专题07 尺规作图（重庆专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题07 尺规作图（解析版） 考点1 角平分线 1．（2021·重庆·中考A）如图，在中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 2．（2021·重庆·中考B）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 考点2 过已知点垂直 3．（2025·重庆·中考）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 4．（2022·重庆·中考A）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴__________________① ∵， ∴__________________② 又__________________③ ∴． 同理可得__________________④ ∴． 5．（2022·重庆·中考B）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴______①____． ∵， ∴______②_____． 又∵____③______． ∴（）． 同理可得：_____④______． ． 6．（2024·重庆·中考B）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 考点3 垂直平分线 7．（2023·重庆·中考A）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 考点1 角平分线 1．（2025·重庆南开中学·二模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（2025·重庆巴南·二模）在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点E是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴①______． ∵在四边形中，，∴②______，∴，∴③______． ∵，∴． ∵，∴四边形是④______， 又∵，∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线⑤______． 3．（2025·重庆西大附中·三模）如图，已知在矩形中，点是边上一点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______， 又， 四边形是菱形． 4．（2025·重庆渝北·一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）．    证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 考点2 过已知点垂直 5．（2025·重庆南开中学·模拟）小明在学习等腰直角三角形的性质，请根据他的思考完成以下作图与填空：在等腰中，是的中点，连接，点E在边上，连接． (1)尺规作图：过点D作，交于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是等腰直角三角形． 证明：中，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. ， ∴___________②___________ 在和中， ∴ （ASA）， ∴___________③___________， ∴是等腰直角三角形． 小明进一步研究发现：在等腰直角三角形中，过斜边中点作两条相互垂直的直线，只限于直角边所在的直线相交于两点，___________④___________ 6．（24-25九下·重庆一中·二模）在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． (1)如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 7．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．在的延长线上截取，连接． (1)尺规作图：过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ∴ ①． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ②． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴ ③ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 8．（2025·重庆綦江联盟校·一模）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 考点3 作已知角相等的角 9．（2025·重庆巴蜀中学·三模）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点、，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点，连接 （不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形 ， ， ， 在和中：， ，     ， 四边形是平行四边形． 10．（2025·重庆开州中学·中考模拟）如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接．过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、，证明四边形是平行四边形． 解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过和全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决．请根据解答思路完成下面的作图与填空． (1)尺规作图：过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、；(只保留作图痕迹) (2)证明： 四边形是平行四边形 ①______， ②______ 在和中 ③______， ④______ 四边形是平行四边形(⑤______) 11．（2025·重庆八中·三模）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 12．（2025·重庆八中·一模）如图，在中，点是上的一点，连接． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：做，交于点，连接交于点，连接交于点． (2)在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：在中，， ___________①___________， ， ， ___________②___________， 四边形是平行四边形， ， ， ___________③___________， ， 四边形是平行四边形， ___________④___________， ， 四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 尺规作图（解析版） 考点1 角平分线 1．（2021·重庆·中考A）如图，在中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析 【来源】重庆市2021年中考数学真题（A卷） 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案； （2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90即可得出答案． 【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求； （2）△CDP是直角三角形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． ∴∠CED=∠ADE=∠ADC． ∵CP平分∠BCD， ∴∠DCP=∠BCD， ∴∠CDE+∠DCP=90°． ∴∠CPD=90°． ∴△CDP是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2021·重庆·中考B）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析． 【来源】重庆市2021年中考数学真题（B卷） 【分析】根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论． 【详解】解：如图，AE即为的角平分线， 猜想：DF=3BF 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO，BO=DO ∴ ∵AC=2AB ∴AO=AB ∵AE是的角平分线 ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键． 