1.1 集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算讲义-2026届高三数学一轮复习

§1.1 集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算 目录 知识点一：集合及集合间的基本关系 2 知识点二：集合的基本运算 2 考点1：集合基本概念的应用 4 考点2：集合关系的确定及应用 5 考点3： 集合的基本运算 10 考点4：集合的新定义问题 13 【强化训练】 16 知识点一：集合及集合间的基本关系 1. 集合的含义与表示 （1）元素与集合的含义：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合． （2）符集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间表示法． （4）常用集合的符号： 正整数集：；自然数集：；整数集：；有理数集：；实数集：. （5）元素与集合之间的关系：属于和不属于，用符号和表示. 2. 集合间的基本关系 （1） 子集：一般地，对于两个集合，如果，都有 ，则或． （2） 真子集：如果集合，但，且，则或． （3） 相等：，且. （4） 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，记：；是任何非空集合的真子集，记：且． 知识点二：集合的基本运算 1. 集合的并集 符号表示及其意义：. 图形表示： 性质： 2. 集合的交集 符号表示及其意义：. 图形表示： 性质： 3. 集合的补集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作． 符号表示及其意义：若全集为，则集合的补集为， 图形表示： 性质： 考点1：集合基本概念的应用 方法提炼 (1) 注意区分集合中元素的含义，即弄清集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值； (2) 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例1.1.】 已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 【例1.2.】 已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据集合中元素的互异性可得：，且. 当集合时，集合的最大元素为；当集合时，集合的最大元素为； 根据题意可得：集合的所有元素之和为. 且或， 解得：. 故选：B. 【例1.3.】 已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 【例1.4.】 （多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 考点2：集合关系的确定及应用 方法提炼 1. 判断集合关系的三种方法 (1) 观察法：可一一列举观察； (2) 元素特征法：设， ，若，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断； 2. 根据两集合的关系求参数的思路 (1) 若，应分和两种情况讨论. (2) 若已知集合间的运算关系，可先转化为两集合之间的关系，如A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A∪B⇔A=B等. (3) 若集合中元素是一一列举，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； (4) 若集合表示的是不等式的解集，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到； 3. 若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有个子集，个非空子集，个真子集，个非空真子集． 4. 若，， 则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例2.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，. 故选：B. 【例2.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，所以， . 故选：A 【例2.3.】 设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合， ，故， 故选：B 【例2.4.】 已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以解得， 即a的取值范围是. 故选：D. 【例2.5.】 已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【例2.6.】 已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【答案】B 【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由，得， 因为，所以， 因为集合， 所以或，解得或（不合题意舍去）， 所以或2. 故选：B. 【例2.7.】 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 【例2.8.】 已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【详解】由题意，， 所以，故的子集个数为. 故选：B. 【例2.9.】 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】依题意，集合可以为：， 所以集合C的个数为4. 故选：D 【例2.10.】 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 【例2.11.】 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间,中含有4个整数， ①当时，,的区间长度，此时,中不可能含有4个整数； ②当时，,,，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，,的区间长度大于3， 若,的区间长度，即． 若是整数，则区间,中含有4个整数，根据，可知，， 此时,,，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间,中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，,,，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，,的区间长度，此时,中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是,,． 故选：D． 考点3： 集合的基本运算 方法提炼 1. 解集合运算问题的三个注意点： (1) 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. (2) 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. (3) 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 2. 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用图表示两个集合的交、并、补集，借助于图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用表示有限集中元素的个数，即表示有限集的元素个数,. 【例3.1.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 【例3.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式，得， 解得，则， 解不等式，得， 则， 所以． 故选：C 【例3.3.】 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以， 所以如图所示的阴影部分表示的集合为. 故选：C 【例3.4.】 已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意有， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 因为， 所以，故C错误； 因为， 所以，故D正确. 故选：D. 【例3.5.】 （多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】ABD 【详解】根据题意，设{是参加100米的同学}， {是参加400米的同学}， {是参加1500米的同学}， 则 且 则， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人， 只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人. 故选：ABD 考点4：集合的新定义问题 方法提炼 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例4.1.】 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】集合，集合，则， 由韦恩图得或. 故选：D 【例4.2.】 用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），，， ，，， ，. （2）考虑，不妨设，则， ①当时，，此时式不成立； ②当时，若，则，此时式不成立； 若，则，此时式也不成立； 若，则取，此时式成立. 由上述分析知：和集中重复的元素个数共个， . 【例4.3.】 对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 【答案】(1)答案见解析 ;(2)证明见解析;(3) 【详解】（1）根据“伴随向量集”的定义可得： . 