第一章 解直角三角形 单元测试 2024—2025学年浙教版数学九年级下册

浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试 一、选择题 1.若△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝6 cm，A′B′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　) A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1 2.两个相似多边形的相似比为4：9，那么它们的周长比为（　　） A.2：3 B.4：9 C.： D.16：81 3.若两个多边形的相似比为1：2，则这两个多边形的周长之比为（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 4.对于题目：“在长为6宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（　　） A.甲方案正确，周长和的最大值错误 B.乙方案错误，周长和的最大值正确 C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（　　） A. B. C. D.2 6.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（　　） A.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.4米 7.如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（　　）m． A.0.95 B.0.95sin72° C.0.95cos72° D.0.95tan72° 8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 9.如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝4，则△ABC的面积是（　　） A. B. C. D. 10.用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（　　） A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16° 11.如图，一艘海轮位干灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？（　） A.北偏西45°方向，距离海轮40海里处 B.南偏东45°方向，距离海轮40海里处 C.北偏西45°方向，距离海轮海里处 D.南偏东45°方向，距离海轮海里处 12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　） A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤ 二、填空题 13.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为 　　． 14.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝140°，一楼高（h）为3.5m，则乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有　　米（结果精确到0.1，sin40°≈0.64）． 15.在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是　　千米． 16.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角（结果精确到1’）． （1）已知sinA＝0.2635，则锐角A＝　　，已知sinB＝0.0356，则锐角B＝　　； （2）已知cosA＝0.4586，则锐角A＝　　，已知cosB＝0.1327，则锐角B＝　　； （3）已知tanA＝4.3773，则锐角A＝　　，已知tanB＝15.83，则锐角B＝　　． 17.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣D﹣E为某区的一条健康步道，其中AB，CD，DE，AE为线段，B，C，D三点共线，是以BC为直径的半圆，AB⊥BD，AB＝，AE＝DE，∠E＝2∠BAD．则该健康步道的长度为 　　． 三、解答题 18.雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔AB的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面200m的P点，测得雷峰塔顶端A的俯角为22°；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行120m到达点Q，测得雷峰塔底端B的俯角为45°，求雷峰塔AB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 19.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG． （1）求证△ABC∽△EFG； （2）若，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为　　． 20.计算：． 21.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°．若定义cotA＝，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题： （1）cot30°＝　　； （2）已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值； （3）求证：tanA＝cot（90°﹣∠A）． 22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE＝5，DE＝2，DC＝3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）线段AC的长＝　　； （2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值． 浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝6 cm，A′B′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(　　) A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1 【答案】D 【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝6 cm，A′B′＝3 cm，∴其相似比＝AB：A'B'＝6：3＝2：1， ∴△ABC与△A′B′C′的面积比＝(AB∶A′B′)2＝4∶1. 故选：D. 2.两个相似多边形的相似比为4：9，那么它们的周长比为（　　） A.2：3 B.4：9 C.： D.16：81 【答案】B 【解析】∵两个相似多边形的相似比为4：9，∴两个相似多边形周长的比等于4：9. 故选：B． 3.若两个多边形的相似比为1：2，则这两个多边形的周长之比为（　　） A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3 【答案】A 【解析】∵两个相似多边形相似比为1：2，∴这两个相似多边形的周长比为1：2. 故选：A． 4.对于题目：“在长为6宽为2的矩形内，分别剪下两个小矩形，使得剪下的两个矩形均与原矩形相似，请设计剪下的两个矩形周长和为最大值时的方案，并求出这个最大值．”甲、乙两个同学设计了自认为满足条件的方案，并求出了周长和的最大值．甲方案：如图1所示，最大值为16；乙方案：如图2所示，最大值为16．下列选项中说法正确的是（　　） A.甲方案正确，周长和的最大值错误 B.乙方案错误，周长和的最大值正确 C.甲、乙方案均正确，周长和的最大值正确 D.