3.1.1函数的概念同步练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念测试卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 2.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．函数定义域为全体实数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．满足 C． D．存在x，y是无理数，使得 三、填空题 12．若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 13．函数的值域为 ． 14.已知函数的定义域为，集合． 当时， ；若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值. 16.已知非空集合，函数的定义域为． (1)若，求； (2)在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 17．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 18．已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． 19．已知函数，其中，. (1)若，求实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 3.1.1函数的概念测试卷 （2025-2026学年第一学期高一数学必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 答案：D 分析：根据区间的概念逐项判断即可． 解析：对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 2.下列各组函数是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 答案：D 分析：注意函数的定义域不同，即可否定BC；进一步考查函数的解析式是否相同，从而对AD作出判定. 解析：对于A选项，，与g(x)=x的解析式不同，不是同一函数； 对于B选项，，与解析式不同，故不是同一函数； 对于C选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，不是同一函数， 对于D选项，与，的定义域和解析式完全相同，只是表示自变量的字母不同，是同一函数. 故选：D. 点睛：本题考查同一函数的概念，属于基础题. 判断两个函数是否为同一函数，先利用定义域进行排除是效率较高的方法，然后注意考察函数的解析式是否相同或者可以等价变形为相同即可，注意函数中的自变量或者函数值的字母只是函数的形式，不是函数的本质. 3．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 答案：D 解析：选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由题意可得，求解即可. 解析：由，得，解得或， 所以函数的定义域是.故选：C. 5．“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 分析：根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案. 解析：定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由得，即，由，得， 所以． 故选：B 7．函数定义域为全体实数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 答案：B 分析：根据特殊值对选项进行排除，由此得出正确选项. 解析：当时，，定义域为全体实数，符合题意，由此排除A,D选项. 当时，，由得 ，不符合题意； 当时，解集为R， 所以 综上得：。 故选B. 点睛：本小题主要考查已知函数定义域为全体实数求参数的取值范围，考查函数的定义域的求法，属于基础题. 8．已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：由题设不等式恒成立，结合二次函数的性质可得求a的取值范围即可. 解析：由题设，开口向下且对称轴为， ∴要使任意，恒有，则， ∴，解得. 故选：C. 二、多选题 9．下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 答案：ABD 解析：选项A，B，D中，对集合中任意实数，按给定的对应关系，在集合中都有唯一实数与之对应，故选项A，B，D符合函数的定义．选项C中，对于集合中元素1，按对应法则，在中有元素和1与之对应，不符合函数的定义．故选：ABD 10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 答案：BCD 分析：根据定义域和对应关系可判断AC；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域的求法求得定义域可判断D. 解析：A 选项：定义域为，定义域为，A选项错误； B选项：因为函数的定义可知当时，要么没有定义，要么存在唯一确定的值， 所以函数的图像与直线的交点最多有1个，B选项正确； C选项：和定义域均为且解析式相同，所以是同一个函数，C选项正确； D选项：因为函数的定义域为，所以时，令，即， 所以定义域为。 故选：BCD. 11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．满足 C． D．存在x，y是无理数，使得 答案：BCD 分析：根据函数解析式得值域、定义域，可判断AB；代入运算可判断C；举特例可判断D. 解析：对于A，的函数值只可能是0或1，所以的值域为，故A错误； 对于B，若，则，可得； 若，则，可得． 综上所述，对于任意，总有成立，故B正确； 对于C，若，则，可得， 若，则，可得， 综上所述，，故C正确； 对于D，取，则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．若函数的定义域是R，实数a的取值范围是 ． 答案： 分析：要使函数解析式有意义，则，分类讨论即可得出结论. 解析：因为的定义域为，所以不等式恒成立. 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，有 ，即，解得， 所以的取值范围为。 故答案为：. 13．函数的值域为 ． 答案： 分析：分类讨论和两种情况，由基本不等式求得的值域． 解析：函数的定义域为， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 当时，， 当且仅当即时等号成立，所以， 所以函数的值域为， 故答案为：． 14.已知函数的定义域为，集合． 当时， ；若，则实数的取值范围是 ． 答案： 或 解析：要使函数有意义，则解得，所以集合． 因为，所以，所以， 所以． 因为，所以:①当时，，即，满足题意； ②当时，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的定义域； (2)求的值. 分析：（1）根据根式和分式的性质即可列不等式求解，（2）代入即可求解. 解析：（1）若函数有意义，则有   解得   故函数的定义域为：或或. （2） 16.已知非空集合，函数的定义域为． (1)若，求； (2)在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合． 注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分． 分析：（1）应用集合的补集与交集的运算即可； （2）分析出集合A、B的包含关系，结合数轴即可求解. 解析：（1）由即得， 当时，，， 所以，； （2）选①，则， 由，得， 所以，解得， 所以满足条件的实数构成的集合． 选②，则， 由，得， 所以，解得， 所以满足条件的实数构成的集合． 选③， 由，得， 所以或，解得 所以满足条件的实数构成的集合． 17．已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 分析：（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 解析：（1）因为， 所以， ． (2) 由（1）发现, 所以． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 18．已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． 解析：①由题意得不等式的解集为， 所以 化简得 解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立． 当时，或， 若，则，符合题意； 若，则，其定义域不是，不符合题意． 当，即且时，则 解得或．综上所述，m的取值范围是． 19．已知函数，其中，. (1)若，求实数的值； (2)若时，求不等式的解集； (3)求不等式的解集； 分析：（1）根据解析式列方程计算即可； （2）根据一元二次不等式的解法求解即可； （3）分，两种情况讨论求解即可. 解析：（1）由，则. （2）当时，， 由，则，解得， 所以不等式的解集为. （3）由，则，即， 当时，，解得或； 当时，，不等式无解. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$