【第十五章 轴对称 02讲 画轴对称的图形】【三大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十五章 轴对称 02讲 画轴对称的图形 题型归纳 【题型1. 画轴对称图形】………………………………………………………………… 2 【题型2. 坐标系中的轴对称变换】……………………………………………………… 5 【题型3. 轴对称的实际问题】…………………………………………………………… 7 【题型4. 轴对称综合——面积问题】…………………………………………………… 8 【题型5. 轴对称综合——最值问题】…………………………………………………… 10 【题型6. 轴对称综合——其他问题】…………………………………………………… 13 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 16 知识清单 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤：①找图形的关键点； ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型专练 题型1. 画轴对称图形 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 【例2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线m的轴对称图形； (2)画出关于点D中心对称的； (3)画出绕点B顺时针旋转后的，并求出在旋转过程中点A经过的路径长度． 【变式1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【变式2】（21-22八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，每一个小正方形的顶点称为“格点”，请你用无刻度直尺，借助网格，按要求完成作图： (1)以AB所在直线为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABD； (2)以AD所在直线为对称轴，作出△ABD的轴对称图形△AED； (3)已知A点的坐标为(0，2)，C点坐标为(4，4)，请你建立平面直角坐标系并分别写出点D和点E的坐标为_______． 题型2. 坐标系中的轴对称变换 【例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)点关于轴的对称点坐标为__________； (2)将向左平移3个单位长度得到，请画出； (3)在（2）的条件下，的坐标为_________． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【变式2】（2025·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、、、），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 【变式4】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，且与交于点Q，画出线段及点Q，并写出点P的坐标． 题型3. 轴对称的实际问题 【例1】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ． 【例3】（23-24八年级上·江苏泰州·周测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 题型4. 轴对称综合——面积问题 【例1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． (1)按要求作图：关于轴对称的图形； (2)求的面积． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的； (2)分别写出，C的坐标； (3)的面积为 【变式2】（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是． (1)画出中关于x轴对称的图形，写出点的坐标； (2)求出的面积． 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出三点的坐标； (2)求的面积． 题型5. 轴对称综合——最值问题 【例1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）作图题：(不写作法)．已知：如图所示．求作： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上确定点P，使最小． 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【变式1】（24-25八年级上·云南·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上． (1)作出关于轴对称的； (2)在轴上找点，使得最小，直接写出点的坐标_________； (3)的面积为_________． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹，不写做法）． 题型6. 轴对称综合——其他问题 【例1】（2025·安徽淮南·模拟预测）中国传统窗棂设计美不胜收，古色古香的窗棂代表中国古人的智慧以及精湛的工艺．在如图所示的窗棂的设计图案中，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，按要求回答下列问题． (1)在图中建立正确的直角坐标系，并写出点B的坐标． (2)求出的面积． (3)在图中画出关于y轴的对称图形． 【变式1】（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·河南鹤壁·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A，C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC 关于y轴对称的△； (3)写出点的坐标； (4)在y轴上找一点P，使得PB=PC． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 【变式4】（2025·安徽合肥·三模）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东威海·一模）点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．若点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·二模）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（2024·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（22-23八年级上·山东威海·期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 9．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内 10．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2025·广东惠州·二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 12．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 14．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点A的坐标是 ． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是 ． 16．（21-22七年级下·山东德州·期中）如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标关系，三角形AOB内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 ． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 . 18．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 19．（21-22八年级上·河南商丘·期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 20．（21-22八年级上·北京朝阳·期中）如图三角形ABC的顶点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标： ． 