第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 2024--2025学年北师大版九年级数学下册

北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试 一、选择题 1.若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值(　　) A.扩大为原来的5倍 B.不变 C.缩小为原来的5倍 D.不能确定 2.在△ABC中，若tan A＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是(　　) A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形 C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 3.若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，则k的取值范围是(　　) A.k＞－2 B.k＜0 C.k＞0 D.k＜－2 4.如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是(　　) A. B. C. D. 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值为(　　) A. B. C. D. 6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是(　　) A. v＝320 t B.v＝ C.v＝ D.v＝20t 7.如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(　　) A.7海里/时 B.7海里/时 C.7海里/时 D.28海里/时 8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为（　　） A.5sin35° B. C.5cos35° D.5tan35° 9.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（　　） A. B.2 C. D. 10.如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα•cosα＝（　　） A. B. C. D. 11.如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　) ①点C坐标为(3,0)；②k＝；③S四边形OCBA＝； ④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20 cm，AB＝160 cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 二、填空题 13.如图是由若干个棱长为1的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三视图中面积最小的是________. 14.若反比例函数y＝的图象经过点(－1,2)，则k＝________；该图象位于第________象限． 15.如果点A(2,3)关于y轴的对称点正好落在反比例函数y＝的图象上，则这个反比例函数的表达式是________________． 16.如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是______________． 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长斜边AB到点D，使AB＝4BD，连接CD，若，则tan∠BCD＝         ． 三、解答题 18.学校食堂用1 200元购买大米，写出购买的大米质量y(kg)与单价x(元)之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 19.便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下： 请结合以上信息，解答下面的问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝30 cm，∠C′AC＝12°，∠C′AD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC′．（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2） 20.如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 21.如图1是一本厚度为2 cm的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图2，把这本字典放在桌面MN上，将上面的封面OA打开45°角到OB位置时，点B到OA的距离BE＝8 cm．现将封面OA打开120°角到OC位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）． （1）求字典的封面宽OB； （2）求点C到桌面MN的距离CF． 22.阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 北师大版九年级下册 第一章 直角三角形的边角关系 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角∠A的正切值(　　) A.扩大为原来的5倍 B.不变 C.缩小为原来的5倍 D.不能确定 【答案】B 【解析】因为Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的5倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选B. 2.在△ABC中，若tan A＝1，sinB＝，你认为最确切的判断是(　　) A.△ABC是等腰三角形 B.△ABC是等腰直角三角形 C.△ABC是直角三角形 D.△ABC是一般锐角三角形 【答案】B 【解析】∵tanA＝1，sin B＝，∴∠A＝45°，∠B＝45°.又∵三角形内角和为180°，∴∠C＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形．