【第十五章 轴对称 03讲 等腰三角形】【六大知识点+13大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十五章 轴对称 03讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. “等边对等角”的应用】……………………………………………………… 3 【题型2. “三线合一”的应用】………………………………………………………… 5 【题型3. “等角对等边”的应用】……………………………………………………… 6 【题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度】………………………………… 8 【题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度】………………………………… 9 【题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明】…………………………………… 12 【题型6. 作等腰三角形】………………………………………………………………… 15 【题型6. 等边三角形的性质】…………………………………………………………… 17 【题型6. 等边三角形的判定】…………………………………………………………… 19 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——求长度】………………………………… 20 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——求角度】………………………………… 23 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——证明】…………………………………… 25 【题型6. 含30°角的直角三角形性质】………………………………………………… 28 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 31 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点2 等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点3 尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点4 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点5 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点6 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 题型专练 题型1. “等边对等角”的应用 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，点在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【变式1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型2. “三线合一”的应用 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 题型3. “等角对等边”的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【例2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______ ）． _______． （_______ ）． 同理可得_______． 周长 _______． 【变式1】（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【变式4】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，是的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点作交边于点，如果，求的周长． 题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．5 【例2】（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式2】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 【例3】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在和中，，，，与分别相交于点，与相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，点 D 是 的边的中点，点E 在上，过点E作交于点F，连接，若 ． (1)求证：； (2)如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，图中所有三角形均为等腰三角形，请直接写出的度数． 【变式4】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (1)试说明：； (2)连接，求的度数． 题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【变式1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点在线段AB上，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【变式4】（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)连结、，请判断、的位置和数量关系； (2)连结、，求证：． 题型7. 作等腰三角形 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）作图或证明： (1)如图，已知：线段，请利用尺规作图求作：等腰，使线段为底，线段为底边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） (2)请证明命题：有两条高相等的三角形是等腰三角形．（根据题意画出图形，写出已知、求证并进行证明） 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． (1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） (2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． (3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） (4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【变式3】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 题型8. 等边三角形的性质 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【变式2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 【变式4】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型9. 等边三角形的判定 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．同旁内角互补； B．面积相等的两个三角形全等； C．等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”； D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【例2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到地，则、两地相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式4】（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，中，．将绕点逆时针方向旋转得到．此时恰好点在上，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知和，点C在边上，，，，若，求的度数． 【变式1】（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【例2】（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【变式1】（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 题型13. 含30°角的直角三角形性质 【例1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在和中，，点E为中点，，，点E、F关于成轴对称，连接．求证：为等边三角形．    【变式3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【变式4】（24-25八年级上·重庆南岸·期中）探究学习： 阅读材料：已知直角三角形斜边上的中线具有以下性质：“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半，即：如图1，中，，若，则”，请运用这个性质解决下列问题： 如图2，在中，点为边中点，直线绕定点旋转，若点在直线a的异侧，直线于点直线于点，连接 (1)延长交于点（如图3） ①求证 ②求证 (2)若直线绕点A旋转到图4的位置时，点在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 9．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 10．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点是上一点，连接，将沿折叠，点落在上的点处，若，则的度数 ． 