江苏省南通市海安市2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年高二年级下学期江苏省南通市海安市期中数学试卷 一、单选题 1．若，则（　　） 【答案】 【解析】 故选： 2．已知函数，则（　　） 【答案】 【解析】 故选： 3．一批产品共件，其中有件不合格品，不放回地随机抽取件，则恰有件不合格品的概率为（　　） 【答案】 【解析】件产品中件不合格品，件合格品，共有件不合格品，件合格品 因而概率为 故选： 4．已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（　　） 【答案】 【解析】圆锥的高，底面半径 所以该圆锥的体积为 故选： 5．由组成的没有重复数字的五位数中，能被整除的数共有（　　） 个 个 个 个 【答案】 【解析】若能被整除，末尾一定是或. 末尾为的情况：个；末尾为的情况：个； 因而共有个 故选： 6．从装有个红球和个绿球的盒中随机取个球，用表示“取到红球的个数”，则的方差＝（　　） 【答案】 【解析】. 故选： 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） 【答案】 【解析】根据题意，在区间上成立 即, 在区间上，时取最大值 当时，满足单调递增条件，因而 故选： 8．设样本空间，记事件则满足的的所有值之和为（　　） 【答案】 【解析】对条件化简得到 而,故 的可能取值为，总和为 故选： 二、多项选择题 9．在的二项展开式中，（　　） 第项的二项式系数为 二项式系数之和为 系数最大的项为第项 共有项的系数为负数 【答案】 【解析】 对于，第项的二项式系数为,正确； 对于，二项式系数之和为,正确； 对于，第项的系数为，第项的系数为，错误； 对于，在的二项展开式中共项，其中项为正，项为负，正确， 故选： 10．在四面体中，分别是的中点，下列结论正确的是（　　） 相交 上存在点，使得 若，则 【答案】 【解析】 对于,,因而四边形为平行四边形，相交，正确； 对于，一定在平面上，由于与平面相交，故点不存在，错误； 对于，若，则四边形为矩形，进而推得，正确； 对于，取中点，,正确， 故选： 11．函数及其导函数的图象如图所示，坐标原点是它们唯一的公共点，则（　　） 的图象是曲线 在x＝0处的切线的斜率为 函数的最小值为 函数在区间上单调递增 【答案】 【解析】 对于,在处均为零，因而在的函数值来看图象为,正确； 对于，在处导数不为，切线的斜率不为,错误； 对于，，而, 时，单调递减, 时，单调递增,，正确； 对于，，时，单调递减,错误， 故选： 三、填空题 12．已知，则 ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 13.已知函数，曲线在处的切线方程为，则　 　　 　 ． 【答案】 【解析】, 故，切线方程为，所以 故答案为：． 14．箱子中共有个小球，分别标有数字，每次从中随机摸出个球，并记录球上的数字，然后将球放回箱子，重复这个操作，直到满足下列两个条件之一结束． ①第次抽取的球上的数字是； ②第次抽取的球上的数字大于第次抽取的球上的数字． 例如，当记录的数字依次为时，这个操作在第次结束．在操作进行了次仍未结束的条件下，前次抽取的不同情况种数为　 　，第次结束的概率为　 　 ． 【答案】 【解析】前三次不结束的情况下， 共有共10种情况 第次为的情况下，有概率结束，为的情况下概率，为3的情况下概率 总概率为 故答案为：． 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 (1)在三棱柱中， (2)连接, 在三棱柱中, 四边形为菱形, , 平面平面，平面平面, 平面, 平面, , 平面, 平面, 平面, . 16．设． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】(1), (2)令， 故 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，点满足． （1）若，求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 (1)以为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 当时,是的中点,所以, 所以, 设平面的一个法向量为则, 取则, 所以点到平面的距离为; (2)由题意知，，故, 设平面的一个法向量为则, 取则, 设平面的一个法向量为则, 取则, 而, 整理得，解得(舍)， 故. 18．