因为，，，，，， 所以对任意，存在，使得，故集合为“好集”. （2）取，因为集合是“好集”，所以存在，使得，即. 因为，所以. 因为，所以存在，或，. 所以. 假设，取，因为集合是“好集”，所以存在，使得. 因为，所以异号. 若，则，而，，所以不可能成立； 若，则，而，，所以不可能成立. 故假设错误，即. 又，且，所以. （3）有限集为“好集”，且，，所以. 取，由 “好集”定义，存在，使得，所以异号. 若，则，因为，，所以； 若，则，因为，，所以该式不成立. 类似的：考虑向量，，…，可得序列，，，…，都在集合中. 由. 【强化训练】 1. 已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 2. 已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 3. 若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意得，，所以. 均不成立，,ABC错误 故选：D. 4. 已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，解得．所以的取值范围是． 故选：A. 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 6. 已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，因为，，所以，故A不正确； 对于B选项，因为，但，得，故B不正确； 对于C选项，由，，则或， 所以，故C正确； 对于D选项，由，得， 又，所以，故D不正确. 故选：C. 7. 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 8. 高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 9. （多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 10. 已知集合或，若，则 ． 【答案】0 【详解】由得，，因为或， 所以，所以和2是方程的两根， 所以，解得，所以． 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1 集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算 目录 知识点一：集合及集合间的基本关系 2 知识点二：集合的基本运算 2 考点1：集合基本概念的应用 4 考点2：集合关系的确定及应用 4 考点3： 集合的基本运算 6 考点4：集合的新定义问题 7 【强化训练】 9 知识点一：集合及集合间的基本关系 1. 集合的含义与表示 （1）元素与集合的含义：一般地，把研究对象统称元素；把一些元素组成的总体叫做集合． （2）符集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、区间表示法． （4）常用集合的符号： 正整数集：；自然数集：；整数集：；有理数集：；实数集：. （5）元素与集合之间的关系：属于和不属于，用符号和表示. 2. 集合间的基本关系 （1） 子集：一般地，对于两个集合，如果，都有 ，则或． （2） 真子集：如果集合，但，且，则或． （3） 相等：，且. （4） 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.空集是任何集合的子集，记：；是任何非空集合的真子集，记：且． 知识点二：集合的基本运算 1. 集合的并集 符号表示及其意义：. 图形表示： 性质： 2. 集合的交集 符号表示及其意义：. 图形表示： 性质： 3. 集合的补集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作． 符号表示及其意义：若全集为，则集合的补集为， 图形表示： 性质： 考点1：集合基本概念的应用 方法提炼 (1) 注意区分集合中元素的含义，即弄清集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值； (2) 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例1.1.】 已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【例1.2.】 已知集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【例1.4.】 （多选）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 考点2：集合关系的确定及应用 方法提炼 1. 判断集合关系的三种方法 (1) 观察法：可一一列举观察； (2) 元素特征法：设， ，若，则； (3) 数形结合法：借助数轴或Venn图判断； 2. 根据两集合的关系求参数的思路 (1) 若，应分和两种情况讨论. (2) 若已知集合间的运算关系，可先转化为两集合之间的关系，如A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A∪B⇔A=B等. (3) 若集合中元素是一一列举，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性； (4) 若集合表示的是不等式的解集，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，转化成不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到； 3. 若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有个子集，个非空子集，个真子集，个非空真子集． 4. 若，， 则满足的集合有个；满足的集合有个． 【例2.1.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知集合，若，则（    ） A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1 【例2.7.】 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2.8.】 已知集合，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【例2.9.】 已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2.10.】 已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【例2.11.】 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点3： 集合的基本运算 方法提炼 1. 解集合运算问题的三个注意点： (1) 解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分. (2) 灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，如， ，从而简化运算，减少运算量. (3) 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 2. 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用图表示两个集合的交、并、补集，借助于图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用表示有限集中元素的个数，即表示有限集的元素个数,. 【例3.1.】 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【例3.4.】 已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 （多选）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 考点4：集合的新定义问题 方法提炼 解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. 【例4.1.】 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（   ） A． B． C．或 D．或 【例4.2.】 用符号表示集合中元素的个数．对于实数集合和，且，，定义两个集合：①和集； ②邻差集，其中为集合中元素按照从小到大排列． (1)已知集合，，求，的值； (2)已知集合，，求的值； 【例4.3.】 对于数集，其中，，定义“伴随向量集”．若对任意，存在，使得，则称A为“好集”． (1)已知数集，请写出数集的“伴随向量集”，并判断是否为“好集”（不需要证明）； (2)若有限集为“好集”，求证：，且当时，； (3)若有限集为“好集”，且，求． 【强化训练】 1. 已知集合，若且，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3. 若集合，，则（   ） A． B． C． D． 4. 已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 已知全集为，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7. 已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 8. 高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 9. （多选）已知全集，集合，，，若，则（    ） A．的取值有个 B． C． D．所有子集的个数为 10. 已知集合或，若，则 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$