12．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．    14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，，平分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为 ． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为 ． 16．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 17．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 19．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是 （填序号） 三、解答题 21．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ； (2)在（1）所作的图中，求的度数． 22．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于F，于E，点M为的中点， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 25．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 26．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．点为上的一点，连接，且为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的面积为10，四边形的面积是否会随着点的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形的面积；若会发生变化，请说明理由． 27．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，． (1)求证：； (2)若点D在边上，证明； (3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 28．（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 30．（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称 03讲 等腰三角形 题型归纳 【题型1. “等边对等角”的应用】……………………………………………………… 3 【题型2. “三线合一”的应用】………………………………………………………… 8 【题型3. “等角对等边”的应用】……………………………………………………… 12 【题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度】………………………………… 18 【题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度】………………………………… 22 【题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明】…………………………………… 29 【题型6. 作等腰三角形】………………………………………………………………… 37 【题型6. 等边三角形的性质】…………………………………………………………… 42 【题型6. 等边三角形的判定】…………………………………………………………… 47 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——求长度】………………………………… 50 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——求角度】………………………………… 59 【题型6. 等边三角形的性质与判定综合——证明】…………………………………… 65 【题型6. 含30°角的直角三角形性质】………………………………………………… 73 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 80 知识清单 知识点1 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 【注意】 ① 沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合； ② 等腰三角形是轴对称图形； ③ 底边上行的中线（顶角的平分线、底边上行的高）所在直线就是它的对称轴. 知识点2 等腰三角形的判定 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 知识点3 尺规作图——作等腰三角形 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图（1）），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2），①作线段AB=a； ②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； ③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 知识点4 等边三角形的性质 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 ① 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； ② 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 知识点5 等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点6 含30°角的直角三角形性质 1.性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 2.证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴ AB=AD. 又∵ ∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60° ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BD=AB. 又BD=2BC， ∴ BC=AB.由此可以得到上述结论. 题型专练 题型1. “等边对等角”的应用 【例1】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，已知，点在边上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质定理，解题的关键是掌握并熟练应用相关性质定理．先根据全等三角形的性质得到，再证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴； 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】如图所示，中，． 有两种情况： 当顶角时 当底角是时， ， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故选：D． 【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）等腰三角形的底角比顶角大，求各个角的度数． 【分析】本题考查等腰三角形的性质。涉及等腰三角形角的度数计算，常借助三角形内角和定理，设未知数建立方程求解．利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理，通过设未知数建立方程求解． 【详解】解：设顶角为x，则底角为． 根据三角形内角和为，可得 ， 解得， ∴底角为． ∴三个角分别是，，． 【变式1】（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 【变式2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的内角和，等腰三角形，熟练掌握是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，为的中点，得到，可证明，即可证明； （2）由（1）得，根据全等三角形可得，根据平角可得，根据得，在中，利用内角和可求，即，在中，利用内角和可求解． 【详解】（1）证明：， ， 为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 【变式3】（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，点C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中   ， ； （2）解：， ，， ， ， ． 题型2. “三线合一”的应用 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ） A． B．平分 C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点，则的面积是（  ） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长交于，根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：． 【变式3】（24-25七年级下·上海普陀·期末）小普在学习了三角形相关知识后，得出如下两个结论：①三角形一边上高的长度必定小于这条边上中线的长度；②三角形一边上的中线小于另两边和的一半．对于结论①和②，下列说法正确的是(   ) A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，②倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，即可． 【详解】解：①等腰三角形底边上高的长度等于这条边上中线的长度，故①不正确； ②如图，是的中线，且，延长至点，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 结论②正确； 故选：D． 