甲、乙方案均错误，周长和的最大值错误 【答案】D 【解析】如图1中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为x，3x；y，3y，则有3x+3y＝6， ∴x+y＝2，∴两个矩形的周长的和为8x+8y＝16， 如图2中，由题意可以假设两个矩形的长宽分别为m，3m；n，3n，则有m+n＝2， ∴两个矩形的周长的和为8m+8n＝16， 如果小矩形的长为2，则宽为，在小矩形的旁边剪下长矩形，则长矩形的最长边为6，宽为，则这两个矩形周长和为1616，所以甲乙两个方案均错误． 故选：D． 5.在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（　　） A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理求解即可． 在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， 由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k， 所以cosA＝＝＝， 故选：A． 6.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口A处立一垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观测井水水岸D，视线BD与井口的直径CA交于点E，若测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，则水面以上深度CD为（　　） A.4米 B.3米 C.3.2米 D.3.4米 【答案】B 【解析】由题意知：AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，∴， 解得CD＝3，∴水面以上深度CD为3米． 故选：B． 7.如图，某汽车车门的底边长为0.95m，车门侧开后的最大角度为72°，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是（　　）m． A.0.95 B.0.95sin72° C.0.95cos72° D.0.95tan72° 【答案】B 【解析】过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离，根据三角函数作答即可． 过点N作NH⊥OM于点H，则NH为最大距离， 在Rt△OMN中， ON＝0.95m，∠NOH＝72°， ∴NH＝ON•sin∠NOH＝0.95sin72°， 故选：B． 8.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（　　） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】先由三角函数sin30°＝，cos30°＝，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案． ∵cosB＝， ∴∠B＝30°， ∵sinA＝， ∴∠A＝30°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴△ABC是钝角三角形， 故选：B． 9.如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝4，则△ABC的面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝4，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答． 如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠C＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝AC＝4，∠ADC＝45°，CD＝AC＝4， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°， ∴∠DAB＝22.5°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD＝4， ∴， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴DE＝CE， ∴． ∴△ABC的面积＝． 故选：A． 10.用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，它们的大小关系是（　　） A.tan26°＜cos27°＜sin28° B.tan26°＜sin28°＜cos27° C.sin28°＜tan26°＜cos27° D.cos27°＜sin28°＜tan16° 【答案】C 【解析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可． ∵tan26°≈0.488， cos27°≈0.891， sin28°≈0.469． 故sin28°＜tan26°＜cos27°． 故选：C． 11.如图，一艘海轮位干灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时灯塔P位于海轮的什么位置？（　） A.北偏西45°方向，距离海轮40海里处 B.南偏东45°方向，距离海轮40海里处 C.北偏西45°方向，距离海轮海里处 D.南偏东45°方向，距离海轮海里处 【答案】C 【解析】过点P作PC⊥AB，则在Rt△APC中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB． 作PC⊥AB于C点， ∵A在P的北偏东30°方向， ∴∠EPA＝30°， ∴∠APC＝90°﹣∠EPA＝90°﹣30°＝60°， 又∵B在P的南偏东45°方向上， ∴∠FPB＝45°，灯塔P位于海轮的北偏西45°方向上， ∴∠BPC＝90°﹣∠FPB＝90°﹣45°＝45°， ∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）， 在Rt△APC中，∠PAC＝90°﹣∠APC＝90°﹣60°＝30°， ∴（海里）， 在Rt△PCB中，∠BPC＝45°， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴PC＝BC＝40（海里）， ∴（海里）． 故选：C． 12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（　　） A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤ 【答案】A 【解析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DB＝AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D＝＝4，则AE＝＝＝4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE＝OA•OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC＝，CE＝＝，那么m的最大值为＝＝． 如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大． 方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3， ∵OA＝8， ∴OD＝OA﹣AD＝5， ∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5． 在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4， ∴OE＝O′D＝4， ∴AE＝＝＝4， 作BC⊥AE于C． ∵S△AOE＝OA•OE＝S△BOE+S△ABE， ∴×8×4＝×2×4+×4×BC， ∴BC＝， ∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20， ∴CE＝＝， ∴m的最大值为＝＝， 又∵m＞0， ∴0＜m≤． 