2.2 基本不等式及其应用讲义-2026届高三数学一轮复习

§2.2 基本不等式及其应用 目录 知识点一：基本不等式 2 知识点二：最值定理 2 考点1: 利用基本不等式求最值 3  代数式最值 3  条件最值 6 考点2： 运用基本不等式求字母参数或式子的取值范围 14 知识点三：三元基本不等式与柯西不等式 17 考点3：三元均值不等式的应用 18 考点4：利用柯西不等式求最值 21 【强化训练】 24 知识点一：基本不等式 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式的推论 (1) 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： (2) 几个重要的不等式： 1　 . 2　 （）. 3　 指数推广： ( ,时，取等号）. 知识点二：最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. · 最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. · 利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 考点1: 利用基本不等式求最值 · 代数式最值 方法提炼 (1) 配凑法： 1　 凑系数：和为定值 例：，当且仅当时等号成立. 2　 凑项：积为定值 例： (2) 对于分式型不等式求最值， 1　 例或的最值求解，设,转化为的最值模型. 2　 若分子的次数不低于分母次数，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，转化为其它形式来求解；若分子次数低于分母次数，可以通过分子分母同除法来转化计算求解. 【例1.1.】 若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 【例1.2.】 已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，可得，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 又由，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，当时，取得最小值. 故答案为：. 【例1.3.】 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例1.4.】 已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题，所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立. 故答案为：. 【例1.5.】 函数的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解： . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【例1.6.】 已知，则的最大值为 【答案】/ 【详解】， 令，则上式， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： · 条件最值 方法提炼 (1) 常数代换法： 将确定的常数（定值）变形为1，把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. 1　 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. 2　 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 3　 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 (2) 对于，求. 1　 换元消元法： ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. 2　 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量 型不等式求最值。 (3) 双换元法：①形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (4) 万能K法：形如， 一般情况下可以通过万能K法（求谁，谁就为K）转化求解. (5) 三角换元：一般情况下，能转化为形式的式子，可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值. 【例1.7.】 若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 【例1.8.】 （多选）已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，，于是，解得， 当且仅当即时等号成立，故A正确； 对于B，由得，得，即， 所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由得，即， 由于，所以， 所以 ， 当且仅当即等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当即等号成立，故D错误 故选：ABC. 【例1.9.】 已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 【例1.10.】 已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【答案】D 【详解】 ， 当且仅当,即取等号． 故选：D． 【例1.11.】 已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【例1.12.】 已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】根据题意，由于 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例1.13.】 已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，所以， 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 【例1.14.】 已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【答案】D 【详解】由，得，则， 因为，，所以 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为， 故选：D. 【例1.15.】 若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 【例1.16.】 若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 【例1.17.】 已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【例1.18.】 已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解法（1）：由， 令，即，， ，即最大值为2； 解法（2）： 当且仅当，即时取等号， ，即最大值为2， 故选：A. 【例1.19.】 已知正实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 考点2： 运用基本不等式求字母参数或式子的取值范围 方法提炼 (1) 若是已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式即可； (2) 若是已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值. 恒成立⇒；恒成立⇒. 【例2.1.】 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【详解】由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需， 故选：B 【例2.2.】 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【例2.3.】 当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即． 故选：A. 【例2.4.】 若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须. 设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是. 故选：A 【例2.5.】 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 所以 ， 所以 ，等号成立当且仅当， 所以，， 故实数a的取值范围是. 故答案为： 知识拓展 知识点三：三元基本不等式与柯西不等式 1. 三元基本不等式 (1) 如果，那么，当且仅当时等号成立. (2) 个正数的基本不等式： ，当且仅当时等号成立. (3) . (4) 项数推广：. 2. 柯西不等式 (1) 柯西不等式的二维形式：若都是实数，则 ，当且仅当时，等号成立． (2) 柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． (3) 柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (4) 柯西不等式的三角形式： 1　 2　 (5) 反柯西不等式： 考点3：三元均值不等式的应用 【例3.1.】 若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：． 【例3.2.】 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，设底面圆的半径为，则,解得. 因为直三棱柱的定义可知，要使能截得直三棱柱体积最大，只需要圆的内接三角形面积最大即可， . 当且仅当，即时。等号成立， 所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大， . 所以能截得直三棱柱体积最大为. 故选：B. 【例3.3.】 “幂势既同，则积不容异”，这是“祖暅原理”，可以描述为，夹在两个平行平面之间的两个几何体，总被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，在圆锥内部放置一个平行六面体，则该平行六面体的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据祖暅原理知，圆锥内接斜平行六面体的体积与直平行六面体的体积相同． 当底面为正方形时，平行六面体的底面面积最大， 所以圆锥内接斜平行六面体的体积的最大值为圆锥内接正四棱柱的体积的最大值， 如图（1），设正四棱柱的底面边长为x，高为y， 作出圆锥的轴截面，如图（2），    由图可知，，，，． 易知，， 所以，而，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 故选：D． 【例3.4.】 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为 .    【答案】/ 【详解】设正四棱锥的底面边长为，则高为， 体积 当且仅当时取等号. 故答案为：. 【例3.5.】 若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】由题设， 则. 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 考点4：利用柯西不等式求最值 【例4.1.】 若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式化为， 左边 ， 所以， 实数的取值范围为. 故选：D 【例4.2.】 已知实数，，，，满足，，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由柯西不等式得 即 解得 所以：的取值范围是 故答案为：． 【例4.3.】 设正数满足 (1)求的最大值 (2)证明： 【详解】（1） ， 的最大值为，此时,解得 （2）由柯西不等式可得： 所以 由（1）知 当且仅当时，等号成立. 【例4.4.】 已知，且． （1）求的最小值； （2）若成立，求的取值范围． 【答案】(1) 最小值为．(2) 【详解】（1）由柯西不等式， 得： 即：， ，当且仅当时等号成立， 故：的最小值为． （2）由柯西不等式， 得：． 即： ， 当且仅当时取等号，只需， 解得：． 故：的取值范围为： 【强化训练】 1. 若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，即，即， 且，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 2. 已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】， 又，所以， 所以， 当且仅当，即，或取等号， 所以或. 故选：D 3. 若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，当时， 恒成立， 又因为，当且仅当时取等号， 所以，的最大值为， 所以，解得的取值范围为． 故选：B 4. 曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 5. （多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 6. （多选）已知，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若，则 C．若，则的最小值为32 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，设，则 . , 当且仅当时取等号. 所以，解得，即的最大值是，当且仅当，即时取等号.故A正确； 对于B，由，得， 当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为32.故C正确； 对于D，由，得，化简整理，得 ，解得， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 故选：ACD. 7. 若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：. 8. 设，那么 的最小值是 . 【答案】16 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 9. 已知正数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，解得， 所以，令， 则， 等号成立当且仅当，此时，， 所以的最小值为. 故答案为：. 10. 已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，，，所以， 因为， 所以，当且仅当即（负值舍去），等号成立， 此时，整理得， 解得，（不符合题意舍去）， 即当，时，有最小值为. 故答案为： 11. 已知是正数，且 的最大值为 ． 【答案】200 【解析】 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为200． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.2 基本不等式及其应用 目录 知识点一：基本不等式 2 知识点二：最值定理 2 考点1: 利用基本不等式求最值 3  代数式最值 3  条件最值 4 考点2： 运用基本不等式求字母参数或式子的取值范围 6 知识点三：三元基本不等式与柯西不等式 7 考点3：三元均值不等式的应用 8 考点4：利用柯西不等式求最值 9 【强化训练】 10 知识点一：基本不等式 1. 基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立. 2. 基本不等式的推论 (1) 基本不等式链： (调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数)，其几何意义如下图： (2) 几个重要的不等式： 1　 . 2　 （）. 3　 指数推广： ( ,时，取等号）. 知识点二：最值定理 （1） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. （2） 若均为正数，且为定值，则，当且仅当时，等号成立. · 最值定理可简记为：“和定积最大，积定和最小”. · 利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 考点1: 利用基本不等式求最值 · 代数式最值 方法提炼 (1) 配凑法： 1　 凑系数：和为定值 例：，当且仅当时等号成立. 2　 凑项：积为定值 例： (2) 对于分式型不等式求最值， 1　 例或的最值求解，设,转化为的最值模型. 2　 若分子的次数不低于分母次数，可以进行整式分离，分离成整式与“真分式”的和，转化为其它形式来求解；若分子次数低于分母次数，可以通过分子分母同除法来转化计算求解. 【例1.1.】 若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知，则的最小值为 . 【例1.3.】 已知，则的最小值为 ． 【例1.4.】 已知，则的最小值为 . 【例1.5.】 函数的最小值为 ． 【例1.6.】 已知，则的最大值为 · 条件最值 方法提炼 (1) 常数代换法： 将确定的常数（定值）变形为1，把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式. 1　 形如“已知(为常数),求 的最值”或“已知正数满足求的最值”问题可以先将转化为，再用基本不等式求最值. 2　 形如，可以通过同除，化为构造“1”的代换求解 3　 对于形如，求型，则可以通过待定系数法凑配，再利用乘1法来求解。 (2) 对于，求. 1　 换元消元法： ，当且仅当时取等号，解此不等式即可求得的最值. 2　 代入消元法：对于双变量型不等式求最值，可以通过反解代入消元，转化为单变量 型不等式求最值。 (3) 双换元法：①形如 可通过令，将式子转化成关于的式子求解；②对于可化为的式子，通过令，换元求解. (4) 万能K法：形如， 一般情况下可以通过万能K法（求谁，谁就为K）转化求解. (5) 三角换元：一般情况下，能转化为形式的式子，可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值. 【例1.7.】 若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【例1.8.】 （多选）已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【例1.9.】 已知正数满足，则的最小值是 ． 【例1.10.】 已知正实数，满足，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．7 【例1.11.】 已知，且，则的最小值是 . 【例1.12.】 已知正数满足，则的最小值为 ． 【例1.13.】 已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.14.】 已知，，且，则的最大值（   ） A．12 B． C．36 D． 【例1.15.】 若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【例1.16.】 若正实数，满足，则的最小值是 ． 【例1.17.】 已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例1.18.】 已知实数满足，则最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【例1.19.】 已知正实数满足，则的取值范围为 . 考点2： 运用基本不等式求字母参数或式子的取值范围 方法提炼 (1) 若是已知等式，则要用基本不等式进行放缩，得出不等式，解该不等式即可； (2) 若是已知不等式，则要先将字母参数分离出来，转化为求函数式的最值. 恒成立⇒；恒成立⇒. 【例2.1.】 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【例2.2.】 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 当时，恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 知识拓展 知识点三：三元基本不等式与柯西不等式 1. 三元基本不等式 (1) 如果，那么，当且仅当时等号成立. (2) 个正数的基本不等式： ，当且仅当时等号成立. (3) . (4) 项数推广：. 2. 柯西不等式 (1) 柯西不等式的二维形式：若都是实数，则 ，当且仅当时，等号成立． (2) 柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． (3) 柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． (4) 柯西不等式的三角形式： 1　 2　 (5) 反柯西不等式： 考点3：三元均值不等式的应用 【例3.1.】 若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 如图，某加工厂要在一圆柱体材料中打磨出一个直三棱柱模具，已知该圆柱底面圆面积为，高为6，则能截得直三棱柱体积最大为（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 “幂势既同，则积不容异”，这是“祖暅原理”，可以描述为，夹在两个平行平面之间的两个几何体，总被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，在圆锥内部放置一个平行六面体，则该平行六面体的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥容器，则该容器的最大容积为 .    【例3.5.】 若，，则的最小值为 ． 考点4：利用柯西不等式求最值 【例4.1.】 若正数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知实数，，，，满足，，则实数的取值范围为 ． 【例4.3.】 设正数满足 (1)求的最大值 (2)证明： 【例4.4.】 已知，且． （1）求的最小值； （2）若成立，求的取值范围． 【强化训练】 1. 若，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 2. 已知实数，且，则取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 3. 若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4. 曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．1 5. （多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 6. （多选）已知，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则的最大值是 B．若，则 C．若，则的最小值为32 D．若，则 7. 若，且，则的最小值为 ． 8. 设，那么 的最小值是 . 9. 已知正数a，b满足，则的最小值为 . 10. 已知，，，则的最小值为 . 11. 已知是正数，且 的最大值为 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$