题型3. “等角对等边”的应用 【例1】（24-25八年级下·重庆·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．全等三角形的对应角相等 B．如果，那么a，b都是正数 C．等腰三角形的两底角相等 D．直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题真假，全等三角形的判定定理，等腰三角形的判定定理，直角三角形的性质，乘法计算，把原命题的结论和条件互换写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：三个角对应相等的两个三角形是全等三角形，这是一个假命题，符合题意； B、原命题的逆命题为：如果a，b都是正数，那么，这是一个真命题，不符合题意； C、原命题的逆命题为：两底角相等的两个三角形是等腰三角形，这是一个真命题，不符合题意； D、原命题的逆命题为：有两个角互余的三角形是直角三角形，这是一个真命题，不符合题意； 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形的个数（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据角平分线的定义，以及平行线的性质可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系．本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质进行推导是解决问题的关键． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，，即，都为等腰三角形． 又，， ，且， ，都为等腰三角形． ，与的平分线相交于点， ， ，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：，，，，， 故选：B． 【例3】（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，． 求的周长． 解：BM平分， _______． ， （_______ ）． _______． （_______ ）． 同理可得_______． 周长 _______． 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明得到，同理可得，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：平分， ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． （等角对等边）． 同理可得． 周长 ． 【变式1】（23-24八年级下·四川南充·期末）如图，在中，点，分别为，的中点，的平分线交于点，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出 的长度． 【详解】解：在中， ， （等角对等边）， 又， ． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 【变式4】（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，是的角平分线，垂直平分分别交、于点、，连接． (1)如果，求的度数； (2)过点作交边于点，如果，求的周长． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （2）根据以及角平分线的定义，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：是的角平分线， 垂直平分 ， ， ∴； （2）解：如图， 是的角平分线 ， ∴， ∵ ． 题型4. 等腰三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】（2025·湖南湘西·二模）如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 根据点A的坐标为可得，再证明，再根据全等三角形的性质、，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·上海虹口·期末）已知：如图，在中，，，线段的垂直平分线交线段于点E，交线段于点D，连接．如果，，求的周长． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质． 由的垂直平分线交于点D，可得，又由等边对等角，可求得的度数，继而求得的度数，则可判定是等腰三角形，继而求得答案． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，掌握等边对等角． （1）由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长； （2）由等腰三角形的性质推出， ， 即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 题型5. 等腰三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理，先由等腰三角形性质得到，再由三角形内角和定理确定，利用垂直平分线性质及等腰三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则, 由三角形内角和定理可得, 是的垂直平分线， ,则， , 故选：A． 【例3】（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． (1)若，求的周长； (2)若，求的度数． 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【详解】（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在和中，，，，与分别相交于点，与相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由已知可得，，即得，进而由三线合一得，最后根据三角形内角和定理计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键．由于点，可以得到和是直角三角形，根据直角三角形的判定“”，可以证明,得到，进而得到． 【详解】解：∵于点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，点 D 是 的边的中点，点E 在上，过点E作交于点F，连接，若 ． (1)求证：； (2)如图2，若 ，在不添加任何辅助线的情况下，图中所有三角形均为等腰三角形，请直接写出的度数． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）证明，得到，平行线的性质，推出，即可得证； （2）根据等边对等角结合全等三角形的性质，分三种情况，结合三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 当时，则：， 由（1）可知：， ∴； 当时，则：， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 综上：或或． 【变式4】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）图，在等腰中，，，平分，折叠使得点B与点C重合，折痕交于点E、F、G，连接交于点H． (1)试说明：； (2)连接，求的度数． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． （1）由折叠可知，，垂直平分，然后导角证明，进而可证明，则； （2）由线段垂直平分线的性质得到，则，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠可知，，垂直平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型6. 等腰三角形的性质与判定综合——证明 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点在上，且，连接，的平分线交于点，点在上，连接，且． 【问题提出】 （1）如图1，与全等吗？为什么？ 【问题探究】 （2）如图2，连接交于点，请判断与是否相互垂直，并说明理由． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到，再证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以，所以， 在利中， ， 所以． （2），理由如下： 因为， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（2025·浙江温州·模拟预测）如图，点在线段AB上，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求的长． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理和等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，得到，据此可证明结论； （2）根据等边等等角得到，由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ． ． 是等腰三角形． （2）解：， ， ， ． , ， ， ． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，，平分，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 即平分． 【变式3】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：； (3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【分析】对于（1），根据中点定义得，再由折叠的性质得，可得答案； 对于（2），根据折叠的性质得，再根据等边对等角得，然后根据平角定义和三角形内角和定义得，最后根据“内错角相等两直线平行”得出答案； 对于（3），根据平行线的性质得，，进而得出，由折叠的性质得，可得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（4），先根据等腰三角形的对称性可知，进而说明，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：． ∵点D是的中点， ∴. 