第六章 几何图形初步模型 章末诊断1 易错集训 2025-2026学年人教版数学七年级上册

初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断1：易错集训 PART 1——易错概览. 本章我们主要对双中点模型和双角平分线模型进行了学习，在各地的期末考试该模型都作为考试热点之一，以下是对该题型的易错点集中消错练习： PART 3——易错解析. 易错题型01 无法活用模型结论解题 1. （2025·海南文昌校级期末）如图，点在线段上，、分别为、的中点，若，则的长为 ． 【答案】2.5 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义；设，则，根据中点的定义可得，，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：设， ， ， 、分别为、的中点， ，， ， ， 故答案为：． 2.（2024·湖南张家界期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 3.（2023·河南洛阳期末）如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小？ 【答案】45° 【分析】先计算出∠BOC 度数，再根据角平分线的定义分别计算出∠COM和∠CON度数，从而利用∠MON＝∠COM﹣∠CON即可求解． 【详解】∵∠AOB是直角， ∴∠AOB＝90°． ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC ＝90°+50°＝140°． ∵OM平分∠BOC， ∴∠COM＝∠BOC＝70°． ∵ON平分∠AOC， ∴∠CON＝∠AOC＝25°． ∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝70°﹣25°＝45°． 【点睛】本题主要考查了角之间的和差关系及角平分线的定义，正确理解角的和差倍分关系是解题的关键． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不熟记模型结论，也不知道如何推结论，从而导致在计算中出现错误或冗杂过程. 易错题型02 无法运用逆向思维逆推答案 4.（原创）如图所示，，分别平分，，是外一条射线， 若=115°，则=______°. 【答案】130° 【分析】本题考查了角平分线的定义，由逆推回即可. 【详解】解：∵，分别平分，. ∴，. ∴. ∴. 故填：130°. 5.（2024·广东湛江期末模拟）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 【易错分析】这类题型的易错点在于题目灵活地运用结论的等量关系，一旦反过来推，有的同学便会出现计算错误，无从下手. 易错题型03 无法合理运用比例或等量关系 6．（2023·山西长治期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为 ． 【答案】9 【分析】先M是线段的中点，得出，根据，得出，即可得出，从而得出． 【详解】解：∵M是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，解题的关键是根据题意得出． 7.（2022·重庆一外入学）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，、分别是、的角平分线，已知，．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1)60° (2)135° 【分析】（1）根据、分别是、的角平分线，可得，从而得到，即可求解； （2），可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，弄清角与角间的数量关系，利用方程思想解答是解题的关键． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不能很好地利用题目所给的关系式，同学们要学会用铅笔圈画，这样才能让作答更加清晰，看到比例要下意识想到可能需要设元解决问题. 易错题型04 不能分类讨论解决问题 8.（2024·四川成都校级期末）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　） A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm 【答案】B 【分析】分情况讨论，当点C在线段AB的延长线上时，进行计算即可得，当点C在线段AB上时，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，当点C在线段AB的延长线上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， 如图所示，当点C在线段AB上时， ∵，， ∴cm，cm， ∴（cm）， ∴（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的表示线段的和差倍分，并分情况讨论． 9.（2023·安徽合肥科大附中入学）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生容易漏掉某一答案，要根据动点、动射线所在不同的位置进行分类讨论，还有就是学生对于此类题型不去养成画图的习惯，往往导致答案出错. 【答案】 【分析】首先根据角平分线的定义可得，再设，用含的代数式表示出和，根据题意列出方程可得答案． 【详解】解：当在外部时，   射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ， 解得， ∴； 当在内部时，   射线平分，射找平分， ，， ， 射线平分， ， 设，则，， ，解得：，不合题意； 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生计算能力和推理能力，注意要分类讨论． 易错题型05 不能从特殊到一般推出模型结论 10.（2025·山东德州期末）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵点表示的数分别为， ∴ ∴． 故答案为：． 11.（2025·辽宁大连校级期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【答案】（1）①；；②；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角的计算以及一元一次方程的应用，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）①首先求得的值，再结合角平分线的定义即可确定的度数；求得，结合角平分线的定义易得，然后由求解即可；②结合和的值直接求解即可； （2）结合题意即角平分线的定义可得，然后证明（1）中②的结论仍然成立即可； （3）设，根据图形用表示出和，根据列式求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵平分， ∴； ∵， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； ②； 故答案为：； （2）证明：∵，，平分，平分， ∴ ， ， ∴ ， ∴； （3）设，分三种情况讨论： ①如下图， ∵，∴，， ∵平分，平分， ∴     ， ， ∵， ∴， 解得，即； ②如下图， ∵ ， ， ∵， ∴， 解得，即． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生字母运算能力弱，或者不能进行复杂的角度计算，“特殊”指的是有固定的值，实际上真正的原理需要“一般”来推理，也就是不加度数、长度等推出结论，需要学生类比“特殊”做法来计算推理. 易错题型06 无法解决动点、动角难题 12.