1.2 矩形的性质与判定 基础与提升 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

02讲 矩形的性质与判定 一、思维导图 二、知识梳理 （一）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． （二）矩形的性质： 1.边：对边平行且相等. 2.角：矩形的四个角都是直角. 3.对角线：矩形的对角线相等，且互相平分.（定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.） 4.对称性：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线）. （三）矩形的判定： 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 3.定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 三、夯实基础 知识点1：矩形的性质 1.菱形和矩形都具有的性质是． A. 对角线互相平分 B. 有一组邻边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2.如图，将矩形沿折叠，若，则等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则的长为． A. B. C. D. 4.如图，一根长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长(    ) A. 逐渐增大 B. 逐渐减小 C. 不变 D. 先增大，后减小 5.在矩形中，对角线，相交于点若，，则           ． 6.如图，在矩形中，连接，过点作于点，点、分别是、的中点，连接、、，若，，则的周长为_________． 7.如图，矩形的对角线，相交于点，，． 求证：四边形是菱形； 若，，求四边形的面积． 知识点2：矩形的判定 1.如图，要使成为矩形，需添加的条件是  (     ) A. B. C. D. 2.如图，四边形的对角线为，，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是(     ) A. B. ，互相平分 C. D. 3.下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是(     ) A. 一组对边平行且相等，一个角是直角. B. 对角线互相平分且相等. C. 有三个角是直角. D. 一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等 4.如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为    A. B. C. D. 5.如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求和的长． 6.如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． 求证：； 连接，若，求证：四边形是矩形． 四、拓展提升 1.如图，矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(     ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为(     ) A. B. C. D. 4.如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，交的延长线于点E，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 5.如图，矩形的边、分别在x轴、y轴上，点A的坐标是，点D、E分别为、的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 6. 如图，在矩形中，，点在边上，且，若平分，则的长是           ． 7.如图，矩形中，，，对角线上有一点（异于，），连接，将绕点逆时针旋转得到，则的长为 ． 8.如图，在四边形中，，，，，，动点从开始沿边向以的速度运动；从点开始沿边向以的速度运动．、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动． 当运动时间为秒时，用含的代数式表示以下线段的长： ， ； 当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ 当运动时间为多少秒时，四边形为矩形？ 参考答案： 三、夯实基础 知识点1：矩形的性质 1. A; 2. C; 3. C; 4. C; 5. ; 6. 12; 7.(1)，， 四边形是平行四边形. 矩形的对角线，相交于点， ，，， ， 四边形是菱形. (2)四边形是矩形，，， ，， . 四边形是菱形， 菱形的面积. 知识点2：矩形的判定 1.C; 2. B; 3.B; 4.C; 5.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD． ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE // FG． ∵OG // EF， ∴四边形OEFG是平行四边形． ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形． (2)解： 四边形  是菱形，   ，  ，   ，   是  的中点，   ， 由（1）知四边形  是矩形，   ，   ，  ，   ，  .  6.(1)证明： ， ，． 又为的中点， ， ， ． 又为的中点， ， ．  (2)，， 四边形是平行四边形． ，为的中点， ， ， 四边形是矩形．  四、拓展提升 1.B; 2.B; 3.A; 4A; 5.A; 6.5; 7.; 8.解：；； 由题意可得：，， ， ， 设当运动时间为秒时，此时四边形为平行四边形． 由得，， 解得， 当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． ， ， 设当运动时间为秒时，四边形为平行四边形． 由得：， 解得：， 又 平行四边形为矩形． 当运动时间为秒时，四边形为矩形．  第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$