根据折叠的性质得， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 根据折叠的性质得， ∴， ∴； （4）解：由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）； 当时，， ∴． 所以的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论． 【变式4】（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)连结、，请判断、的位置和数量关系； (2)连结、，求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等腰直角和等腰直角，得到，，利用可得出，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为．证得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式，，即可得到结论． 【详解】（1） 理由如下： ∵和都为等腰直角三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 过点作，垂足为， ∵和都是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 题型7. 作等腰三角形 【例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）作图或证明： (1)如图，已知：线段，请利用尺规作图求作：等腰，使线段为底，线段为底边上的高．（不写作法，保留作图痕迹） (2)请证明命题：有两条高相等的三角形是等腰三角形．（根据题意画出图形，写出已知、求证并进行证明） 【分析】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作射线，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线，垂足为，在射线上截取线段，使得，连接，，即为所求； （2）写出已知，求证，利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：已知：如图，在中，于，于，且． 求证：是等腰三角形． 证明：于，于， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·期末）小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． (1)按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） (2)小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． (3)你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） (4)小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据题意作出图形结合等腰三角形的定义即可得到答案； （2）根据等腰三角形的等腰可得，则以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （3）作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （4）作出（1）（2）（3）的图形即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，一共有3个点符合题意， 由作图方法可得，故底边为； （2）解：∵作为的底边， ∴， ∴以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：如图所示，一共有8个点符合题意； 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线及等腰三角形的判定， （1）过点B作的垂线即可； （2）先证明，进而证明，即可证明结论； 【详解】（1）解：下图即为所求作． （2）解：为等腰三角形． 理由：在中，， ∴． ∵分别为边上的高线， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． 【变式3】（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在直线上有一点，直线外有一点，点在直线上，是以、为腰的等腰三角形． （1）在图中画出 （2）已知，求 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形（注意有两种情形）． （2）分两种情形，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求． （2）在△ABC中，∵∠CAB=40°，AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC=（180°-40°）=70°． 在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′， ∴∠AC′B=∠ABC′=（180°-140°）=20°． 综上所述，∠ACB=70°或20°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 题型8. 等边三角形的性质 【例1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【例2】（2025·海南海口·三模）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接． (1)求证：： (2)若的边长为6，求的长． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是等边三角形，得，结合中线的定义得，即可证明； （2）结合等边三角形的性质得，，因为，得，再由等角对等边得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由等边可得，根据可得，利用三线合一性质可得，代入数据即可解答． 【详解】解：等边， ，， ， ， ， 又， ． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，交于点F，连接，根据等边三角形的性质得出是的垂直平分线，证明，得出，说明当B，，三点共线时，最小，的最小值，得出当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，求出最小值即可． 【详解】解：连接，交于点F，连接，如图所示： ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵当B，，三点共线时，最小，的最小值， ∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为9， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数． 【分析】本题等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质等知识点． 先根据证明，再由三角形的外角性质即求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 【变式4】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在等边中，点、在边、上，且，连接、交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）根据等边三角形的性质得到，运用“边角边”即可求证； （2）根据题意，由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在等边中，， ∴． 题型9. 等边三角形的判定 【例1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．同旁内角互补； B．面积相等的两个三角形全等； C．等腰三角形的中线、高线、角平分线互相重合，简称“三线合一”； D．有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定．根据平行线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定定理判断逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是错误； B、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是错误； C、等腰三角形的底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，简称“三线合一”，本选项说法错误； D、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是正确； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， ∴ 是等边三角形 【变式1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键． 分别写出逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 题型10. 等边三角形的性质与判定综合——求长度 【例1】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，再结合等边三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵衣架杆．