三、解答题 21．（24-25八年级上·四川南充·期中）已知点，．若A、B关于y轴对称，求的值． 22．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． (1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； (2)如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 23．（24-25八年级下·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． (1)作关于轴对称的图形； (2)将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，直接写出点的坐标． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 25．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． (1)作关于关于y轴的对称图形，其中A、B、C的对称点分别是D、E、F，并写出点D坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点P，并写出此时点P的坐标； (3)求的面积． 26．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）如图，要在笔直的街道l上建一个牛奶站P，向居民区A、B提供牛奶． 作图：找出牛奶站P，使居民区A、B到它的距离之和最短． （2）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．在图中作，使和关于x轴对称，并写出点的坐标． 27．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，在射线上取一点，作点关于直线的对称点为，连接，点在射线上，连接，过点作于，过点作于． (1)若点在点的上方， ①依题意，在图中补全图形； ②若，求的长； (2)当点在射线上运动时，请画出图形，标注字母，并直接用等式表示、、之间的数量关系（不需要证明）． 29．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 30．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称 02讲 画轴对称的图形 题型归纳 【题型1. 画轴对称图形】………………………………………………………………… 2 【题型2. 坐标系中的轴对称变换】……………………………………………………… 6 【题型3. 轴对称的实际问题】…………………………………………………………… 11 【题型4. 轴对称综合——面积问题】…………………………………………………… 13 【题型5. 轴对称综合——最值问题】…………………………………………………… 20 【题型6. 轴对称综合——其他问题】…………………………………………………… 25 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 32 知识清单 知识点1 轴对称变换 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 知识点2 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤：①找图形的关键点； ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 例：如图(1)，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线对称的图形. （1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'=OA，A'就是点A关于直线l的对称点； （2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'； （3）连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B'C'即为所求. 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 题型专练 题型1. 画轴对称图形 【例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在方格纸中（每个小方格是边长均等的正方形）画出四边形关于直线l对称的四边形． 【分析】题目主要考查轴对称图形的作法，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． 根据题意，分别作出对称点，然后顺次连接即可． 【详解】解：（1）利用方格，作点A关于直线的对称点； （2）用同样的方法作出点，D关于直线的对称点，； （3）顺次连接，得到的四边形就是所要作的图形． 【例2】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出关于直线m的轴对称图形； (2)画出关于点D中心对称的； (3)画出绕点B顺时针旋转后的，并求出在旋转过程中点A经过的路径长度． 【分析】本题主要考查了图形的变换—轴对称，旋转，中心对称： （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：如图所示：即为所求； 根据题意得：， ∴点A经过的路径长度是． 【变式1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【分析】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 【变式2】（21-22八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格中，每一个小正方形的顶点称为“格点”，请你用无刻度直尺，借助网格，按要求完成作图： (1)以AB所在直线为对称轴，作出△ABC的轴对称图形△ABD； (2)以AD所在直线为对称轴，作出△ABD的轴对称图形△AED； (3)已知A点的坐标为(0，2)，C点坐标为(4，4)，请你建立平面直角坐标系并分别写出点D和点E的坐标为_______． 【分析】（1）作出点C关于直线AB的对称点D即可； （2）作出点B关于直线AD的对称点E即可； （3）建立平面直角坐标系，写出点D和点E的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，△ABD即为所求． （2）解：如图，△ADE即为所求． （3）解：建立平面直角坐标系如图所示， D（4，0），E（3，-2）． 故答案为：（4，0），（3，-2）． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型2. 坐标系中的轴对称变换 【例1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，故答案为：1． 【例2】（24-25八年级下·湖南永州·期中）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)点关于轴的对称点坐标为__________； (2)将向左平移3个单位长度得到，请画出； (3)在（2）的条件下，的坐标为_________． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标特征，画图形的平移，求平移后点的坐标；理解平移的性质，点关于坐标轴对称的特征是解题的关键； （1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解； （2）求出点A、B、O三点平移后的坐标，再依次连接即可； （3）由点A的坐标得到平移后点的坐标． 【详解】（1）解：点B的坐标为，它关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：； （2）解：向左平移3个单位长度后的如图所示， （3）解：点A的坐标为，它向左平移3个单位后，点的坐标为； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则 ． 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵与点关于轴对称， ∴ ∴ 故答案为：． 【变式2】（2025·陕西榆林·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标依次为、、、．四边形与四边形关于轴对称（点、、、的对应点分别为点、、、），请你在图中画出四边形，并写出点的坐标． 