3.1 函数的概念及其表示 讲义-2026届高三数学一轮复习

§3.1 函数的概念及其表示 目录 知识点一：函数的相关概念 2 知识点二：函数的表示方法与分段函数 2 考点1：函数定义域的求解 3  具体函数定义域的求解 3  抽象函数定义域的求解 4 考点2： 函数解析式的求解 5 考点3： 求函数值、参数值 9 考点4：分段函数求值 13 考点5：分段函数与方程、不等式 15 【强化训练】 18 知识点一：函数的相关概念 1. 函数的概念 一般地，设是两个非空实数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数与之对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2. 函数的三要素 函数的三要素：定义域、对应法则、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做定义域，与的值对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 3. 同一函数、函数相等 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，则这两个函数为同一个函数，这是判断两函数相等的依据． 4. 抽象函数 我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数. 知识点二：函数的表示方法与分段函数 1. 函数的表示方法 解析式法、列表法、图像法 2. 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交. 考点1：函数定义域的求解 · 具体函数定义域的求解 方法提炼 1. 常见函数的定义域： (1) 分式型函数，分母不为零； (2) 偶次方根型函数，被开方式非负，即中； (3) 奇次方根型函数，被开方式取全体实数，即中； (4) 对数函数的真数，底数且； (5) 指数函数的底数且； (6) 零次幂或负指数次幂的底数不为零，即和中； (7) 正切函数的定义域是； 2. 若是由一些基本初等函数通过四则运算组成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集. 【例1.1.】 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D． 【例1.2.】 函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 【例1.3.】 （1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域为 ． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题可知：，且. 所以定义域为. 故答案为：. （2）由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. · 抽象函数定义域的求解 方法提炼 (1) 已知的定义域为，则复合函数的定义域可由不等式求出. (2) 已知的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例1.4.】 若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 【例1.5.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 【例1.6.】 已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点2： 函数解析式的求解 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 代入法（直接法）：已知的解析式，求的表达式，可将的式子将式子中的自变量进行替换，再进行化简，即可得到的表达式. (3) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (4) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (5) 方程组法：已知关于与或或或的表达式，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． (6) 赋值法：当给出可以求出解析式的恒等式时，通常通过对自变量进行赋值求解. 【例2.1.】 已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以. 故选：C. 【例2.2.】 已知函数，则 ． 【答案】 【详解】解：因为，所以， . 故答案为：. 【例2.3.】 若函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 从而， 当时，取得最小值，且最小值为. 故选：D 【例2.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，令，则，所以，， 因此，. 故选：C. 【例2.5.】 已知为定义在上的单调函数，且对，则 . 【答案】 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故 【例2.6.】 已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 【例2.7.】 已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以. 故选：B. 【例2.8.】 设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 考点3： 求函数值、参数值 方法提炼 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，令等特殊值求抽象函数的函数值。 【例3.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，所以 故选：D． 【例3.2.】 已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 【例3.3.】 已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【详解】令，则，解得或（舍）， 即，解得，故A正确. 故选：A. 【例3.4.】 已知函数满足，则实数 ． 【答案】1 【详解】因为函数满足， 则，即，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 【例3.5.】 表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则，当时，， 因此，，则， 所以，. 故选：A 【例3.6.】 已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【答案】C 【详解】解法一：由题意取，可得 即知则. 解法二：令，则 ， 所以， 即，所以，则. 解法三：由可构造满足条件的函数， 可以快速得到. 故选：C. 【例3.7.】 若函数满足：，且，则（    ） A．2953 B．2956 C．2957 D．2960 【答案】A 【详解】法一： 取，易验证满足． 由，得，解得， 故． 法二： 因为， 令，则，； 令，则，； 两式相减得， 由的任意性，令，得， 所以． 故选：A. 【例3.8.】 设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【详解】函数，对，有， 取，得，而，则， 对，令，得， 即，因此，函数周期为4， 令，得，而，则， 所以. 故选：A 考点4：分段函数求值 方法提炼 分段函数求值问题的解题思路： (1) 求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． (2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例4.1.】 已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故选：B. 【例4.2.】 已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 【例4.3.】 已知函数若，则 ． 【答案】8 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 【例4.4.】 已知函数，若，则实数 ． 【答案】 【详解】， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，则， 令， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，，则， 当时，，且时，；时，； 所以在上有且仅有唯一的零点. 所以当时，，则，解得. 综上，. 故答案为：e 【例4.5.】 已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 考点5：分段函数与方程、不等式 方法提炼 1. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 2. 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【例5.1.】 已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为， 当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数， 所以在区间上也为单调递减函数， 因为时，， 所以的解为， 综上，不等式的解集为. 故选：D 【例5.2.】 已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【答案】D 【详解】当时，因为，得到，解得：, 又因为在区间上单调递增，只有这一个根，又因为,故将舍去； 当时，由，得到，解得：， 综上：实数a的值为 故选：D 【例5.3.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 【例5.4.】 已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【例5.5.】 已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】设，均随着 的增大而增大，所以在为增函数， ，则,所以在为增函数， 且当分别代入、，可得， 所以在上单调递增， 令，则在上单调递增， 又. 不等式的解集为. 故答案为：. 【强化训练】 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或， 所以函数的定义域是. 故选：C 2. 已知函数则（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】, 故选：C 3. 已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 【答案】A 【详解】若，即，可得， 解得：，符合； 若，即，可得，解得：，符合； 综上可知：的值为0或， 故选：A 4. 已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C 5. 已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 6. 已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 7. （多选）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 8. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 9. 已知函数在上具有单调性，且，则 . 【答案】 【详解】令，则， 中，令得，故， 显然单调递增，且，故， 所以，. 故答案为：. 10. 已知函数的定义域为，且，则 【答案】 【详解】考虑到所给式子中含有和，故可考虑利用换元法进行求解． 在，用代替， 得，将代入中，可求得． 故答案为：. 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(2) 已知的定义域为，则的定义域为在上的值域； (3) 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集. 【例1.4.】 若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【例1.6.】 已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 考点2： 函数解析式的求解 方法提炼 函数解析式的求法： (1) 待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数可设为，其中是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出即可. (2) 代入法（直接法）：已知的解析式，求的表达式，可将的式子将式子中的自变量进行替换，再进行化简，即可得到的表达式. (3) 配凑法：已知，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便可得到的表达式. (4) 换元法：已知的解析式，可令，从中求出，然后代入表达式求出，再将换成，此时要注意新元的取值范围. (5) 方程组法：已知关于与或或或的表达式，可将原方程中的变量进行变量替换得另外一个式子组成方程组，通过解方程组求出． (6) 赋值法：当给出可以求出解析式的恒等式时，通常通过对自变量进行赋值求解. 【例2.1.】 已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数，则 ． 【例2.3.】 若函数，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知为定义在上的单调函数，且对，则 . 【例2.6.】 已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【例2.7.】 已知函数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例2.8.】 设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 考点3： 求函数值、参数值 方法提炼 以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值。常用赋值法来解决，令等特殊值求抽象函数的函数值。 【例3.1.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【例3.3.】 已知函数，若，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【例3.4.】 已知函数满足，则实数 ． 【例3.5.】 表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【例3.6.】 已知函数满足，若，则（    ） A．25 B．125 C．625 D．15625 【例3.7.】 若函数满足：，且，则（    ） A．2953 B．2956 C．2957 D．2960 【例3.8.】 设是定义在上的函数，对，有，且，则（    ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 考点4：分段函数求值 方法提炼 分段函数求值问题的解题思路： (1) 求函数值：根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.当出现的形式时，应从内到外依次求值． (2) 求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 【例4.1.】 已知函数则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例4.2.】 已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 【例4.3.】 已知函数若，则 ． 【例4.4.】 已知函数，若，则实数 ． 【例4.5.】 已知函数，若，则 ． 考点5：分段函数与方程、不等式 方法提炼 1. 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 2. 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 【例5.1.】 已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.2.】 已知函数，若，则实数a的值为（    ） A．或2 B．或1 C．1 D． 【例5.3.】 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知函数，则不等式的解集为 . 【强化训练】 1. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数则（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 3. 已知函数，若，则的值为（    ） A．0或 B．0或 C． D． 4. 已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5. 已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 7. （多选）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 9. 已知函数在上具有单调性，且，则 . 10. 已知函数的定义域为，且，则 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$