， ∴是等边三角形 ∴ 故选：B 【例2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖北恩施·期中）一艘轮船由海平面上地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到地，则、两地相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【分析】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得的长． 【详解】解：如图所示：连接． 点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向， ． 又， 为等边三角形． 海里． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（　　） A．19 B．22 C．24 D．30 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定及性质；由平移的性质得，，，由等边三角形的判定得是等边三角形，即可求解；掌握平移的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得： ， ， ， ， 是等边三角形， 的周长为： ， 故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式4】（23-24八年级下·全国·假期作业）（1）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长．小明同学的解法是：将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处．请你画出图形并写出完整的解题过程； （2）【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明； （3）【拓展】如图3，在四边形中，平分，，，，则的长为__________． 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； （3）在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证；由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， , ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：18． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型11. 等边三角形的性质与判定综合——求角度 【例1】（24-25九年级上·天津·期末）如图，中，．将绕点逆时针方向旋转得到．此时恰好点在上，交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先求出，由旋转的性质得出，，则是等边三角形，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点B逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知和，点C在边上，，，，若，求的度数． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．根据证明，由全等三角形的性质得，，则可证为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ； ， 是等边三角形． ． 【变式1】（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，点O是等边内一点，，，D是外的一点，，连接． (1)【问题初探】 求证：是等边三角形； (2)【问题再探】 当时，求的度数； (3)【问题拓展】 当是等腰三角形时，求的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由此即可证明结论； （2）根据等边三角形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，根据角度间的关系求出结果即可； （3）先根据周角的定义和等边三角形的性质求出，，再分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用等边对等角和三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由等边知，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）知是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 【变式3】（24-25七年级下·上海青浦·期末）在中，的垂直平分线分别交边、边和直线于点，连接． (1)点在的延长线上， ①如图，求证：； ②如图，当时，求的周长； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用； （1）①根据三角形内角和定理分别表示出，即可得证； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质，即可求解； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，求解即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长为； （2）解：设 当时， ∵ ∴ ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ 在中，即 解得：，即； 当时，， 同理可得， ∴， 解得：，即； 当时，， 如图， 在中， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍去） ∴此情形不存在， 综上所述，当是等腰三角形时，或． 题型12. 等边三角形的性质与判定综合——证明 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【例2】（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【分析】（）利用证明即可； （）先证为等边三角形，可得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. 【变式1】（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 【变式2】（24-25七年级下·上海黄浦·期末）实践与探究 【提出问题】是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点，连接．猜想的形状． 兴趣小组的三位同学根据已知条件画出图形并分别度量和的长度，结果如下： 的长度 的长度 小明 2.6 2.6 小丽 3.4 3.4 小亮 4.1 4.1 根据以上数据，猜想：是___________三角形． 【解决问题】兴趣小组对上述猜想进行了证明，请你补全证明过程． 证明：如图，在边上截取，连接． 是___________三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可作答． （2）理解题意，结合上下已有的过程，先结合等边三角形的性质得出，因为平分以及进行角的等量代换得，再证明，然后进行角的整理，得，即可作答． 【详解】解：[提出问题] ∵根据所测的数据得出 ∵ ∴是等边三角形； 故答案为：等边 [解决问题] 在边上截取，连接． 是等边三角形， ， ∵ ∴ ． 平分 ． 在和中， ． ， 是等边三角形． 【变式3】（24-25八年级下·甘肃陇南·期中）【课本内容】 如图1，连接的顶点A和它所对的边的中点D，所得线段叫做的边BC上的中线． 【尝试应用】 学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围． 反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题处理】 如图3，已知是中边上的中线，F是上的一点，交于点E，，求证：； 【拓展提升】 如图4，在等边中，点E是边上一定点，点D在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握倍长中线法和截长补短法构造全等三角形是解题的关键： （1）利用证明，进而得到，三角形的三边关系求出的范围，进而求出的范围； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，结合，等边对等角，对顶角相等，得到，即可得证； （3）在上截取，证明，得到，再根据，等量代换即可得出结论． 【详解】解：尝试应用：延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题处理：延长至点，使，连接，   同（1）法可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 拓展提升：在上截取，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型13. 含30°角的直角三角形性质 【例1】（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别是的中点，证明： (1)； (2)． 【分析】（）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而即可求解； （）根据三线合一即可求证； 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ∴，， ∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 【变式1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，E是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：B 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在和中，，点E为中点，，，点E、F关于成轴对称，连接．求证：为等边三角形．    【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，直角三角形的性质，轴对称图形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由轴对称的性质得到，则，由此可证明为等边三角形． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在和中，，点E为中点， ∴， ∵点E、F关于成轴对称， ∴， ∴， ∴为等边三角形．    【变式3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式4】（24-25八年级上·重庆南岸·期中）探究学习： 阅读材料：已知直角三角形斜边上的中线具有以下性质：“直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半，即：如图1，中，，若，则”，请运用这个性质解决下列问题： 如图2，在中，点为边中点，直线绕定点旋转，若点在直线a的异侧，直线于点直线于点，连接 (1)延长交于点（如图3） ①求证 ②求证 (2)若直线绕点A旋转到图4的位置时，点在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中点的性质，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）①根据题意得出，，再由全等三角形的判定证明即可；②利用全等三角形的性质及题中的条件即可证明； （2）延长交于点F，方法同（1）证明即可． 【详解】（1）证明：① ，， ∴， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∵， ∴； ②由①得， ∴， ∵， ∴． （2）成立，理由如下： 延长交于点F，如图所示， ，， ∴， ∴， ∵点为边中点， ∴， ∵， ∴； ∴， ∵， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海长宁·期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两个等边三角形全等 B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定及等腰三角形、等边三角形相关概念，解题的关键是准确理解全等三角形的判定条件和性质． 根据全等三角形的判定条件，逐一分析各选项是否成立． 【详解】A．两个等边三角形全等：错误．等边三角形对应边相等且每个角均为，但若边长不同（如边长为2和3的等边三角形），则不全等； B．腰长对应相等的两个等腰三角形全等：错误．等腰三角形仅腰长相等，但底边长度或顶角可能不同（如腰长均为5，底边分别为6和8的三角形），无法保证全等； C．面积相等的两个三角形全等：错误．面积相等仅说明面积数值相同，但形状和边长可以不同（如底4高3与底6高2的三角形面积均为6），不全等； D．成轴对称的两个三角形全等：正确．轴对称是几何变换中的全等变换，变换前后图形形状、大小完全一致，符合全等定义． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是熟记等腰三角形的定义和判定定理．根据等腰三角形的定义（两个角相等或两边相等），逐一分析各选项中的角度条件，判断是否存在两个相等的角． 【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意； B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意； C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意； D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 4．（2025·河北邯郸·二模）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等等知识点，由题意得直线是的垂直平分线，推出，；求出即可求解； 【详解】解：由尺规作图知，直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ． 故选：B 5．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， 又∵ ， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级下·福建三明·期末）已知射线在内部，为射线上一点，如图所示．点分别在上（不与重合），连结，下列说法错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【分析】本题考查中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，结合题意，作出图形，由中垂线的判定与性质确定A正确；由等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质确定B正确；由全等三角形的判定与性质确定C正确；从而得到答案，熟记中垂线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：A、如图所示： ，， 是线段的垂直平分线，即， 故选项正确，不符合题意； B、如图所示： ，， 是等腰的角平分线， ， ，则； 故选项正确，不符合题意； C、如图所示： 由，，无法确定， 进而无法确定， 故选项错误，符合题意； D、如图所示： ，，， ，则； 故选项正确，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，若，，，那么的周长是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，由角平分线定义可得，由平行线的性质可得，则，所以，同理，然后由的周长，，可得，最后由的周长即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵的周长，， ∴， ∵的周长为 ， ∴的周长是， 故选：． 8．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，和都是等边三角形且点，，在一条直线上，，相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，则①；②；③；④平分．正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④ 【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，结合角平分线依次判断即可． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，故①正确； ． 又， ，故②正确； ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，故③正确； 过点分别作，于点，两点， 如图所示： ，， ， 在和中， ， ， ， 又在的内部， 平分， 故④错误； 故选：C． 9．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在中，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接分别交、于点D、E，连接．下列说法正确的是（   ） A．若，且，则的大小为 B．若，且，则的大小为 C．若，的周长为8，则的周长为13 D．若，的周长为8，则的周长为13 【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，从而得出，，，根据等边对等角的性质和三角形外角的性质可判断A、B选项；根据垂直平分线的性质可判断C、D选项． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ，， ， ，且， ， ， ，A、B选项错误； 的周长为8， ， ， 的周长，C选项正确； ， ， 的周长，D选项错误； 故选：C． 10．（24-25九年级下·河北石家庄·阶段练习）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断：①；②；③；④，正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断①；由不一定等于，即可判断②；由对称的性质得，根据全等三角形的性质即可判断③；如图，过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断④；综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故②错误， ∵与关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 同理可得：， 由轴对称性质可知：， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①③④． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点是上一点，连接，将沿折叠，点落在上的点处，若，则的度数 ． 【分析】本题主要考查折叠问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义及性质；根据等腰三角形的性质得到，利用折叠得到，再根据三角形的内角和定理计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，点落在上的点处， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，若，则的长为 ． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，则有，再利用等角对等边即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 13．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．    【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，，从而可求，再求出，然后利用平行线的性质即可求解． 【详解】， ， ， ， ． ， ． ∵， ， ． 14．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，，平分交于点D，E是的垂直平分线与的交点，连接，则的周长为 ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质．