已知，函数． （1）证明：为定值（与的取值无关）； （2）若，，求的值； （3）求函数的极小值点的个数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】(1) ，故，与无关； (2)时，, 对于时极小值为，故, 对于时极大值为，故, 综上所述; , 零点方程， 函数在是单调递增，所以零点唯一 ，唯一临界点为极小值点，所以极小值点的个数为个 19．学校举行知识竞赛，各班代表队由两名学生组成，竞赛分为两个阶段，每队最多回答道题．规则如下：第一阶段由一名学生回答至多道题，每答对道题得分，若第一阶段得分，则该队被淘汰；否则该队进入第二阶段．第二阶段由另一名学生回答，每答对道题得分，直到该队用完次答题机会为止．两个阶段得分之和不少与分的代表队为“优秀代表队”．已知某班由甲、乙两人组队，甲参加第一阶段，答对每道题的概率为，乙参加第二阶段，答对每道题的概率为，假设各次答题互不影响． （1）求甲第次答题错误且该队获得“优秀代表队”的概率； （2）以有利于该队获得“优秀代表队”为决策依据，解答下列问题： （i）在甲第次答题正确的条件下，甲是否应利用第次答题机会？ （ii）若甲尽可能少的答题，求该队两个阶段得分之和的数学期望． 【答案】（1） （2）（i）不应利用 （ii） 【解析】 (1)若获得优秀代表队，甲第一次答错，第二次答对，乙六次要全对, 因而概率为; (2)若甲不进行答题，乙有次机会，至少对题的概率为 若甲进行答题，无论结果如何，乙需要次机会全对，则概率为 而，故甲不应利用第次答题机会; (3)若甲第题答对(概率)，乙有次机会，, 若甲第题答错第题答对(概率)，乙有次机会，, 若甲第题第题答错(概率)，直接出局， 故. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二年级下学期江苏省南通市海安市期中数学试卷 一、单选题 1．若，则（　　） 2．已知函数，则（　　） 3．一批产品共件，其中有件不合格品，不放回地随机抽取件，则恰有件不合格品的概率为（　　） 4．已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（　　） 5．由组成的没有重复数字的五位数中，能被整除的数共有（　　） 个 个 个 个 6．从装有个红球和个绿球的盒中随机取个球，用表示“取到红球的个数”，则的方差＝（　　） 7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） 8．设样本空间，记事件则满足的的所有值之和为（　　） 二、多项选择题 9．在的二项展开式中，（　　） 第项的二项式系数为 二项式系数之和为 系数最大的项为第项 共有项的系数为负数 10．在四面体中，分别是的中点，下列结论正确的是（　　） 相交 上存在点，使得 若，则 11．函数及其导函数的图象如图所示，坐标原点是它们唯一的公共点，则（　　） 的图象是曲线 在x＝0处的切线的斜率为 函数的最小值为 函数在区间上单调递增 三、填空题 12．已知，则 ． 13．已知函数，曲线在处的切线方程为，则　 　 ，　 　 ． 14．箱子中共有个小球，分别标有数字，每次从中随机摸出个球，并记录球上的数字，然后将球放回箱子，重复这个操作，直到满足下列两个条件之一结束． ①第次抽取的球上的数字是； ②第次抽取的球上的数字大于第次抽取的球上的数字． 例如，当记录的数字依次为时，这个操作在第次结束．在操作进行了次仍未结束的条件下，前次抽取的不同情况种数为　 　，第次结束的概率为　 　 ． 四、解答题 15．如图，在三棱柱中，． （1）求证：； （2）若平面平面，求证：． 16．设． （1）求的值； （2）求的值 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，点满足． （1）若，求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18．已知，函数． （1）证明：为定值（与的取值无关）； （2）若，，求的值； （3）求函数的极小值点的个数． 19．学校举行知识竞赛，各班代表队由两名学生组成，竞赛分为两个阶段，每队最多回答道题．规则如下：第一阶段由一名学生回答至多道题，每答对道题得分，若第一阶段得分，则该队被淘汰；否则该队进入第二阶段．第二阶段由另一名学生回答，每答对道题得分，直到该队用完次答题机会为止．两个阶段得分之和不少与分的代表队为“优秀代表队”．已知某班由甲、乙两人组队，甲参加第一阶段，答对每道题的概率为，乙参加第二阶段，答对每道题的概率为，假设各次答题互不影响． （1）求甲第次答题错误且该队获得“优秀代表队”的概率； （2）以有利于该队获得“优秀代表队”为决策依据，解答下列问题： （i）在甲第次答题正确的条件下，甲是否应利用第次答题机会？ （ii）若甲尽可能少的答题，求该队两个阶段得分之和的数学期望． 学科网（北京）股份有限公司 $$