考点2 过已知点垂直 3．（2025·重庆·中考）学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 4．（2022·重庆·中考A）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形中，是边上的一点，试说明的面积与矩形的面积之间的关系．他的思路是：首先过点作的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空： 证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 在和中， ∵， ∴． 又， ∴__________________① ∵， ∴__________________② 又__________________③ ∴． 同理可得__________________④ ∴． 【答案】、、、 【来源】2022年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】过点作的垂线，垂足为，分别利用AAS证得，，利用全等三角形的面积相等即可求解． 【详解】证明：用直尺和圆规，过点作的垂线，垂足为（只保留作图㾗迹）． 如图所示， 在和中， ∵， ∴． 又， ∴① ∵， ∴② 又③ ∴． 同理可得④ ∴． 故答案为：、、、 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键． 5．（2022·重庆·中考B）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹） 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴______①____． ∵， ∴______②_____． 又∵____③______． ∴（）． 同理可得：_____④______． ． 【答案】图见解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE 【来源】2022年重庆市中考数学真题（B卷） 【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC=∠F，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到结论． 【详解】解：如图，AD即为所求， 在和中， ∵， ∴． ∵， ∴∠ADC=∠F． ∵， ∴∠1=∠2． 又∵AC=AC． ∴（）． 同理可得：△ABD≌△BAE． ． 故答案为：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2024·重庆·中考B）在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： (1)如图，在矩形中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知：矩形，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴①，． ∵点是的中点， ∴②． ∴（AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到，，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形．再由，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴，． ∵点是的中点， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④四边形是菱形． 考点3 垂直平分线 7．（2023·重庆·中考A）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）    已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ① ． ∵垂直平分， ∴ ② ． 又___________③ ． ∴． ∴． 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线 ④ ． 【答案】作图：见解析；；；；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分 【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷） 【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】解：如图，即为所求；    证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ ． ∵垂直平分， ∴． 又 ． ∴． ∴． 故答案为：；；； 由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分， 故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键． 考点1 角平分线 1．（2025·重庆南开中学·二模）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，数学兴趣小组进行了以下研究，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，是平行四边形的对角线，用尺规作的平分线，交于点E，在边上截线段，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，若，求证：四边形是矩形． 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴． ∴，， ∵， ∴② ， ∴，即． ∴③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴，平分， ∴④ ， ∴， ∴四边形是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【来源】2025年重庆市南开中学九年级下学期中考二模数学试题 【分析】（1）根据题意利用尺规作图作出的平分线，即可； （2）利用平行四边形的性质求得，，利用证明，推出，，利用对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形的性质求得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：（1）所作图形如图所示： 证明：∵平行四边形， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，平分， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 2．（2025·重庆巴南·二模）在学习了四边形的性质后，小全和小善进行了拓展探究．如图，在四边形中，，点E是上的一点，且： (1)作的平分线交直线于点F，连接（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，小全猜测四边形是菱形，小善写出了如下不完整的证明思路，请你帮助他们把证明过程补充完整． 证明：∵平分，∴①______． ∵在四边形中，，∴②______，∴，∴③______． ∵，∴． ∵，∴四边形是④______， 又∵，∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现，与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线⑤______． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④平行四边形；⑤互相垂直 【来源】2025年 重庆市巴南区市实验集团九年级中考联考二模数学试题 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，作角平分线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． （1）根据画角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义得，平行四边形的性质和平行线的性质可得，由得可得，进而得到，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，进一步证明结论． 【详解】（1）解：作的平分线交直线于点F，连接，如图即为所求； （2）证明：∵平分， ∴， ∵在四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 小全和小善经过进一步探究发现， ∵四边形是菱形． ∴与互相垂直，并且与四边形的内角无关． 