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，根据轴对称的性质找到点、、、的位置，进而画出图形，再根据图形写出点的坐标即可，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，四边形即为所求，由图可得，点的坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）如图，已知的顶点A，B，C的坐标分别是，，． (1)画出关于原点O对称的，并写出点，，的坐标； (2)画出关于y轴对称的． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点的坐标特征： （1）根据关于原点O对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到对应点的坐标，描出，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵与关于原点O对称，，，， ∴，，； （2）解：关于y轴对称的如图所示． 【变式4】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为． (1)请画出关于y轴对称的； (2)在所给的网格图中确定一个格点P，使得，且与交于点Q，画出线段及点Q，并写出点P的坐标． 【分析】本题考查作图-轴对称变换、作角等于已知角． （1）分别作出关于y轴对称的对应点，，，再顺次连结得到； （2）作角，利用网格确定点P的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如解图，线段及点Q即为所作，点P的坐标为． 作角等于已知角的常用方法： 1．作角，利用等腰直角三角形（绕一端点旋转）； 2．作三角函数已知的角，先绕一端点旋转，再作分点． 题型3. 轴对称的实际问题 【例1】（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·山东烟台·期中）小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是 ． 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【例3】（23-24八年级上·江苏泰州·周测）如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题． 【详解】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“=”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到的汽车车牌的部分号码如图所示，则在该车牌的部分号码为（ ） A．E9362 B．E9365 C．E6395 D．E6392 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 利用镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称， 则该汽车的号码是E6395， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，，是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面上放了写有字母“”的纸片，某人站在处可以看到镜面上的字母在镜面，，中的影像，则下列判断中正确的是（　　）    A．镜面与中的影像一致 B．镜面与中的影像一致 C．镜面与中的影像一致 D．在镜面中的影像是“” 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可求得镜面与中的影像一致． 【详解】解：根据题意得： 在处可以看到镜面上的字母在镜面与中的影像都是“”， 镜面与中的影像一致． 故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【分析】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒成为解题的关键． 根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 题型4. 轴对称综合——面积问题 【例1】（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是单位1． (1)按要求作图：关于轴对称的图形； (2)求的面积． 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握关于轴对称的图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，即可得到关于轴对称的图形； （2）将补成长方形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1，进一步根据进行求解即可． 【详解】（1）解：关于轴对称图形，如图所示， ∴即为所求作． （2）解：如图所示，将补成矩形，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1， ∴，，，，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， ∴的面积为． 【例2】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出即可，从而可得出点的坐标； （2）连接与点，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为； （2）解：连接，点，如图， 则． 【变式1】（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的； (2)分别写出，C的坐标； (3)的面积为 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由（1）图可知：； （3）解：的面积为． 【变式2】（23-24八年级上·云南昭通·期末）如图，在平面直角坐标系中的坐标分别是． (1)画出中关于x轴对称的图形，写出点的坐标； (2)求出的面积． 【分析】本题考查了作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可画出关于轴对称的图形； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积． 【详解】（1）如图，即为所求； ; （2） 【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于y轴对称的，并写出三点的坐标； (2)求的面积． 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称的性质得出对应点位置是解题关键． （1）依据轴对称的性质，即可得到关于轴的对称图形； （2）依据割补法进行计算，即可得出的面积． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）的面积． 题型5. 轴对称综合——最值问题 【例1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）作图题：(不写作法)．已知：如图所示．求作： (1)作出关于y轴对称的，并写出三个顶点的坐标； (2)在x轴上确定点P，使最小． 【分析】本题考查的是作图——轴对称变换，写出点的坐标，轴对称的性质求线段和的最值问题． （1）根据关于轴对称的点的坐标特点画出即可；根据各点在坐标系中的位置写出三个顶点的坐标； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，这时最小． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： 则； （2）解：如图所示，作关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，两点之间，线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，根据轴对称的性质分别找出点，依次连接，即可得； （2）根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可作答． （3）由（1）得点关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点，连接，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵ ∴点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：点P如图所示： ∴． 【变式1】（24-25八年级上·云南·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示．