故选B. 3.若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限内，则k的取值范围是(　　) A.k＞－2 B.k＜0 C.k＞0 D.k＜－2 【答案】D 【解析】由题意，得k＋2＜0，解得k＜－2，故选D. 4.如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinα的值，错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A、在△BCD中，sinα＝，故A正确；B、在Rt△ABC中sinα＝，故B正确；C、在Rt△ACD中，sinα＝，故C正确；D、在Rt△ACD中，sinα≠，故D错误，故选D. 5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，∴sinA＝＝，故选C. 6.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是(　　) A. v＝320 t B.v＝ C.v＝ D.v＝20t 【答案】B 【解析】由题意vt＝80×4，则v＝.故选B. 7.如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P,4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(　　) A.7海里/时 B.7海里/时 C.7海里/时 D.28海里/时 【答案】A 【解析】设货船的航行速度为x海里/时，4小时后货船在点B处，作PQ⊥AB于点Q.由题意AP＝56海里，PB＝4x海里，在直角三角形APQ中，∠APQ＝60°，所以PQ＝28.在直角三角形PQB中，∠BPQ＝45°，所以PQ＝PB×cos45°＝2x.所以2x＝28，解得x＝7.故选A. 8.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝5，则BC的长为（　　） A.5sin35° B. C.5cos35° D.5tan35° 【答案】C 【解析】根据题意可得，cosB＝， 则cos35°＝， 可得：BC＝5cos35°． 故选：C． 9.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，，则sin∠CBD的值（　　） A. B.2 C. D. 【答案】D 【解析】∵， 设AD＝3x，AB＝5x， ∵AB＝AC， ∴CD＝2x， 在Rt△ABD中，BD＝＝4x， ∴在Rt△BCD中，BC＝＝2x， ∴sin∠CBD＝． 故选：D． 10.如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα•cosα＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， ∵小正方形面积为49，大正方形面积为169， ∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即AC2+（7+AC）2＝132， 整理得，AC2+7AC﹣60＝0， 解得AC＝5，AC＝﹣12（舍去）， ∴BC＝＝12， ∴sinα＝＝，cosα＝＝， ∴sinα•cosα＝×＝， 故选：B． 11.如图，直线y1＝x与双曲线y2＝(x＞0)交于点A，将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，若y3与双曲线交于B，与x轴交于C，与y轴交于D，AO＝2BC，连接AB，则以下结论错误的有(　　) ①点C坐标为(3,0)；②k＝；③S四边形OCBA＝； ④当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3；⑤S四边形ABDO＝2S△COD. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】①∵将直线y1＝x向下平移4个单位后称该直线为y3，y3与双曲线交于B，与x轴交于C，∴直线BC的表达式为y3＝x－4，把y＝0代入，得x－4＝0，解得x＝3，∴C点坐标为(3,0)，故本结论正确；②作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，∵OA∥BC，∴∠AOC＝∠BCF，∴Rt△OAE∽Rt△CBF，∴，设A点坐标为(a,a)，则OE＝a，AE＝a，∴CF＝a，BF＝a，∴OF＝OC＋CF＝3＋a，∴B点坐标为(3+a,a)，∵点A与点B都在y2＝(x＞0)的图象上，∴a·a＝(3+a)·a，解得a＝2，∴点A的坐标为(2,)，把A(2,)代入y＝，得k＝2×＝，故本结论正确；③∵A(2,)，B(4,)，CF＝a＝1，∴S四边形OCBA＝S△OAE＋S梯形AEFB－S△BCF＝×2×＋×(+)×2－×1×＝＋4－＝6，故本结论错误；④由图象可知，当2＜x＜4时，有y1＞y2＞y3，故本结论正确；⑤∵S△COD＝×3×4＝6，S四边形ABDO＝S四边形OCBA＋S△OCD＝6＋6＝12，∴S四边形ABDO＝2S△COD，故本结论正确．故选A. 12.如图是椭圆机在使用过程中某时刻的侧面示意图，已知手柄AD⊥滚轮连杆AB，且AD＝20 cm，AB＝160 cm，连杆AB与底座BC的夹角为60°，则该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（　　） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】D 【解析】如图，过点D作DE⊥BC于点E，交AB于点F， 则∠BEF＝90°， 由题意可知，∠ABC＝60°， ∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∴BE＝BF， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE＝30°，AD＝20 cm， ∴DF＝2AD＝40 cm， ∴AF＝＝＝20（cm）， ∵AB＝160 cm， ∴BF＝AB﹣AF＝（160﹣20）cm， ∴BE＝×（160﹣20）＝（80﹣10）（cm）， ∴EF＝BE＝（80﹣30）cm， ∴DE＝EF+DF＝80﹣30+40＝（80+10）（cm）， 即该椭圆机的机身高度（点D到地面的距离）为（80+10）cm， 故选：D． 