由题意得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的垂直平分线与的交点， ∴， ∴的周长为， 故答案为：14． 15．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为 ． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质． 先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，最后根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵在中，，是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·福建宁德·期末）如图，在中，为边上的高线，为边上的中线，，交于点，连接．则下列结论正确的是 ．（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：若， ∵为边上的中线， ∴， ∵为边上的高线，且三角形的三条高线交于一点， ∴，故①正确； 若， ∵为边上的高线，为边上的中线， ∴无法得到点F的位置，无法得到与的关系，故②错误； 若， ∵为边上的高线， ∴为边上的中线， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 若， ∴点F是的三条垂直平分线的交点， ∴，， ∵为边上的高线，为边上的中线， ∴，， 即， ∴是等边三角形， ∴点F是的三条角平分线的交点， ∴是的角平分线， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边AC的长为2，则的长为 ． 【分析】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是根据计算结果发现规律进行求解. 根据已知分别求出，，，发现变化规律即可. 【详解】在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时， 故答案为: . 20．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，，D为线段BC上的一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，以下三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是 （填序号） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和外角性质．①根据三角形外角的性质即可得到；②证明，即可判断；③结合三角形内角和定理、等腰三角形的判定求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出． 【详解】解：①， ， ，， ， ，故①正确； ②， ， 由①知， ， ， ，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上正确符合题意的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 21．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ； (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案； （2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，进而可得，再根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线， 故答案为：垂直平分线，角平分线； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵射线是的平分线， ∴． 22．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，全等三角形的判定，三线合一定理，分别以B、C为圆心，以大于长的一半为半径画弧，二者交于一点，作过该点和点A的直线交于D，则可得到，则可利用证明． 【详解】解：如图，点即为所求． 23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 24．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于F，于E，点M为的中点， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）根据等腰三角形两底角相等求出，，然后根据平角等于列式计算即可求出． 【详解】（1）证明：，，为的中点， ，， ， （2），， ， ， ，， ， ， ． 25．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 26．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图，在中，，．点为上的一点，连接，且为边上一动点（不与点重合），以点为直角顶点、以射线为一边作，另一条直角边与边交于点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的面积为10，四边形的面积是否会随着点的位置不同而发生变化？若不会发生变化，请直接写出四边形的面积；若会发生变化，请说明理由． 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，三角形中线性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）根据等腰直角三角形性质和判定，证明，结合全等三角形的性质可得结论， （2）求解，再结合，即可解题． 【详解】（1）解：在中，， ． ， ， ，，， ∵， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形； （2）解：点 D 为 的中点， ∴， 由（1）得：∵， ， 四边形的面积. 27．（24-25八年级下·山西运城·期中）已知：如图，在中，，在中，，，． (1)求证：； (2)若点D在边上，证明； (3)在（2）的条件下，若与交于点F，直接写出图中所有的等腰三角形． 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平行线判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据题意证明，即可证明； （2）利用全等三角形性质和等腰三角形性质推出，再结合平行线判定定理求解即可； （3）根据全等三角形性质，以及等腰三角形判定分析求解，即可解题． 【详解】（1）证明：，，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ； （3）解：， 为等腰三角形； ， ， ， ， ， ， ，为等腰三角形； 综上所述，，，为等腰三角形． 28．（24-25七年级下·四川成都·期中）【尝试初探】在继续研究直角三角形时，发现在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：已知在中，，，求证：． 以下是两位同学不同的证明思路： 小明采用“截长法”（如图1）在上截取，连接… 小丽采用“补短法”（如图2）延长到点D，使得，连接… （1）请你任选其中一位同学的方法完成证明； 【深入探究】 （2）如图3，在平行四边形中，，，，，点P从点B出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，过点P作于E，作交直线于点F，交直线于点Q，点P运动时间为t（秒）．求t为何值时，与全等，并说明理由． 【分析】（1）小明方法，在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，求得，得到，求得；小丽方法，延长到D使，连接，则，则，得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，推出是等边三角形，得到，求得． （2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在的延长线上时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：小明方法， 在上截取，连接，如图1， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，； 小丽方法， 如图2，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：当点Q在线段上时，如图3 ∵，， ∴， ∵与全等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在的延长线上时，如图， ∵与全等， ∴， 同理得，， ∴， 综上：或4时，与全等． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，线段垂直平分线的性质，综合运用这些知识是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）当点和点重合时取得最小值，即可求解； （2）①证明，根据全等三角形的性质，即可求解； ②设交于点，连接，在上取点使得，根据，得出，则，进而证明是等边三角形，证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：在中，时，点为所求费马点． ∵当点和点重合时取得最小值， ∴点为所求费马点． 故答案为：点． （2）解：①，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②如图，设交于点，连接，在上取点使得， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质判定定理，全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理以及已知条件得出，进而得出，则，即可得证； （2）证明得出，则，即可得证； （3）根据（2）的方法证明，只有欢欢的可以证明，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$