、、三点在格点上． (1)作出关于轴对称的； (2)在轴上找点，使得最小，直接写出点的坐标_________； (3)的面积为_________． 【分析】本题考查坐标与轴对称，掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）连接，与轴的交点即为点； （3）利用分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； 由图可知： 故答案为：； （3）解：的面积为； 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）（1）画出关于x轴的对称图形； （2）求的面积； （3）在y轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹，不写做法）． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可作出对称图形； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短即可使得周长最小； 本题考查了作图，轴对称变换，最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 【详解】（1）如图即为 （2） （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，该点为点， 题型6. 轴对称综合——其他问题 【例1】（2025·安徽淮南·模拟预测）中国传统窗棂设计美不胜收，古色古香的窗棂代表中国古人的智慧以及精湛的工艺．在如图所示的窗棂的设计图案中，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称．根据关于y轴对称的点的坐标特点求解． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标为． 故选：A． 【例2】（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形网格中，若点A的坐标为，点C的坐标为，按要求回答下列问题． (1)在图中建立正确的直角坐标系，并写出点B的坐标． (2)求出的面积． (3)在图中画出关于y轴的对称图形． 【分析】本题考查直角坐标系、网格作图—关于y轴对称、三角形面积等知识： （1）根据点C，A的坐标建立直角坐标系，即可； （2）用所在的三角形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （3）找到点A，B，C关于y轴的对称点，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 点B的坐标为； （2）解：； （3）解：如图，即为所求． 【变式1】（2024·山东淄博·二模）定义：两点关于某条直线对称，则称这条直线为这两个点的“幸福直线”·若点，幸福直线是，则点A关于这条幸福直线的对称点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了关于直线对称的点坐标的特征．熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征是解题的关键． 由点A关于幸福直线的对称点的坐标，可知A、B的纵坐标相同，横坐标和的一半等于，即，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，对称点到对称轴的距离相等，且对称点之间的连线与对称轴垂直， ∴点A与点B的纵坐标都相同 ，即， 故选：D． 【变式2】（22-23八年级上·河南鹤壁·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A，C的坐标分别为（-4，5），（-1，3）． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出△ABC 关于y轴对称的△； (3)写出点的坐标； (4)在y轴上找一点P，使得PB=PC． 【分析】（1）根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可； （2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可； （3）根据点的位置，即可写出点的坐标； （4）连接，交y轴于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图，△即为所求； （3）解：点的坐标为(2，1)； （4）解：如图，点P即为所求．    【点睛】此题主要考查了平面直角坐标系，轴对称变换，根据题意得出对应点位置是解题关键． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，并写出点、的坐标：______，______； (2)画出向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的；若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为______； (3)若点是轴上一点，且满足的面积等于4，则点的坐标为______． 【分析】本题考查了作图——轴对称和平移，轴对称和平移的性质，坐标与图形，绝对值方程，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图，再写出对应坐标即可； （2）根据平移的性质作图，再根据平移方式写出坐标即可； （3）设，根据三角形面积公式列绝对值方程，求出的值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作，，； （2）解：如图，即为所求作， 若点为边上一点，则点按如上平移后的对应点的坐标为， （3）解：点是轴上一点， 设， ， 的面积等于4， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【变式4】（2025·安徽合肥·三模）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 【分析】本题考查的是画轴对称图形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据为直角边确定的位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或． 理由：∵，， ， ∴，， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）点关于轴的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标规律．根据对称的性质，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故选：D． 2．（2025·山东威海·一模）点与点关于轴对称，点与点关于轴对称．若点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：点坐标为，则点的坐标为， ∴点的坐标为：； 故选C． 3．（2025·广东东莞·二模）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图是小明在美术课上剪出的蝴蝶，它是一幅轴对称图形，将它放在平面直角坐标系中，其对称轴与y轴重合，若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了坐标与图形—轴对称，根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得解，熟练掌握关于轴对称的点的特点是解此题的关键． 【详解】解：由轴对称的性质可得若点B的坐标是，则它的对称点A的坐标是， 故答案为：B． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，图中5个点D均在格点上，则能与点A，B，C组成轴对称图形的点D的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则点D的个数是4， 故选：B． 6．（2024·湖南岳阳·二模）一平面镜与水平面成角固定在水平桌面上，如图所示，一小球以的速度沿桌面匀速向左远离平面镜，则小球在平面镜里所成的像（      ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度，做竖直向上运动 D．以的速度，做竖直向下运动 【分析】本题考查了镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称， 则小球在平面镜中的像是以的速度，做竖直向上运动．