请你依照题意完成下面的命题：两平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角的平分线互相垂直． 故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤互相垂直． 3．（2025·重庆西大附中·三模）如图，已知在矩形中，点是边上一点． (1)尺规作图：作的角平分线交于点，交延长线于点，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（）的条件下，若，求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴①______， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴②______， 平分，， ，， ∴③______， ， ， ∴④______， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，四边形是平行四边形 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学中考三模数学 【分析】（）根据题意作出图形即可； （）由矩形的性质可得，即得，得到，由角平分线的性质即得，即可证，得到，再根据平行线的性质和角平分线的定义可得，得到，即得到，即可证四边形是平行四边形，进而即可求证． 【详解】（1）解：作图如下： （2）证明：∵四边形是矩形， ，， 又， ∴， ， 又，平分， ， 又， 在和中，， ， ∴， 平分，， ，， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， 故答案为：，，，四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，正确画出图形是解题的关键． 4．（2025·重庆渝北·一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，过平行四边形的一个顶点作邻角的角平分线的垂线，与平行四边形的边相交可以巧妙地构造菱形，根据他们的想法与思路，用直尺和圆规完成以下作图并填空：如图，平行四边形中，平分，过点作的垂线，垂足为，交线段于点，连接（保留作图痕迹）．    证明：四边形是平行四边形， ①________， ， 平分， ， ②________， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ③________， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是④________． 【答案】图见解析，；；；正方形 【来源】2025年重庆市渝北区中考一模考试数学试题 【分析】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，以及平行四边形对边互相平行，四边相等的四边形是菱形． 根据尺规作图—作垂线的方法和步骤，即可作出图形；根据平行四边形的性质得出 ，结合角平分线的性质得出，则，通过证明，得出，已知垂直平分，则，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，即为所求： 证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， 又， ， ， ，， 垂直平分， ， ， 四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形是矩形，请你模仿题中表述，可判定四边形是正方形． 故答案为：；；；正方形．    考点2 过已知点垂直 5．（2025·重庆南开中学·模拟）小明在学习等腰直角三角形的性质，请根据他的思考完成以下作图与填空：在等腰中，是的中点，连接，点E在边上，连接． (1)尺规作图：过点D作，交于点F，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是等腰直角三角形． 证明：中，是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. ， ∴___________②___________ 在和中， ∴ （ASA）， ∴___________③___________， ∴是等腰直角三角形． 小明进一步研究发现：在等腰直角三角形中，过斜边中点作两条相互垂直的直线，只限于直角边所在的直线相交于两点，___________④___________ 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；所形成的三角形是等腰直角三角形 【来源】2025年重庆市南开中学九年级中考数学模拟卷 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定， 对于（1），延长，以点D为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点K，再以点G，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点H，J，过两点作直线，交于点F，连接； 对于（2），根据等腰三角形的性质得 ， 可得是等腰直角三角形，即，再根据同角的余角相等得，进而说明 ，可得，即可说明是等腰直角三角形，最后根据证明的结论得出答案． 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：中，是的中点， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ， ∴ （）， ∴， ∴是等腰直角三角形． 小明进一步研究发现：在等腰直角三角形中，过斜边中点作两条相互垂直的直线，只限于直角边所在的直线相交于两点，所形成的三角形是等腰直角三角形． 故答案为：；；；所形成的三角形是等腰直角三角形． 6．（24-25九下·重庆一中·二模）在学习了特殊平行四边形的相关知识以后，某数学兴趣小组进行了更深入的探究与思考． (1)如图，四边形是菱形，，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：四边形是菱形，，．试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空． 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴ ① ∵， ∴是等边三角形．∴． 又∵， ∴ ② ．（三线合一） ∵，∴． ∴ ③ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ④ ∴平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 【答案】(1)图见详解 (2)；；； 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年九年级下学期第二次模拟数学试题 【分析】（1）按照步骤过点作出的垂线，延长交直线于点，连接即可． （2）根据菱形的性质得出是等边三角形．在证明，即可证明四边形是平行四边形，根据，即可证明平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】（1）解：按照题意画图如下： （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了垂线的画法，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7．（24-25九下·重庆九十五中·三模）如图，在菱形中，对角线、相交于点O．在的延长线上截取，连接． (1)尺规作图：过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ∴ ①． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ②． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴ ③ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年九年级下学期第三次模拟诊断数学试题 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图：点F即为所求作： 作法：∵，∴分别以A，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点； （2）证明：， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为矩形． 【点睛】本题考查了尺规作图-作垂线，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． 8．（2025·重庆綦江联盟校·一模）在学习了平行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： (1)用直尺和圆规，过点 作对角线的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法） (2)已知：如图，在平行四边形中，连接，于点E，于点F．求证：且． 证明： ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①___________． ∵ ∴②___________． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③_________________． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④_________________． ∴． 请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤_________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤平行且相等 【来源】重庆市綦江区联盟校2025年中考第一次模拟考试数学试题 【分析】本题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线作图即可； （2）利用平行四边形的性质证明，得到，利用垂线的定义，再根据平行线的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1） 解： 以点为圆心，任意长度半径画弧，与相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在的另一侧相交，最后用直尺连接点与两弧的交点，得到． （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴①（两直线平行，内错角相等）． ∵ ∴②（垂线的性质）． 同理可得，． ∴， 在和中， ∴ ∴③（全等三角形的性质）． 又∵， ∴°，同理可得，． ∴④（角的等量代换）． ∴． ∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等． 考点3 作已知角相等的角 9．（2025·重庆巴蜀中学·三模）综合实践小组对平行四边形进行了以下探究：在平行四边形对角线所在的直线上取两点、，使．这样所得的四边形是平行四边形．请根据他们的思路完成以下作图和推理填空： (1)如图，用直尺和圆规，在的右侧作，交直线于点，连接 （不写做法，保留作图痕迹） (2)已知：四边形是平行四边形，与交于点，点、是直线上两点，连接、、、，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是平行四边形 ， ， ， 在和中：， ，     ， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)作图见解析； (2)，，，． 【来源】2025年重庆巴蜀中学校中考三模数学试题 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定． 以点为圆心，为半径画弧，交直线于点，连接、，则； 根据平行四边形的性质可知，，所以可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证且，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，为半径画弧，交直线于点， 连接、， 则； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 故答案为：，，，． 10．（2025·重庆开州中学·中考模拟）如图，已知是平行四边形对角线上的点，连接．过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、，证明四边形是平行四边形． 解答思路：利用平行四边形的性质得到线段和角相等，再通过和全等得边角关系，然后利用一组对边平行且相等使问题得到解决．请根据解答思路完成下面的作图与填空． (1)尺规作图：过点在平行四边形内部作射线交于点，且使，连接、；(只保留作图痕迹) (2)证明： 四边形是平行四边形 ①______， ②______ 在和中 ③______， ④______ 四边形是平行四边形(⑤______) 【答案】(1)见详解 (2)①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【来源】重庆市开州中学2025年中考模拟测试数学试题 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作 ，其中交于F即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据等角的补角相等可得，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：如图作，其中交于F （2）证明：∵在四边形是平行四边形， ∴ ，； ∴ 在与中， ∴ ， ∴ ，， ∴ ∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 故答案为：①；②；③；④；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 11．（2025·重庆八中·三模）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点． (1)用尺规完成以下基本作图：作，使，且射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． (2)求证：四边形是菱形． 证明：由知， ． ， 四边形是平行四边形（ ② ） 是斜边上的中线， ③ ． 平行四边形是菱形． 请进一步思考：若，则四边形是 ④ ． 【答案】(1)见解析； (2) (同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ，正方形． 【来源】2025年重庆市第八中学校 九年级中考三模数学试题 【分析】本题主要考查了尺规作图作、菱形的判定、正方形的判定． 利用尺规作图过点作即可； 根据同位角相等两直线平行可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可证四边形是菱形； 若，可证，根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据有一个角是直角的菱形是正方形，可证四边形是正方形． 【详解】（1）解：如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点， 以点为圆心，为半径，交前弧于点， 连接交于点， 即为所求； （2）证明：由知， (同位角相等，两直线平行)， ， 四边形是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)， 是斜边上的中线， ， 平行四边形是菱形； 若， 则, ， 点是的中点， ， ， 四边形是正方形． 故答案为： (同位角相等，两直线平行)，两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ，正方形． 12．（2025·重庆八中·一模）如图，在中，点是上的一点，连接． (1)用尺规作图，完成以下基本作图：做，交于点，连接交于点，连接交于点． (2)在（1）问所求作的图形中，求证：四边形是平行四边形． 证明：在中，， ___________①___________， ， ， ___________②___________， 四边形是平行四边形， ， ， ___________③___________， ， 四边形是平行四边形， ___________④___________， ， 四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：___________⑤___________的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤一组对边平行，一组对角相等 【来源】2025年重庆市第八中学校中考一模数学试题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． （1）根据作一个角等于已知角的方法，进行作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，证明，得出四边形是平行四边形，根据四边形是平行四边形，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角． （2）证明：在中，， ①， ， ， ②， 四边形是平行四边形， ， ， ③， ， 四边形是平行四边形， ④， ， 四边形是平行四边形． 在以上探究过程中，证明四边形是平行四边形时，发现了用边和角的关系也可以判定一个四边形是平行四边形，即：⑤一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$