二、填空题 13.如图是由若干个棱长为1的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三视图中面积最小的是________. 【答案】3 【解析】主视图是第一层三个小正方形，第二层左边一个小正方形，右边一个小正方形，面积是5；左视图第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，面积是3；俯视图左边是两个小正方形，中间是一个小正方形，右边是两个小正方形，面积是5，故俯视图面积最小为3. 14.若反比例函数y＝的图象经过点(－1,2)，则k＝________；该图象位于第________象限． 【答案】－2；二、四 【解析】根据题意知，2＝，解得k＝－2；∵k＜0，∴该图象位于第二、四象限． 15.如果点A(2,3)关于y轴的对称点正好落在反比例函数y＝的图象上，则这个反比例函数的表达式是________________． 【答案】y＝－ 【解析】由题意得点A的对称点为(－2,3)，∵(－2,3)在反比例函数y＝的图象上，∴k＝－6，∴y＝－. 16.如图，在3×3的网格中点C也在格点上，设∠CAB＝α，当△ABC面积最大时，tanα的值可以是______________． 【答案】2，1， 【解析】如图，因为△ABC面积最大时点C到AB的距离是2，所以tanα＝＝2，或tanα＝＝1，或tanα＝，综上所述，tanα可以是2,1，.故答案为2,1，. 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长斜边AB到点D，使AB＝4BD，连接CD，若，则tan∠BCD＝         ． 【答案】 【解析】过点D作CB的垂线，垂足为M， 在Rt△ABC中， 因为tan∠ABC＝， 即， 所以设AC＝3k，BC＝4k， 则AB＝． 因为AB＝4BD， 所以BD＝． 因为∠ACB＝∠DMB，∠CBA＝∠MBD， 所以△ABC∽△DBM， 所以， 则DM＝，BM＝k， 所以CM＝4k+k＝5k． 在Rt△DCM中， tan∠BCD＝． 故答案为：． 三、解答题 18.学校食堂用1 200元购买大米，写出购买的大米质量y(kg)与单价x(元)之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】解：由题意，得xy＝1 200，∴y＝，∴y是x的反比例函数． 【解析】 19.便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，活动报告如下： 请结合以上信息，解答下面的问题： 在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝30 cm，∠C′AC＝12°，∠C′AD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC′．（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2） 【答案】解：由题意得：DC′⊥MN， 在Rt△ACC′中，∠CAC′＝12°， ∴AC′＝≈＝5CC′（cm）， 在Rt△AC′D中，∠C′AD＝45°， ∴AC′＝＝C′D＝CC′+CD＝（CC′+30）cm， ∴5CC′＝CC′+30， 解得：CC′＝7.5， ∴此时水桶下降的高度CC′约为7.5 cm． 【解析】 20.如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为(0，4)． (1)写出点A的坐标； (2)画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△O1A1B1； (3)求出sin∠A1OB1的值． 【答案】解： (1)从图上读出点A的坐标(3，4)； (2)如图. (3)根据勾股定理得O1A1＝＝5，故sin∠A1OB1＝. 【解析】 21.如图1是一本厚度为2 cm的字典，封面是硬的，翻开时不会发生弯曲．如图2，把这本字典放在桌面MN上，将上面的封面OA打开45°角到OB位置时，点B到OA的距离BE＝8 cm．现将封面OA打开120°角到OC位置，请回答下列问题（计算时不考虑封面的厚度）． （1）求字典的封面宽OB； （2）求点C到桌面MN的距离CF． 【答案】解：（1）依题意得：∠BOE＝45°，BE＝cm，∠BEO＝90°， 在Rt△BEO中，sin∠BOE＝， ∴OB＝＝＝16（cm）； （2）延长EO交CF于H，如图所示： 依题意得：∠EOC＝120°，OC＝OB＝16 cm，∠CFD＝90°，OE∥MN，HF＝OD＝2 cm， ∴∠CHO＝90°，∠CDH＝180°﹣∠EOC＝60°， 在Rt△OCH中，sin∠CDH＝， ∴CH＝CD•sin∠CDH＝16•sin60°＝（cm）， ∴CF＝CH+HF＝（）cm． 【解析】 22.阅读材料解决问题：在锐角△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，，∴AD＝c•sinB，在Rt△ACD中，，∴AD＝b•sinC，即c•sinB＝b•sinC，∴． （1）证明：； （2）如图二，求sin75°（结果保留根号）； （3）如图三，在锐角△ABC中，AC：BC＝7：8，，又CD⊥AB，垂足为D，BD＝8，求AB的长度． 【答案】解：（1）如图过点C作CE⊥AB于点E， 在△ACE中，sin∠CAE＝＝， ∴CE＝b•sinA 同理在△BCE中，， ∴CE＝a•sinB 即b•sin A＝asin B； 即 ； （2）根据（1）得 ， ∴， ∴， 如图，过A作 AD⊥BC 于点D， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°， 在 Rt△ABD 中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝1，， 在Rt△ACD中，∠C＝45°， ∴， ∴， 即 , ∴； （3）由AC：BC＝7：8，可设 AC＝7x，则BC＝8x（x＞0）， 依题意， ∴， 又 ， ∴， ∴∠B＝600， 又BD＝8， ∴． ∴BC＝16， ∴AC＝14， ∴AD＝2． ∴AB＝2+8＝10． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$