故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，的面积为15，平分，若、分别是、上的动点，点关于的对称点是点，连接、、，由角的轴对称性可得．则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．明确和的最小值的情况是解题的关键． 根据题意得出，，可知当三点共线，且时，的值最小，作于，则的最小值为，由，计算求解即可． 【详解】解： ∵平分，点关于的对称点是点，， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小， 如图，作于，则的最小值为， ∵，即，解得， ∴的最小值为5， 故选：C． 8．（22-23八年级上·山东威海·期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：B． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 9．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内 【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可． 【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意； B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意； C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意； D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． 10．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，连接，作如下变换：第一次：将点A绕原点O逆时针旋转得到点；第二次：作点关于x轴的对称点；第三次：将点绕点O逆时针旋转得到；第四次：作点关于x轴的对称点……按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了作图-轴对称、旋转变换、全等三角形的判定与性质，找规律等知识，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义和性质，并找出规律． 先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得． 【详解】解：过点作轴于M，过点作轴于N， 由题意得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，则， 同上可求、、， ∴每4个点的坐标为一周期循环， ∵余1， ∴点的坐标与点的坐标一致，为， 故选：B． 二、填空题 11．（2025·广东惠州·二模）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【分析】本题考查点关于y轴的对称点的坐标的求法，由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质，可得点P关于y轴对称的点的坐标． 【详解】解：由点关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标不变的性质， 可得点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 12．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若点在轴上，点与点关于轴对称，则点的坐标是 ． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，根据轴上的点横坐标为求出的值，即得点的坐标，再根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求出点的坐标，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标是， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·假期作业）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． ． 【分析】本题主要考查了轴对称图形，规律探索，根据给出的图形得出一般规律，是解题的关键．根据图形得出这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，得出答案即可． 【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现， ∴第3个图形的图案为： 故答案为：． 14．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称或中心对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2024次变换后所得的点A的坐标是 ． 【分析】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，观察图形，回到原来位置需要经过3次对称变换，据此可解答． 【详解】解：观察图形，回到原来位置需要经过3次对称变换， ∵， ∴第2024次变换后所得的A点与第2次变换后的点A的位置相同， ∵点A坐标是， ∴第一次变换后所得的点A的坐标是， ∴第二次变换后所得的点A的坐标是， ∴第2024次变换后所得的A点坐标．故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）小明玩自拍，自拍照中电子钟示数如图所示，拍照的时刻应是 ． 【分析】本题考查镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键，关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：∵根据题意得，2的对称数字为5，1的对称数字是1，0的对称数字是0，自拍照中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是 故答案为：． 16．（21-22七年级下·山东德州·期中）如图，三角形COB是由三角形AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标关系，三角形AOB内任意一点M的坐标为（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 ． 【分析】根据轴对称的性质解决问题即可． 【详解】解：观察图象可知A，C关于x轴对称， ∴M，N关于x轴对称， ∵M（x，y）， ∴N（x，−y）． 故答案为：（x，－y） 【点睛】本题考查几何变换的类型，坐标与图形性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 . 【分析】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 18．（23-24七年级下·甘肃天水·期末）如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， ∴ 的周长=16 故答案为：16． 19．（21-22八年级上·河南商丘·期末）如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数． 20．（21-22八年级上·北京朝阳·期中）如图三角形ABC的顶点坐标如下：点A（2，2），B（1，1），C（5，1），若三角形DBC与三角形ABC全等，写出符合条件的点D的坐标： ． 【分析】依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标． 【详解】 解：如图所示， 当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（2，0）， 当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 4，0）， △BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为（4，1）， 当D与A重合时，点D坐标为（2，2）， 故答案为：（2，0）或（ 4，0）或（4，1）或（2，2）． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换构建全等三角形，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等． 三、解答题 21．（24-25八年级上·四川南充·期中）已知点，．若A、B关于y轴对称，求的值． 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，二元一次方程组的应用，代数式求值．