标与半径，最后求得出范围. （2）解法一：先作辅助线找二面角平面角，因，为在平面射影且中点，.，最小则最小，最大时最小，为中点时最大，进而得二面角最小值. 解法二：取中点建系，求各点及向量坐标.再分别求平面和法向量、.用向量夹角公式求，根据取值求最大值，从而得二面角最小值. 【小问1详解】 （ⅰ）如图，设与交于点， 由题可得，， 则， 所以，又，所以为正三角形， 所以，又，， 故，所以，故. 因为平面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以. （ⅱ）解法一：由（ⅰ），由题可得， 为直角三角形，且平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上， 设球的半径为，则， 如图，连接，在中，，即， 得. 连接，，因为，， 所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. 解法二： 以为坐标原点，点所在直线为轴，平面内过且与轴垂直直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 设球心，连接，，，，因为， 所以 ， 解得，，故，所以球的半径. （另解：可以通过得到） 连接，因为，所以， 所以的最小值为，的最大值为， 故的取值范围为. 【小问2详解】 解法一 如图，过点作平行于的直线，则该直线为平面与平面的交线. 设点在平面内的射影为，过点作平行于的直线分别交，于点，连接，则为二面角的平面角. 因为，所以，为的中点，， 连接，则， . 若最小，则最小，即最小， 所以当取最大值时，二面角取得最小值. 易知当点为的中点时，取得最大值，且最大值为3， 因此的最小值为，即的最小值为， 所以二面角最小值为. 解法二：取的中点，连接，，则，，， 以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，.设，则， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，故为平面的一个法向量. 易知此时与的夹角即二面角的平面角.（取，则，此时与的夹角为二面角的平面角的补角） 设二面角的大小为， 则， 所以当时，取得最大值，此时取得最小值，故二面角最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高一学年下学期期末考试 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8 3. 已知数据87，89，90，90，91，92，93，94，则（ ） A. 极差为6 B. 中位数为90 C. 第70%分位数为92 D. 平均数为90.25 4. 某校选修轮滑课程的学生中，一年级有20人，二年级有30人，三年级有20人.现用比例分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了4人，则这个样本中共有（ ）人. A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 已知直三棱柱，若，，是棱中点，则直线与直线所成角正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某运动员每次射击击中目标的概率为80%.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率.先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636 6947　7610　4281　1417　4698　0371　6233 2616　8045　6011　3661　9597　7424 根据以上数据估计该射击运动员射击4次，至少击中3次的概率为（ ） A. 0.852 B. 0.8192 C. 0.8 D. 0.75 7. 有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ） A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 8. 投壶是从先秦延续至清末的传统礼仪和宴饮游戏，在战国时期较为盛行，投壶时，第一箭入壶（即投中）称为“有初”，投中且投入壶耳称为“贯耳”.假设投壶参与者甲每次投壶得“贯耳”的概率为，每次投中的概率为，若甲投壶3次，则甲“有初”，“贯耳”均投得的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 B. 若A，B两个事件，则 C. 若事件A，B，C两两互斥，则 D. 若事件A，B满足，则A与B相互对立 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数小于中位数 B. 一组数据中的每个数都减去同一个非零常数a，则这组数据的平均数改变，方差改变 C. 有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为18 D. 若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16 11. 如图：在棱长为1的正方体中，分别为棱上的点（不与端点重合），点为正方形内一点（不在其边上），且共面，，，.则下列说法正确的是：（ ）. A. 若，则直线与平面夹角的正切值为 B. 若，，，则 C. 若，有最小值，则的取值范围是： D. 若，则三棱锥外接球表面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 若，，则________. 13. 已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为3，现样本加入新数据3，5，7，则此时方差_________． 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为．假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为________． 四、解答题：本题共5小题.共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. （3）求直线到平面的距离. 16. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求，的值； （2）设这100名员工月销售额的第75百分位数为．为调动员工的积极性，该商场基于每位员工的月销售额制定如下奖励方案：当某员工的月销售额不足5千元时，不予奖励；当时，其月奖励金额为0.3千元；当时，其月奖励金额为0.8千元；当不低于时，其月奖励金额为1.1千元．根据频率分布直方图，用样本频率近似概率，估计上述奖励方案下该商场一名员工的月奖励金额的平均值． 17. 如图，在平行六面体中，，，设向量，，. （1）用、、表示向量，并求； （2）证明：直线平面. 18. 随着小汽车普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止. （1）设这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件，事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，试用或的运算表示，并求的大小； （2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； （3）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率. 19. 如图1，在平面五边形中，，，，，分别为的中点，将沿翻折，使点到点的位置，如图2. （1）若平面. （ⅰ）证明：； （ⅱ）三棱锥的各顶点都在球上，为球球面上的动点，求的取值范围. （2）在翻折的过程中，设平面与平面的交线为，求二面角的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $