精品解析：黑龙江省黑河市龙西北名校联盟2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试卷

高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 选择题 一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念直接求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：C 2. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用面面垂直的判定定理和性质定理即可作出判断. 【详解】非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可根据两角和的正切公式得出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 4. 圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，则圆台的体积为（ ） A 3 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接代入圆台的体积公式计算即可. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：D. 5. 若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 6. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式，三角函数图象平移变换可得答案. 【详解】，又， 则将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：B 8. 如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作出示意图，由题意可求得，进而求得正面体的棱长，根据正三角形面积公式求解正四面体的表面积. 【详解】作出截面如图所示： 因为截面平行于直线，，由线面平行的性质定理可得，所以， 从而截面是平行四边形，所以， 所以，又，所以， 又因为截面的周长为4，所以，所以， 所以正四面体的表面积为. 故选：A 二.多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 在复平面上对应的点位于第四象限 D. 是方程一个复数根 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，结合复数代数形式的乘除法运算，即可求解；B选项，由复数模的公式可得；C选项，结合复数的几何意义即可；对于D，将，代入到二次方程中，即可判断． 【详解】因为，所以， 故，故A 错误，B正确； 复平面内表示复数的点，位于第一象限，故C错误； 因为，所以， 复数是方程的一个根，故D正确． 故选：BD 10. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D. 记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形相似即可求解判断AB，由判断C，分别求出即可判断D. 【详解】作出图形如图所示， 由题意可知，， 易知， 设，则， 化简得， 所以A,B正确， 因为，不变，所以若仅的测量值偏大（其它测量值准确）， 则计算出的建筑物高度值会增大，故C错误； 因为，所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A B. 在上的投影向量等于 C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据余弦定理直接计算判断A，根据投影向量的法则求解判断B，根据的特点，建立平面直角坐标系，运用平面向量的坐标运算求得判断C，结合平面向量的线性运算、数量积的运算及二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，中，，，，所以由余弦定理得 ，故A错误； 对于B，在上的投影向量等于，故B正确； 对于CD，如图，以为原点，以为轴，过点A与垂直的直线为轴， 建立平面直角坐标系， 则，，，，， ，， 所以， 又，所以，故C正确； 设，则，， 所以 ，当且仅当时等号成立， 即的最小值为，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷 非选择题 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知平面向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量线性运算求得的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解，最后利用模的坐标形式求解即可. 【详解】∵，，∴. 由得，∴，解得， ∴，∴. 故答案为：. 13. 如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算用基底向量表示后可求系数和. 【详解】，． 故答案为：. 14. 一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合圆柱轴截面可得符合题意的示意图，结合题目数据可得答案. 【详解】设圆柱轴截面为矩形GDEF，因圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球， 为使球体半径最大，则球体间应尽量相切，且与圆柱相切，据此可得如下示意图. 设球体半径为r，连接AB，则.做，由对称性，. 做，过A做垂线，交于I，BJ于K， 则， 则 ，由题可得， 则，从而球体表面积为：. 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足：，，与的夹角为. （1）求； （2）设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义求解即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两向量积大于0且这两向量不同向共线，再利用向量积的运算和共线运算即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角， 所以且与不同向共线. 可得：， 将，，代入上式可得：， 整理得：，可得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期及的值； （2）设函数，求的零点和单调递增区间. 【答案】（1）最小正周期为， （2）零点为，单调增区间为 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质得出最小正周期，由求出； （2）把化简成，再根据正弦函数的性质得出零点和单调区间. 【小问1详解】 因为，，所以，最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）可知：，所以 ， 令， 令， 所以的零点为，单调增区间为. 17. 如图，正四棱台中，，. （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设交于，连接并交于，连接，则根据线面垂直的性质定理得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取OC中点，连接，先证四边形为平行四边形，结合，利用线面垂直的性质得平面，根据线面角的定义得即可所求，过作，连接，根据等腰梯形的性质求出，最后在中求解即可. 【小问1详解】 设交于，连接并交于，连接， 由正棱台的性质可知平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 取OC中点，连接，则， 所以四边形为平行四边形，所以，而平面， 故平面，所以为与平面所成角， 过作，连接，则，所以， 所以，在中，， 所以，即与平面所成角的余弦值为. 18. 在中，内角的对边分别是，，. （1）求角的大小； （2）设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 由正弦定理得， 即， 得，又， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理得 即，而， ，即， .当且仅当取等号 此时，则， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. （1）求此圆锥的侧面积； （2）若，，，求证：平面； （3）当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可求得底面圆半径，再结合圆锥侧面积公式即可求解. （2）取中点，连接，，由面面平行证明平面平面，从而可求解； （3）作交于点，连接，由几何知识可得则就是二面角，再利用余弦定理及三角形等面积法求得，再利用等体积法即，从而可求解. 【小问1详解】 由题意可得的边长为，则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：. 【小问2详解】 取中点，连接，，如图，因，所以可得， 又，，，所以可得，， 又因平面，因平面，所以平面， 又因平面，因平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【小问3详解】 连接，，由题可知底面圆的直径，点与点关于平面对称， 作交于点，连接，则由点，则就是二面角，且，则， 在中，由余弦定理得，解得， 连接，由，， 所以， 即，解得，负值舍去， 所以可得， 连接，由为底面圆的直径，则， 所以，， 设点到平面的距离为， 所以，即， 即，解得. 故点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 全卷共150分，考试时间120分钟.考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 选择题 一.单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为3，则圆台体积为（ ） A 3 B. 7 C. D. 5. 若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 6. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 8. 如图，在正四面体木块中，点在内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线，，若截面的周长为4，则正四面体的表面积为（ ） A. B. C. D. 2 二.多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 在复平面上对应的点位于第四象限 D. 是方程的一个复数根 10. 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若仅测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D. 记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 11. 如图，点是所在平面内的一点，，，，、分别为边、的中点，与交于点，则（ ） A. B. 在上的投影向量等于 C D. 的最小值为 第Ⅱ卷 非选择题 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知平面向量，，若，则______. 13. 如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则______． 14. 一个底面直径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有三个半径相等的铁球，则铁球半径最大时，其中一个球的表面积______. 四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，满足：，，与的夹角为. （1）求； （2）设平面向量，，若，的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16 已知函数，. （1）求的最小正周期及的值； （2）设函数，求的零点和单调递增区间. 17. 如图，正四棱台中，，. （1）求证：平面平面； （2）求与平面所成角的余弦值. 18. 在中，内角的对边分别是，，. （1）求角的大小； （2）设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长. 19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，母线长为6，边长为的等边内接于底面圆，射线与圆交于点，直线，且点满足，. （1）求此圆锥的侧面积； （2）若，，，求证：平面； （3）当为中点，且二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $