第4章 4.1.1 n次方根与分数指数幂（Word教参）-【优化指导】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

4．1　指　数 4．1.1　n次方根与分数指数幂 学习目标 1.理解n次方根、根式的概念． 2．能正确运用根式运算性质化简求值． 3．会对根式和分数指数幂进行转化． 4．通过对有理数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握并运用有理数指数幂的运算性质． 知识点一　根式的概念及其性质 1．(1)如果x2＝a，则x叫做a的平方根，记作x＝±； 如果x3＝a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x＝；若x4＝a呢？ (2)如果xn＝a，则x叫做a的什么？如何表示？ 2．观察下面的等式： (1)()3＝2，()3＝－2，()4＝2，()5＝－3. (2)＝－2，＝2，＝2，＝2. 你能发现什么结论？ 1．n次方根 定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N* 个数 n是 奇数 a＞0 x＞0 x仅有一个值，记为 a＜0 x＜0 n是 偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为± a＜0 x不存在 2.根式 (1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (2)性质：当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ (1)对于“()n＝a”，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0； (2)“()n”与“”意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠； (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，要注意运算次序． [例1] 化简：(1)(x＜π，n∈N*)； (2)(a≤). 解：(1)∵x＜π，∴x－π＜0， 当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上，＝ (2)＝. ∵a≤，∴2a－1≤0，∴＝1－2a. 根式化简应遵循的三个原则 (1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数是带分数的要化成假分数； (3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式． [练1] (2025·沈阳高一期末)若1＜a＜2，则－的化简结果是 (　　) A．1 B．－1 C．3－2a D．2a－3 B　解析：若1＜a＜2，则－＝1－a－(2－a)＝1－a－2＋a＝－1.故选B. [练2](多选)(2024·广州白云中学高一上学期期中)下列说法中正确的是 (　　) A．＝3 B．16的4次方根是±2 C．＝±3 D．＝|x＋y| BD　解析：负数的3次方根是一个负数，＝＝－3，故A错误； 16的4次方根有两个，为±2，故B正确； ＝＝|3|＝3，故C错误； 是非负数，所以＝|x＋y|，故D正确． 故选BD. 知识点二　分数指数幂 被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？ 1．分数指数幂 分数指数幂 正数的正分 数指数幂 规定：a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 正数的负分 数指数幂 规定：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 性质 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 (1)分数指数幂“a”不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法； (2)“正数的负分数指数幂”总表示正数，而不是负数． 2．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 拓展：(1)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)； (2)()r＝(a>0，b>0，r∈Q). 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘． [例2] (1)(2025·中山高一期末)将×化成分数指数幂的形式是 (　　) A．2 B.2 C.2 D.2 (2)(2025·河北区高一期末)已知a>0，则 化为 (　　) A．a B.a C.a D.a (1)A　(2)B　解析：(1)×＝4×2＝(22)×2＝2＋＝2． (2)原式＝＝＝a×＝a． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质运算． (3)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简． [练3] 用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0). (1)x；(2)x－；(3)x－y. 解：(1)x＝. (2)x－＝. (3)x－y＝. [练4](2025·杭州高一检测)用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a，b均为正数)： (1)a··；(2)； (3)·(－6·). 解：(1)a··＝a·a·＝＝＝a. (2)＝＝1. (3)·(－6·)＝－6·a·b·a·b＝－6a2b. [例3] 化简求值(其中a，b，c均为正数). (1)0.027－(6)＋256＋(2)－3-1＋π0； (2)(a-2b-3)·(－4a-1b)÷(12a-4b-2c)； (3)2÷4·3. 解：(1)原式＝(0.33)－[()2]＋(44)＋(2)－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64. (2)原式＝－4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)＝－a-3-(-4)·b-2-(-2)c-1＝－ac-1＝－. (3)原式＝2a÷(4a·b)·(3b)＝ a－b－·3b＝ab. 有理数指数幂运算的步骤 (1)有括号的先算括号里的；无括号的先做指数运算． (2)负指数幂化为正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号． (4)底数是小数，先要化成分数． (5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质． [练5]计算(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝ (　　) A．－ B．－ C．－ D． C　解析：(－64)＋[(－3)4]－(－1)0＋＝(－43)＋(34)－1＋＝－4＋3－1＋＝－. 1．知识清单 (1)n次方根的概念、表示及性质； (2)根式的概念及性质； (3)分数指数幂与根式的相互转化； (4)有理数指数幂的运算性质． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区 (1)对于，当n为偶数时，a≥0； (2)混淆()n和. ◎随堂演练 1．(2025·东莞高一检测)·等于 (　　) A．－ B．－ C． D． A　解析：由题意，可知a≤0， ∴·＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＋＝－(－a)＝－. 2．计算：－4－－－(π－3)0＝________． 答案：－3　解析：－4－－－(π－3)0＝－－－1＝－3. 3．(2025·武威高一期末)当x＜0时，求|x|＋＋2的值． 解：当x＜0时，|x|＋＋2＝－x＋|x|＋2x＝－x－x＋2x＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$