2.2.2有理数的除法（知识框架+知识梳理+ 同步练习）2025-2026学年人教版数学七年级上册

2.2有理数的除法 一、本节知识框架 二、本节知识梳理 1. 除法运算法则： 有理数除法运算法则：（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 ，即：a÷b = a×（b≠0）. （2）两数相除， ， ，并把绝对值相除. （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 注意：（1）除法在运算时有2个要素要发生变化，①符号发生变化.（“÷”变“×”）； ②除数发生变化.（除数变为它的倒数）. （2）0不能作除数，0作除数时无意义； 2．有理数四则运算法则： 运算顺序：如果无括号，那么要按照“ ”的顺序进行计算；如果有括号，要先计算括号里面的，再算括号外面的；同一级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并要合理运用运算律简化运算. 注意：①由除法变乘法，不要忘记颠倒除式的分子和分母，也不要出现符号错误； ②运用运算律不要出现符号问题或者漏乘倒数. 三、本节知识精练 一、单选题 1．计算的结果是（   ） A． B． C．25 D． 2．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．某同学在计算时，误将“÷”看成“+”，得到的结果是，则的正确的结果是（   ） A．8 B． C．4 D． 4．下列说法正确的是（    ） A．0除以任何数都等于0 B．1除以一个数就等于乘这个数的倒数 C．一个不等于0的有理数除以它的相反数等于 D．两数相除，商一定小于被除数 5．某商品打八折后的售价为160元，则该商品的原价为（    ） A．200元 B．240元 C．220元 D．260元 6．计算的结果是（   ） A．6 B．36 C． D．1 7．将式子中的除法转化为乘法运算，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯．之间的距离为800米，为1000米，为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同．若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（  ） A．50秒 B．45秒 C．40秒 D．35秒 二、填空题 9． ． 10．规定，例如，则 ． 11．一只灰兔和一只白兔进行跳跃比赛，灰兔每次跳10厘米，白兔每次跳15厘米，它们每秒都只跳1次，且一起从起点开始，在比赛途中，每隔12厘米有一陷阱，当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有 厘米． 12．计算： ． 三、解答题 13．计算： (1) ； (2)； (3) 14．计算： ． 15．阅读材料，回答问题． 计算：． 方法一：原式． 方法二：原式的倒数为：，故原式． 用适当的方法计算：． 16．综合实践 问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据． 查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：． 查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如： 可得： 上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法） 制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白． 图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码． 请完成下列问题： 【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来； 【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级； 【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2.2有理数的除法 1．D 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，根据除法运算法则进行计算即可，熟练掌握有理数除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据有理数的除法运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选A． 3．D 【分析】本题考查有理数的运算；根据题意构建方程，求解得，进而求代数式值． 【详解】解：根据题意，，得， ∴； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握法则是解题的关键．根据除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. 0除以任何一个不等于0的数都等于0，原说法错误，不符合题意； B. 1除以一个不为0的数就等于乘这个数的倒数，原说法错误，不符合题意； C. 一个不等于0的有理数除以它的相反数等于，说法正确，符合题意； D. 两数相除，商不一定小于被除数，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：∵某商品打八折后的售价为160元， ∴该商品的原价为（元），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式． 6．B 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，直接根据有理数的乘除计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了把有理数乘除混合运算统一为乘法运算，根据有理数的乘除法法则求解即可． 【详解】解：把统一为加法运算为， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了有理数的运算，推理与论证；通过计算，合情推理是解题的关键；先把速度单位化为以米每秒为单位；再计算出汽车分别通过所用的时间，然后分别就四个选项进行分析即可． 【详解】∵甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶， ∴两车的速度为：． ∵之间的距离为800米，为1000米，为1400米， ∴分别通过所用的时间为：，，． ∵这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯， ∴当每次绿灯亮的时间为时， ∵， ∴甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为时， ∵， ∴乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为40s时， ∵， ∴甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误； ∴当每次绿灯亮的时间为时， ∵，， ∴这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确. 则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒． 故选D． 9． 【分析】此题考查了有理数的乘法和除法，根据乘除法的关系列式计算即可． 【详解】解： 故答案为： 10． 【分析】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． 【详解】 解：由题意可得： ， ， 故答案为：． 11．4 【分析】本题考查了最小公倍数，有理数乘除法的应用，先分别求出灰兔，白兔每次所跳的距离和陷阱距离的最小公倍数进而求出灰兔，白兔掉下去所用时间，白兔用时少，则先掉下去，此时灰兔跳了（厘米），两边陷阱分别为36厘米和48厘米，离最近陷阱4厘米． 【详解】解：灰兔：10和12的最小公倍数为60，则（秒）， 灰兔跳6秒会调入陷阱； 白兔：15和12的最小公倍数为60，则（秒）， 白兔跳4秒会调入陷阱； 4秒秒， 白兔先掉下去，此时灰兔跳了：（厘米）， 40厘米两边的陷阱分别是36厘米和48厘米， 则离最近的陷阱有（厘米）， 即当它们中第一只掉进陷阱时另一只距离最近的陷阱有4厘米． 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数加法运算，有理数除法运算，有理数乘除混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键； （1）利用有理数加法法则计算求解即可； （2）利用有理数除法运算求解即可； （3）利用有理数乘除混合运算法则求解即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 14．15 【分析】本题考查有理数的混合运算，先把除法转化为乘法，运用乘法分配律解题即可．解题的关键是掌握有理数的运算律和运算法则． 【详解】解：原式 ． 15． 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，先求出原式的倒数，即可确定出原式的值．熟练掌握运算法则及运算律是解题的关键．也考查了倒数的意义． 【详解】解：∵ ， ∴． 16．（1）见解析；（2）九年级六班；（3），二维码见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意即可填涂出来； （2）根据题意把二进制转化为十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （3）根据题意把十进制转化为二进制数的方法即可求解． 【详解】解：（1）考场号二进制数10101，对应二维码的五个方格从左到右分别为：黑、白、黑、白、黑，填涂如下： （2）根据图的二维码图形，小张同学所在的年级：，即为九年级； 班级：，即为六班； （3）方法一：， 方法二：则， 补全图： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$