（2023·陕西西安校级月考）已知：如图1，点O是直线AB上的一点． （1）如图1，当∠AOD是直角时，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数； （2）若∠COD保持在（1）中的大小不变，它绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由； （3）若∠COD从（1）中的位置开始，边OC、边OD分别绕着点O以每秒20°、每秒10°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD． 求：①运动多少秒后，∠COD＝10°； ②运动多少秒后，∠COM＝∠BON． 【答案】（1）60°；（2）不会变化，∠EOF＝120°；（3）①  5或7；②  6 【分析】（1）先求出角∠BOD，再根据3∠AOC＝∠BOD，即可求出∠COD； （2）根据角平分线的意义和平角的意义可以求出∠COE+∠DOF，再代入∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD即可； （3）①由题意列出方程可求解； ②用t的代数式表示∠BOC，∠BOD，再根据角平分线的意义，列出方程即可． 【详解】（1）∵∠AOD是直角， ∴∠AOD＝90°＝∠BOD，且3∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＝30°， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°； （2）不会变化，理由如下： ∵OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD， ∴∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD， ∵∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD， ∴∠COE+∠DOF＝（180°﹣∠COD）＝90°﹣∠COD， ∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝90°﹣∠COD+∠COD＝120° （3）①设运动时间为t秒， ∵∠COD＝10°， ∴20t+10°＝10t+60°，或20t＝10t+60°+10°， ∴t＝5或7， ∴当运动5秒或7秒后，∠COD＝10°； ②当其中一边与OB重合时都停止旋转，则0＜t≤7.5，如图： 设运动时间为t秒， 则∠BOC＝150°﹣20t，∠BOD＝90°﹣10t 所以∠COM＝∠BOC＝（150°﹣20t） ∠BON＝∠BOD＝（90°﹣10t） ∴（150°﹣20t）＝（90°﹣10t） 解得t＝6， 所以6秒时∠COM＝∠BON． 【点睛】本题考查了角平分线的意义，角的和差倍分的关系，和一元一次方程的应用，第三题关键画出图形，找出角和t的关系． 【易错分析】这类题型的易错点在于题目难度大，考查内容丰富，对学生水平高，对于优生来说还是要争取拿到全分，注意题目计算量多，有时需要分类讨论的定势思维，还需要一定的方程思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 章末诊断1：易错集训 PART 1——易错概览. 本章我们主要对双中点模型和双角平分线模型进行了学习，在各地的期末考试该模型都作为考试热点之一，以下是对该题型的易错点集中消错练习： PART 2——易错解决. 易错题型01 无法活用模型结论解题 1. （2025·海南文昌校级期末）如图，点在线段上，、分别为、的中点，若，则的长为 ． 2.（2024·湖南张家界期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 3.（2023·河南洛阳期末）如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线，求∠MON的大小？ 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不熟记模型结论，也不知道如何推结论，从而导致在计算中出现错误或冗杂过程. 易错题型02 无法运用逆向思维逆推答案 4.（原创）如图所示，，分别平分，，是外一条射线， 若=115°，则=______°. 5.（2024·广东湛江期末模拟）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【易错分析】这类题型的易错点在于题目灵活地运用结论的等量关系，一旦反过来推，有的同学便会出现计算错误，无从下手. 易错题型03 无法合理运用比例或等量关系 6．（2023·山西长治期末）如图，C，D是线段AB上两点，且点C在点D的左侧，M，N分别是线段，的中点．若，，则AB的长为 ． 7.（2022·重庆一外入学）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，、分别是、的角平分线，已知，．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生不能很好地利用题目所给的关系式，同学们要学会用铅笔圈画，这样才能让作答更加清晰，看到比例要下意识想到可能需要设元解决问题. 易错题型04 不能分类讨论解决问题 8.（2024·四川成都校级期末）已知A，B，C三点共线，线段，，点M，N分别是线段AB，BC的中点，则MN的长为（　　） A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm 9.（2023·安徽合肥科大附中入学）平面内，，为内部一点，射线平分，射线平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生容易漏掉某一答案，要根据动点、动射线所在不同的位置进行分类讨论，还有就是学生对于此类题型不去养成画图的习惯，往往导致答案出错. 易错题型05 不能从特殊到一般推出模型结论 10.（2025·山东德州期末）如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么 ． 11.（2025·辽宁大连校级期末）【问题提出】 如图1，，在内，在外，平分，平分，试探究和的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化．如图2，若，． ①直接写出=______，=______； ②直接写出的值． （2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立． 【问题拓展】 （3）已知，在的外部，平分，平分，且． ①如图3，求的度数； ②如图4，直接写出的度数． 【易错分析】这类题型的易错点在于学生字母运算能力弱，或者不能进行复杂的角度计算，“特殊”指的是有固定的值，实际上真正的原理需要“一般”来推理，也就是不加度数、长度等推出结论，需要学生类比“特殊”做法来计算推理. 易错题型06 无法解决动点、动角难题 12.（2023·陕西西安校级月考）已知：如图1，点O是直线AB上的一点． （1）如图1，当∠AOD是直角时，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数； （2）若∠COD保持在（1）中的大小不变，它绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由； （3）若∠COD从（1）中的位置开始，边OC、边OD分别绕着点O以每秒20°、每秒10°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD． 求：①运动多少秒后，∠COD＝10°； ②运动多少秒后，∠COM＝∠BON． 【易错分析】这类题型的易错点在于题目难度大，考查内容丰富，对学生水平高，对于优生来说还是要争取拿到全分，注意题目计算量多，有时需要分类讨论的定势思维，还需要一定的方程思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$