方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3， ∵OA＝8， ∴OD＝OA﹣AD＝5， ∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5． 在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4， ∵∠AEB＝∠AO′D， ∴tan∠AO′D＝＝， ∴m的最大值为， 又∵m＞0， ∴0＜m≤． 故选：A． 二、填空题 13.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为 　　． 【答案】60° 【解析】由锐角的正弦定义求出sinB＝，即可得到∠B的度数． ∵∠C＝90°，AB＝8，AC＝4， ∴sinB＝＝＝， ∴∠B＝60°． 故答案为：60° 14.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝140°，一楼高（h）为3.5m，则乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有　　米（结果精确到0.1，sin40°≈0.64）． 【答案】5.4 【解析】作CE⊥AB于点E，在直角△BCE中，已知一个锐角和一直角边，根据正弦函数即可求解． 作CE⊥AB于点E，则∠CBE＝180﹣140＝40°． 在直角△BCE中，sin∠CBE＝， ∴BC＝＝≈5.4（米）． 即乘手扶电梯从起点（B）到终点（C）有5.4米． 15.在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米，则甲乙两地的实际距离是　　千米． 【答案】50 【解析】∵在比例尺为1：1000000的地图上甲地到乙地的距离是5厘米， ∴甲乙两地的实际距离是：55000000厘米＝50千米． 16.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角（结果精确到1’）． （1）已知sinA＝0.2635，则锐角A＝　　，已知sinB＝0.0356，则锐角B＝　　； （2）已知cosA＝0.4586，则锐角A＝　　，已知cosB＝0.1327，则锐角B＝　　； （3）已知tanA＝4.3773，则锐角A＝　　，已知tanB＝15.83，则锐角B＝　　． 【答案】（1）15°17′，2°2′； （2）62°42′，82°22′； （3）77°8′，86°23′． 【解析】根据给定的三角函数值，利用计算器计算出反三角函数值，即可求出结果． （1）∵sinA＝0.2635， ∴A＝arcsin0.2635≈15°17′， ∵sinB＝0.0356， ∴B＝arcsin0.0356≈2°2′； （2）∵cosA＝0.4586， ∴A＝arccos0.4586≈62°42′， ∵cosB＝0.1327， ∴B＝arccos0.1327≈82°22′； （3）∵tanA＝4.3773， ∴A＝arctan4.3773≈77°8′， ∵tanB＝15.83， B＝arctan15.83≈86°23′． 故答案为： （1）15°17′，2°2′； （2）62°42′，82°22′； （3）77°8′，86°23′． 17.随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣D﹣E为某区的一条健康步道，其中AB，CD，DE，AE为线段，B，C，D三点共线，是以BC为直径的半圆，AB⊥BD，AB＝，AE＝DE，∠E＝2∠BAD．则该健康步道的长度为 　　． 【答案】km． 【解析】连接AD、BC，利用三角函数求出DB＝8km，再求出BC＝4km，AD＝10km，由余弦定理和三角恒等变换求出AE、DE，从而求出周长，得到结果． 连接AD、BC， ∵AB＝CD＝6km， ∴AB＝6km，CD＝4km， 在△ABD中，AB⊥BD，cos∠BAD＝，所以tan∠BAD＝．由直角三角形三角函数的定义知，BD＝ABtan∠BAD＝6×＝8km， ∴BC＝BD﹣CD＝8﹣4＝4km， ∴半圆的弧长为＝2πkm， 在Rt△ABD中，AB＝6km，BD＝8km， ∴AD＝＝10km， 在△ADE中，设AE＝DE＝t（t＞0）， 由余弦定理可得，AD2＝AE2+DE2﹣2AE•DEcos∠E， 即50＝t2（1﹣cos∠E）， ∵∠E＝2∠BAD， ∴cos∠E＝cos2∠BAD＝2×﹣1＝﹣， ∴50＝t2（1+）， 解得：t＝， 所以健康步道的长度为：2×+6+4+2π＝km． 故答案为：km． 三、解答题 18.雷峰塔是杭州市西湖景区的地标性建筑，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．某数学兴趣小组用无人机测量雷峰塔AB的高度，测量方案为：如图，先将无人机垂直上升至距离地面200m的P点，测得雷峰塔顶端A的俯角为22°；再将无人机沿雷峰塔的方向水平飞行120m到达点Q，测得雷峰塔底端B的俯角为45°，求雷峰塔AB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） 【答案】解：延长BA交PQ于点C， 由题意得：BC⊥PQ，BC＝200m，PQ＝120m， 在Rt△BCQ中，∠CQB＝45°， ∴CQ＝＝200（m）， ∴PC＝PQ+CD＝200+120＝320（m）， 在Rt△ACP中，∠APC＝22°， ∴AC＝PC•tan22°＝320×0.4＝128（m）， ∴AB＝BC﹣AC＝200﹣128＝72（m）， ∴雷峰塔AB的高度约为72m． 【解析】 19.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，连接相应的对角线AC，EG． （1）求证△ABC∽△EFG； （2）若，直接写出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比为　　． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴，∠B＝∠F， ∴△ABC∽△EFG. （2）（）2. 【解析】 20.计算：． 【答案】解： ＝ ＝． 【解析】 21.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，∠C＝90°．若定义cotA＝，则称它为锐角A的余切，根据这个定义解答下列问题： （1）cot30°＝　　； （2）已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求cotA的值； （3）求证：tanA＝cot（90°﹣∠A）． 【答案】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 设∠A＝30°，则AB＝2BC，AC＝BC， 所以cot30°＝＝＝． 故答案为； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵tanA＝＝， ∴可设BC＝3k，则AC＝4k， ∴cotA＝＝＝； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°， 则∠A+∠B＝90°， 即∠B＝90°﹣∠A， ∵tanA＝，cotB＝， ∴tanA＝cotB， 即tanA＝cot（90°﹣∠A）． 【解析】 22.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE＝5，DE＝2，DC＝3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒． （1）线段AC的长＝　　； （2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值． 【答案】解：（1）作EH⊥AC于H，如图， ∵∠C＝90°，DE∥AC，∴四边形CDEH为矩形，∴CH＝DE＝2，EH＝CD＝3， 在Rt△AEH中，AH4，∴AC＝CH+AH＝2+4＝6. （2）CF＝t，PA＝2t，则DF＝3﹣t，CP＝6﹣2t，0＜t＜3， ∵∠C＝∠FDE， ∴当时，△CFP∽△DFE，即，整理得t2﹣7t+9＝0，解得t1，t2（舍去）， ∴当时，△CFP∽△DEF，即，t1＝4（舍去），t2＝3（舍去）， 综上所述，t的值为． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$