第二十一章一元二次方程单元练习题2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章一元二次方程单元练习题2025—2026学年度九年级数学上学期 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1.下列方程中，是一元二次方程的是(     ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的解是(   ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.关于的一元二次方程的常数项为，则的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 4.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(     ) A. B. C. D. 5.若一元二次方程的两根为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是(    ) A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7.已知是方程的根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 8.在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是    参考数据：，， A. B. C. D. 9.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 10.定义表示不超过实数的最大整数，如、 、函数的图象如图所示， 则方程的解为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11.方程的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ． 用公式法解方程，其中          ，          ，          ． 13. 一元二次方程有两个          的实数根填“相等”或“不相等”． 14.若一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程可以是          ． 15.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ． 三、解答题：本题共9小题，共75分． 16.本小题分解方程 直接开平方法 （2）  ；配方法 公式法          分解因式法 17.本小题分用适当的方法解下列方程： ； ； ； ． 18.本小题分 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： 一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？ 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？ 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ 19.本小题分 当为何值时，关于的一元二次方程， 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根． 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21.本小题分 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，三轮后，被感染的电脑会不会超过台 22.本小题分 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 23.本小题分 某批发商以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． 填表不需化简： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价元            销售量件                       如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ 24.本小题分 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究：如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现是三角形 前行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐． 【提出问题】小明提出问题：是前多少行的点数和？ 【分析问题】智慧小组分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法倒序相加法． 例：求前行的点数和． ， 由式倒序：， ：， 所以，即前行点数和为． 利用图形的特征进行计算如图，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前行的点数和用含的式子表示，并解决小明提出的问题； 【应用延伸】如果把三角形点阵的点数依次换为，，，，如图，这个三角形点阵前行的点数和能是吗？请说明理由．     第二十一章一元二次方程单元练习题参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1.下列方程中，是一元二次方程的是(  C  ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的解是( B   ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.关于的一元二次方程的常数项为，则的值为( B   ) A. B. 或 C. 或 D. 4.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是(   D ) A. B. C. D. 5.若一元二次方程的两根为，，则的值为(  A  ) A. B. C. D. 6.已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是(   B ) A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7.已知是方程的根，则代数式的值为(   B ) A. B. C. D. 8.在设计人体雕像时，使雕像上部腰部以上与下部腰部以下的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是   B 参考数据：，， A. B. C. D. 9.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求车道的宽度单位：设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为(B    ) A. B. C. D. 10.10.定义表示不超过实数的最大整数，如、 、函数的图象如图所示， 则方程的解为(   A ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11.方程的二次项系数为          ，一次项系数为          ，常数项为          ．   12. 用公式法解方程，其中          ，          ，          ．    13.一元二次方程有两个          的实数根填“相等”或“不相等”．相等  14.若一元二次方程的两根分别是和，则这个一元二次方程可以是          ． 答案不唯一  15.若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为          ．  三、解答题：本题共9小题，共75分． 16.（12分）解方程 直接开平方法 ；配方法 公式法          分解因式法 【答案】解： ， ， ， 或， 解得：，； ， ， ， ， 或， 解得：，； ， ，，， ， ， 解得：，； ， ， ， ， 或， 解得：，．  17.（12分）用适当的方法解下列方程： ；；；． 【答案】(1)x1＝1， (2)x1＝1， (3)x1＝4，x2＝－2 (4)y1＝1，  18.本小题分 根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： 一个矩形的长比宽多，面积是，矩形的长和宽各是多少？ 有一根长的铁丝，怎样用它围成一个面积为的矩形？ 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人参加聚会？ (1)解：设矩形的宽为x cm，则矩形的长为(x+1)cm．由矩形的面积公式，得x(x+1)＝132．∴x2+x-132＝0．  (2)设矩形的长为x m，则矩形的宽为(0.5-x)m．  由矩形的面积公式，得x(0.5-x)＝0.06．∴x2-0.5x+0.06＝0．  (3)设有n人参加聚会．  根据题意，得．∴n2-n-20＝0．  19.本小题分 当为何值时，关于的一元二次方程， 有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根． 【答案】(1)k＜9； (2)k＝9； (3)k＞9．  20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根． 若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． (1)解：证明：∵a＝1，b＝-2，c＝-3m2，∴Δ＝(-2)2-4×1×(-3m2)＝4+12m2＞0．∴方程总有两个不相等的实数根．  (2)根据题意，得α+β＝2，αβ＝-3m2，由解得∴-3m2＝-3．∴m＝±1．  21.本小题分 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑若病毒得不到有效控制，三轮后，被感染的电脑会不会超过台 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，  则依题意得，  整理得，  解得，不合题意舍去， ， 则轮感染后，被感染的电脑有台， ， 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，轮感染后，被感染的电脑会超过台． 22.本小题分 如图，物业公司计划整理出一块矩形绿地，为充分利用现有资源，该矩形绿地一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，已知栅栏总长度为，若矩形绿地的面积为，求矩形垂直于墙的一边，即的长． 设矩形垂直于墙的一边的长为由题意得，， 整理得，，解得，，，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意．答：矩形垂直于墙的一边的长为． 23.本小题分 某批发商以每件元的价格购进件恤．第一个月以单价元销售，售出了件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低元，可多售出件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的恤一次性清仓销售，清仓时单价为元．设第二个月单价降低元． 填表不需化简： 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价元            销售量件                       如果批发商希望通过销售这批恤获利元，那么第二个月的单价应是多少元？ (1)80-x ;200＋10x ;800-200-（200＋10x）  (2)根据题意，得80×200＋（80-x）（200＋10x）＋40[800-200-（200＋10x）]-50×800＝9000．整理，得x2-20x＋100＝0，解得x1＝x2＝10．当x＝10时，80-x＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元．  24.本小题分 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究：如图是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点第行有个点． 【发现问题】在探究的过程中，容易发现是三角形 前行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐． 【提出问题】小明提出问题：是前多少行的点数和？ 【分析问题】智慧小组分别从数和形两个角度探究前行的点数和． 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法倒序相加法． 例：求前行的点数和． ， 由式倒序：， ：， 所以，即前行点数和为． 利用图形的特征进行计算如图，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原图形的三角形点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前行的点数和用含的式子表示，并解决小明提出的问题； 【应用延伸】如果把三角形点阵的点数依次换为，，，，如图，这个三角形点阵前行的点数和能是吗？请说明理由．   (1)解：①，由①式倒序：②，①＋②：，所以，即前行点数和为.当时，解得或（舍去），即前24行的点数之和为300；  (2)这个三角形点阵前行的点数和不能是600.理由如下：①，由①式倒序：②，①＋②：，所以，即前行点数和为.当时，不是整数，所以这个三角形点阵前行的点数和不能是600.  1 学科网（北京）股份有限公司 $$