掌握关于y轴对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标相等”是解题关键．根据关于y轴对称的点的坐标特点“横坐标互为相反数，纵坐标相等”，即可求出a和b的值，再代入中，求值即可． 【详解】解：∵A、B关于y轴对称， ∴， 解得：． ∴． 22．（24-25七年级下·广西防城港·期中）如图所示，左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． (1)试确定左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； (2)如果将右边图案沿轴向右平移个单位长度，那么它的左、右两朵花花心的坐标将发生什么变化？ 【分析】本题考查坐标系中的对称和平移，解题的关键是熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征，以及 点的坐标平移规律． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出左边图案中的左、右两朵花花心的坐标； （2）根据平移规律，即可得出花心坐标发生的变化，以及变化后的坐标． 【详解】（1）解：∵左、右两幅图案关于轴对称，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， 答：左边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和． （2）解：如果将右边图案沿轴向右平移2个单位长度，那么它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变， ∵右边图案中的左、右两朵花花心的坐标分别是和， ∴沿轴向右平移2个单位长度后，右边图案中的左、右两朵花花心的坐标将变为和， 答：它的左右两朵花花心的横坐标加2，纵坐标不变，左、右两朵花花心的坐标将变为和． 23．（24-25八年级下·广东梅州·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是，点的坐标为，点的坐标为． (1)作关于轴对称的图形； (2)将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，直接写出点的坐标． 【分析】本题考查的是画轴对称图形，平移的性质，坐标与图形； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）先根据图形可得，再利用平移的性质可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由（1）得：， ∴将向右平移4个单位长度，得到，其中点分别为点的对应点，则． 24．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在网格上；      (1)在直线l上找一点P，使得的周长最小并写出最小值为 ； (2)的面积是 ． 【分析】本题考查了割补法求图形面积，两点间线段最短等知识，熟悉这些知识是解答本题的关键． （1）首先作出点A关于l的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求作的点，然后利用勾股定理求出和，进而求解即可； （2）用割补法即可求得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求；    ∴， ∴ ∴的周长最小值为． （2）解：的面积． 25．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，． (1)作关于关于y轴的对称图形，其中A、B、C的对称点分别是D、E、F，并写出点D坐标； (2)P为x轴上一点，请在图中画出使的周长最小时的点P，并写出此时点P的坐标； (3)求的面积． 【分析】本题考查了轴对称变换，掌握关于x轴对称的坐标点时解题关键。 （1）分别坐出A、B、C的对称点分别是D、E、F，再连接D、E、F三点； （2）作关于C关于x轴对称的对称点H，连接与x轴的交点即为P点； （3）利用分割法计算 【详解】（1）解：D坐标坐标 （2） 坐标坐标 （3） 26．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）（1）如图，要在笔直的街道l上建一个牛奶站P，向居民区A、B提供牛奶． 作图：找出牛奶站P，使居民区A、B到它的距离之和最短． （2）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．在图中作，使和关于x轴对称，并写出点的坐标． 【分析】本题考查坐标与轴对称，轴对称作图： （1）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点； （2）根据轴对称的性质画出，进而写出点的坐标即可． 【详解】解：（1）如图，点P为所求， （2）如解图所示，即为所求作． 由图可知：． 27．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在正方形网格中，是格点三角形．（请仅用无刻度直尺完成以下作图，保留作图痕迹）． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点，使点到两点的距离相等； 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）先根据轴对称的定义确定关于直线的对称点，然后再顺次连接即可； （2）根据网格作出线段的垂直平分线，垂直平分线与直线的交点即为所求的点P． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：如图：点P即为所求． 28．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知，，在射线上取一点，作点关于直线的对称点为，连接，点在射线上，连接，过点作于，过点作于． (1)若点在点的上方， ①依题意，在图中补全图形； ②若，求的长； (2)当点在射线上运动时，请画出图形，标注字母，并直接用等式表示、、之间的数量关系（不需要证明）． 【分析】（1）①根据题意作出图形即可得解；②证明，利用全等三角形的性质及线段和差即可得解； （2）分点在线段外时当点在线段上，证明，利用全等三角形的性质及线段和差即可得解． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵，在射线上取一点，作点关于直线的对称点为，连接， ∴，， ∴， ∵于，于． ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴； （2）解：当点在线段外时，如图， ∵，在射线上取一点，作点关于直线的对称点为，连接， ∴，， ∴， ∵于，于． ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，在射线上取一点，作点关于直线的对称点为，连接， ∴，， ∴， ∵于，于． ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定及性质，补角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 29．（24-25八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，先将某点向左平移5个单位长度，再将所得的点作关于轴的对称点，我们把这个过程称为点的“优化变换”．若点经过“优化变换”后得到的点与点重合，我们称点为不动点． (1)点经过“优化变换”后的坐标为_____； (2)请判断点，是否为不动点？说明理由； (3)已知点为不动点，求的值． 【分析】（1）根据“优化变换”求解即可； （2）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义可得答案，同理可判断是不动点； （3）根据新定义的含义得到变换后的点的坐标为，结合新定义建立方程可得答案． 【详解】（1）点向左平移5个单位长度为 点关于轴的对称点为； （2）解：把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与不重合，不是不动点； 把向左平移5个单位，可得对应点坐标为，即； ∵关于轴的对称点的坐标为：， ∴与重合，是不动点； （3）解：点向左平移5个单位，可得对应点坐标为， ∵关于轴的对称点的坐标为：， 而点为不动点， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，新定义的理解，点的坐标平移和对称变换，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 30．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$