2.3有理数的乘方（知识框架+知识梳理+ 同步练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册第二章 有理数的运算

2.3有理数的乘方 一、本节知识框架 二、本节知识梳理 1、乘方的定义： 一般地，n个相同的因数a相乘，即 ，记作 ，读作 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫 2、乘方的运算： （1）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； （2）正数的任何正整数次幂都是 ， 0的任何正整数次幂都是 三、本节知识精练 一、单选题 1．表示的意义是（    ） A．乘以6的积 B．6个相乘的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 2．计算的值是（  ） A． B． C． D． 3．如果，那么等于（    ） A．3 B． C．9 D． 4．若是负数，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 6．计算的结果是（　　） A．9 B． C．2 D． 7．有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 9．二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．改写成乘方的形式是 ． 11．若，则 ． 12．已知，则 ，若， ． 13．【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 14．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．如果互为倒数，互为相反数，是最大的负整数．求代数式的值． 17．计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1)； (2)； (3)； (4)． 18．阅读材料，回答问题． 材料一：因为，所以． 材料二：求的值． 解：设①， ①两边同时乘以3得，则② 用得， 所以， 即， 所以． 这种方法我们称为“错位相减法”． (1)填空：_________，_________； (2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了． ①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）； ②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2.3有理数的乘方 1．B 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示6个相乘的积． 故选B． 2．D 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方运算，求解即可； 【详解】解：； 故选：D 3．D 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 由，可得，于是得解． 【详解】解：，， ， ， 故选：． 4．D 【分析】根据乘方的定义即可依次判断． 【详解】解：A、是负数，则，不符合题意； B、是负数，则，不符合题意； C、是负数，则，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方，解题的关键是熟知乘方的运算法则． 5．A 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算． 6．B 【分析】根据乘方的逆运算进行计算． 【详解】解：原式= 故选B 【点睛】本题主要考查有理数乘方的运算性质的应用，掌握乘方运算是解题的关键． 7．D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 8．A 【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了乘方的应用；仿照二进制与十进制之间的转换的方法进行计算即可求解． 【详解】解：方法一：∵ 所以． 方法二 所以． 故选：C． 10． 【分析】本题主要考查了有理数乘方的定义， 根据有理数的乘方定义写出乘方的形式即可． 【详解】解：改写成乘方的形式是， 故答案为： 11． 【分析】本题主要考查了关于乘方的运算，首先根据，可以得到，所以可得关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 13． 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 14．256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 15．(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查了乘方的运算，正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数，0的任何正整数次幂都等于0． （1）（2）（3）（4）根据乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 16．． 【分析】本题考查了倒数和相反数，有理数的加减，有理数的乘方等知识， 根据倒数、相反数和负整数的定义得到，，，然后代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数，是最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方、去绝对值运算，再计算乘除法，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （3）按照有理数混合运算法则，先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘除运算，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （4）将恒等变形为，再由有理数乘法分配律求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，涉及乘方运算、去绝对值、有理数加减乘除运算、有理数加法运算律、有理数乘法分配律等知识，熟练掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 18．(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是乘方的应用，理解乘方的含义与阅读部分提示的求和方法是解本题的关键； （1）直接利用乘方的含义可得答案； （2）先根据规律得到，再结合阅读部分的求和方法可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）①∵第一格放一粒米，第二格放二粒即粒，第三格放四粒即粒，第四格放八粒即粒，， ∴国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放粒； ②由题意可得：， ∴， 两式相减可得：； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$